第10章综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.

1.如图，将图中的冰墩墩通过平移可得到的为(　　)

A B C D

(第1题) (第3题) (第4题)

2.下列说法正确的是(　　)

A.同位角相等

B.在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C.相等的角是对顶角

D.在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c

3.如图，直线FD，CE被直线AC所截，下列说法中错误的是(　　)

A.∠GBD和∠HCE是同位角

B.∠ABD和∠ACH是同位角

C.∠FBC和∠ACE是内错角

D.∠GBC和∠BCE是同旁内角

4.【母题：教材P₁₂₈习题T₂】如图，对于给出的四个条件，能判断AB∥CD的是(　　)

A.∠1＝∠2

B.∠3＝∠4

C.∠A＝∠D

D.∠A＋∠ABD＝180°

5.【2023·南充】如图，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形DEF，若BC＝5，CE＝3，则CF的长是(　　)

A.2 B.2.5

C.3 D.5

(第5题) (第6题)

6.【2023·合肥蜀山区期末】如图所示，已知直线AB，CD交于点O，EO⊥CD，垂足为O，且OB平分∠EOD，则∠AOC的度数为(　　)

A.45° B.50°

C.55° D.60°

7.如图，点A是直线m外一定点，点B，C是直线m上的两定点，点P是直线m上一动点，已知AB＝6 cm，BC＝10 cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA＝8 cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是(　　)

A.4.5 cm B.6 cm

C.2.4 cm D.4.8 cm

(第7题) (第8题) (第9题)

8.【2023·长沙天心区期末】如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向，则其改变航向时∠α的度数为(　　)

A.60° B.75°

C.80° D.105°

9.如图所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示∠C，应为(　　)

A.180°－α－γ＋β B.180°＋α＋β－γ

C.α＋β＋γ D.β＋γ－α

10. 如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，OP⊥CD，∠ABO＝50°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF⊥OE；③∠POE＝∠BOF；④4∠POB＝2∠DOF.其中正确的有(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

(第10题) (第11题) (第12题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.如图，三角形ABC沿AB平移后得到三角形DEF，点D是点A的对应点.如果AE＝10，BD＝2，那么三角形ABC平移的距离是　　　　.

12. 抖空竹，流行于北京市的传统体育，是国家级非物质文化遗产之一.抖空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上.小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝80°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是　　　　.

13.【跨学科综合】埃拉托色尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长.如图，A处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底.B处为亚历山大城，它与塞尼城几乎同在一条子午线上，两地距离d约为800 km，于是地球周长可近似为 ×d.太阳光线可看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角α为7.2°.根据α＝7.2°可以推导出θ的大小，则埃拉托色尼估算得到的地球周长约为　　　　km.

(第13题) (第14题)

14.已知点O在直线AB上，OC⊥OD，OE平分∠BOC.

(1)如图①，若∠AOC＝20°，则∠DOE的度数是　　　　.

(2)如图②，若∠DOE＝α，则∠AOC的度数是　　　　(用含α的代数式表示).

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.如图所示，从标有数字的角中找出：

( 1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角.

(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角.

(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角.

16.如图，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝60°，点E在BA的延长线上，求∠CAE的度数.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如图，直线AB，CD相交于点O，ON⊥CD.若∠1＝∠2，试说明OM⊥AB.

18.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上.将三角形ABC向左平移2格，再向上平移4格.

(1)请在图中画出两次平移后的三角形A'B'C'.

(2)在图中画出三角形ABC的高CD.

(3)连接BB'，AA'，则四边形ABB'A'的面积为　　　　.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示河流与铁路.

(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由.

(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由.

(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

20.完成下面的说明过程.

已知：如图，∠C＝∠AED，BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的平分线.试说明∠1＝∠2.

解：因为∠C＝∠AED，

所 以BC∥DE(　　　　　　　　　　).

所以∠ABC＝∠ADE(　　　　　　　　　　).

因为BE，DF分别是∠ABC，∠ADE的平分线，

所以∠3＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ADE(　　　　　　　　　　).

所以∠3＝∠4.

所以　　　∥　　　(　　　　　　　　　　).

所以∠1＝∠2(　　　　　　　　　　).

六、(本题满分12分)

21.知识背景：沪科版教材“P₁₁₉观察”中，我们通过度量、比较发现了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”.如图①，在线段PA，PB，PO中，长度最短的是　　　　.

知识说理：事实上，我们可以根据学过的基本事实，通过下面的说理证实这个结论.把图①沿直线l翻折，得到图②.由于线段QO是由线段PO沿直线l翻折得到的，因此QO＝　　　　.同样，QA＝PA，QB＝PB.因为PO⊥l，所以QO⊥l，所以P，O，Q三点在一条直线上.于是，根据基本事实“　　　　　　　　　”，可以得到PQ＜PA＋QA，PQ＜PB＋QB，即2PO＜2PA，2PO＜2PB，也就是PO＜PA，PO＜PB.

知识应用：如图③，A，B两个村庄在河道l的两侧，现要铺设一条引水管道把河水引向A，B两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图③中画出铺设的路线示意图.

知识延伸：如图④，A，B两个村庄在河道l的同侧，现要铺设一条引水管道把河水引向A，B两个村庄，应怎样设计铺设路线，才能使铺设的水管最短？请在图④中画出铺设的路线示意图.

七、(本题满分12分)

22.实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2.

(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理的示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？

(2)两平面镜之间的位置如图③，经过两次反射后，若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，求两平面镜之间的夹角∠ABC为多少度？

八、(本题满分14分)

23.已知∠MON＝α(0°＜α＜90°)，有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA∥ON交OM于点E.

(1)如图①，若BC∥OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小.

(2)若∠BAE的平分线AP交ON于点P.

①如图②，当AP∥OM，且α＝60°时，请说明BC∥OM.

②如图③，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC∥OM，请探究∠OPA与α之间的数量关系.

答案

一、1.C

2.D　【点拨】A.只有在两直线平行这一前提下，同位角才相等，故A选项错误；B.在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项错误；C.相等的角不一定是对顶角，故C选项错误；

D.由平行公理的推论知，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故D选项正确.

3.A　

4.A　【点拨】A.若∠1＝∠2，则利用内错角相等，两直线平行，可判断出AB∥CD，故符合题意；B.若∠3＝∠4，则利用内错角相等，两直线平行，可判断出AC∥BD，故不符合题意；C.由∠A＝∠D，不能判断出AB∥CD，故不符合题意；D.若∠A＋∠ABD＝180°，则利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出AC∥BD，故不符合题意.

5.A　【点拨】由平移的性质可知CF＝BE＝BC－EC＝2.故选A.

6.A　【点拨】因为EO⊥CD，所以∠DOE＝90°.因为OB平分∠EOD，所以∠BOD＝45°，所以∠AOC＝∠BOD＝45°.故选A.

7.D　【点拨】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，则当点P移动到H点时，线段PA的值最小，易得AC＝8cm，AC⊥AB，因为AH⊥BC，所以 AH·BC＝ AC·AB.所以AH＝ ＝4.8(cm).所以线段PA的最小值为4.8 cm.

8.B　【点拨】如图，过点C作CD∥AF，

所以∠ACD＝∠CAF＝60°.

因为BE∥AF，所以BE∥CD，所以∠BCD＝∠CBE＝45°，

所以∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝105°，

所以∠α＝180°－∠ACB＝75°.

9.A　【点拨】如图，过C作CD∥AB，过M作MN∥EF.

因为AB∥EF，

所以AB∥CD∥MN∥EF.

所以α＋∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝γ.

所以∠BCD＝180°－α，∠DCM＝∠CMN＝β－γ.

所以∠BCM＝∠BCD＋∠DCM＝180°－α－γ＋β.

10.B　【点拨】因为AB∥CD，所以∠ABO＝∠BOD＝50°.所以∠BOC＝180°－50°＝130°.因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝ ∠BOC＝ ×130°＝65°.所以①错误；因为OF平分∠BOD，所以∠BOF＝ ∠BOD.因为∠BOC＋∠BOD＝180°，所以∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝ (∠BOC＋∠BOD)＝90°.所以OE⊥OF.所以②正确；因为OP⊥CD，所以∠COP＝∠DOP＝90°.又因为∠EOF＝90°，所以∠POE＝∠DOF.因为∠BOF＝∠DOF，所以∠POE＝∠BOF.所以③正确；因为AB∥CD，OP⊥CD，所以OP⊥AB.所以∠BPO＝90°.所以∠POB＝90°－∠PBO＝40°.所以4∠POB＝160°.因为OF平分∠BOD，所以∠DOF＝ ∠BOD＝25°.所以2∠DOF＝50°.所以4∠POB≠2∠DOF.所以④错误.

二、11.4　【点拨】设平移的距离为x，则EB＝AD＝x.

因为BE＋BD＋AD＝AE，AE＝10，BD＝2，

所以x＋2＋x＝10.

解得x＝4.即三角形ABC平移的距离是4.

12.40°　【点拨】延长DC交AE于点F.因为AB∥CD，所以∠EFD＝∠BAE＝80°.因为∠DCE＝120°，所以∠ECF＝60°.所以∠E＝180°－60°－80°＝40°.

13.40 000　

14.(1)10°　(2)2α

【点拨】(1)因为∠AOC＝20°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－20°＝160°.因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝ ·∠BOC＝80°.因为OC⊥OD，所以∠COD＝90°，所以∠EOD＝∠COD－∠COE＝10°.(2)设∠COE＝x.因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝2x.又因为CO⊥DO，所以∠DOC＝90°.所以x＋α＝90°.所以x＝90°－α.所以∠BOC＝2x＝180°－2α.所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－180°＋2α＝2α.

三、15.【解】(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5.

(2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7.

(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4.

16.【解】因为AD∥BC，

所以∠B＝∠DAE＝70°，∠C＝∠DAC＝60°.

所以∠CAE＝∠DAE＋∠DAC＝130°.

四、17.【解】因为ON⊥CD，

所以∠CON＝∠AOC＋∠2＝90°.

因为∠1＝∠2，

所以∠AOM＝∠AOC＋∠1＝∠AOC＋∠2＝90°.

所以OM⊥AB.

18.【解】(1)如图，三角形A'B'C'即为所求.

(2)如图，CD即为所求.

(3)16

五、19.【解】(1)如图所示，沿AB走最近，理由：两点之间线段最短.

(2)如图，从码头到铁路沿BD走最近，理由：垂线段最短.

(3)如图，从火车站到河流沿AC走最近，理由：垂线段最短.

20.【解】同位角相等，两直线平行；

两直线平行，同位角相等；

角平分线的定义；

DF；BE；同位角相等，两直线平行；

两直线平行，内错角相等

六、21.【解】知识背景：PO

知识说理：PO；两点之间，线段最短

知识应用：如图①，连接AB，根据两点之间，线段最短可知，路线AB即为所求.

知识延伸：如图②，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点C，连接AC，则路线AC，BC即为所求.

七、22.【解】(1)因为AB∥CD，

所以∠2＝∠3.

因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，

所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.

所以180°－∠1－∠2＝180°－∠3－∠4.

所以∠5＝∠6.

所以m∥n.

(2)因为∠1＝∠2，∠1＋∠2＋∠MAC＝180°，

所以∠2＝ (180°－∠MAC).

同理，∠3＝ (180°－∠ACN).

因为m∥n，

所以∠MAC＋∠ACN＝180°.

所以∠2＋∠3＝ [(180°－∠MAC)＋(180°－∠ACN)]＝ ×360°－ ×(∠MAC＋∠ACN)＝180°－90°＝90°.

所以∠ABC＝180°－(∠2＋∠3)＝90°.

即两平面镜之间的夹角∠ABC为90°.

八、23.【解】(1)如图①，过C点作CF∥ON.

因为DA∥ON，所以DA∥CF.

所以∠ACF＝∠CAD＝40°.

因为CF∥ON，

所以∠CBN＝∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝50°.

因为BC∥OM，

所以∠MON＝∠CBN＝50°.

即α的大小为50°.

(2)①因为AP∥OM，

所以∠APB＝α＝60°.

因为DA∥ON，所以∠EAP＝∠APB＝60°.

因为AP平分∠BAE，

所以∠BAE＝2∠EAP＝120°.

所以∠ABO＝180°－∠BAE＝60°.

因为在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

所以∠ABC＝60°.

所以∠CBN＝180°－∠ABO－∠ABC＝60°.

所以∠CBN＝∠MON.

所以BC∥OM.

②分两种情况：

当A在E点左侧时，∠OPA＝150°－ α；

当A在E点右侧时，∠OPA＝60°－ α.

理由如下：

i当A在E点左侧时，如图②所示.

因为BC∥OM，

所以∠CBN＝∠MON＝α.

因为DA∥ON，

所以∠EAP＋∠OPA＝180°，

∠BAE＝∠ABN＝∠CBN＋∠ABC＝α＋60°.

因为AP平分∠BAE，

所以∠EAP＝ ∠BAE＝ ·(α＋60°)＝ α＋30°.

所以∠OPA＝180°－∠EAP＝180°－( α＋30°)

＝150°－ α；

ii当A在E点右侧时，如图③所示.

因为BC∥OM，

所以∠CBN＝∠MON＝α.

因为DA∥ON，

所以∠BAE＋∠ABN＝180°，

又因为∠ABN＝∠CBN＋∠ABC＝α＋60°.

所以∠BAE＝180°－∠ABN＝180°－(α＋60°)＝120°－α.

因为AP平分∠BAE，

所以∠EAP＝ ∠BAE＝ (120°－α)＝60°－ α.

因为DA∥ON，

所以∠OPA＝∠EAP＝60°－ α.