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2019年北京市高考数学试卷（理科)

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单选题

1．已知复数z=2+i，则

A． B． C．3 D．5

【答案】D

【解析】

【分析】

题先求得 ，然后根据复数的乘法运算法则即得.

【详解】

∵ 故选D.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..

2．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据程序框图中的条件逐次运算即可.

【详解】

运行第一次， ， ，

运行第二次， ， ，

运行第三次， ， ，

结束循环，输出 ，故选B.

【点睛】

本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.

3．已知直线l的参数方程为 （t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.

【详解】

直线 的普通方程为 ,即 ,点 到直线 的距离 ,故选D.

【点睛】

本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

4．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则

A．a²=2b² B．3a²=4b² C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.

【详解】

椭圆的离心率 ,化简得 ,

故选B.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

5．若x，y满足 ，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7 B．1 C．5 D．7

【答案】C

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.

【详解】

由题意 作出可行域如图阴影部分所示.

设 ,

当直线 经过点 时, 取最大值5.故选C.

【点睛】

本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.

6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.10^10.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–^10.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,

.

故选：A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

7．设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“ ”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】

∵A､B､C三点不共线,∴

| + |>| | | + |>| - |

| + |²>| - |² • >0 与

的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.

【点睛】

本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.

8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.① B.② C.①② D.①②③

【答案】C

【解析】

【分析】

将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

【详解】

由 得, , ,

所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.

如图所示,易知 ,

四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【点睛】

本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

第II卷（非选择题)

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评卷人 得分

二、填空题

9．函数f(x)=sin²2x的最小正周期是__________．

【答案】 .

【解析】

【分析】

将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

【详解】

函数 ,周期为

【点睛】

本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.

10．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂=−3，S₅=−10，则a₅=__________，S_n的最小值为__________．

【答案】0. -10.

【解析】

【分析】

首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项､负项的变化规律,得到和的最小值.

【详解】

等差数列 中, ,得 ,公差 , ,

由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 .

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.

11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

【答案】40.

【解析】

【分析】

本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.

【详解】

如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱 之后余下的几何体,

几何体的体积 .

【点睛】

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

12．已知l，m是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.

【解析】

【分析】

将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.

【详解】

将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：

（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；

（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；

（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

【点睛】

本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

13．设函数f（x）=e^x+ae^−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【答案】-1; .

【解析】

【分析】

首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.

【详解】

若函数 为奇函数,则 ，

对任意的 恒成立.

若函数 是 上的增函数,则 恒成立, .

即实数 的取值范围是

【点睛】

本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.

14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】130. 15.

【解析】

【分析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 的最大值.

【详解】

(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.

(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,

元时,李明得到的金额为 ,符合要求.

元时,有 恒成立,即 ,即 元.

所以 的最大值为 .

【点睛】

本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

评卷人 得分

三、解答题

15．在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= ．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B–C）的值．

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ) .

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值；

(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 的值.

【详解】

(Ⅰ)由题意可得： ，解得： .

(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ，

结合正弦定理 可得： ，

很明显角C为锐角，故 ，

故 .

【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(Ⅰ)见解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.

【详解】

(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，

由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，

易知： ，

由 可得点F的坐标为 ，

由 可得 ，

设平面AEF的法向量为： ，则

，

据此可得平面AEF的一个法向量为： ，

很明显平面AEP的一个法向量为 ，

，

二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为 .

(Ⅲ)易知 ，由 可得 ，

则 ，

注意到平面AEF的一个法向量为： ，

其 且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

交付金额（元） 支付方式	（0,1000]	（1000,2000]	大于2000
仅使用A	18人	9人	3人
仅使用B	10人	14人	1人

（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【答案】(Ⅰ) ；

(Ⅱ)见解析；

(Ⅲ)见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；

(Ⅱ)首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.

(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.

【详解】

(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 人，则：

该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 .

(Ⅱ)由题意可知，

仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，

仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占 ，金额大于1000的人数占 ，

且X可能的取值为0,1,2.

， ， ，

X的分布列为：

X	0	1	2

其数学期望： .

(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：

随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。

学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.

【点睛】

本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.

18．已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ， ；

(Ⅱ)见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】

(Ⅰ)将点 代入抛物线方程： 可得： ，

故抛物线方程为： ，其准线方程为： .

(Ⅱ)很明显直线 的斜率存在，焦点坐标为 ，

设直线方程为 ，与抛物线方程 联立可得： .

故： .

设 ，则 ，

直线 的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 ，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为： ，圆的半径为： ，

且： ， ，

则圆的方程为： ，

令 整理可得： ，解得： ，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 .

【点睛】

本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．已知函数 .

（Ⅰ）求曲线 的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当 时，求证： ；

（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

【答案】（Ⅰ） 和 .

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ） .

【解析】

【分析】

(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；

(Ⅱ)由题意分别证得 和 即可证得题中的结论；

(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.

【详解】

（Ⅰ） ，令 得 或者 .

当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；

当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；

综上可得所求切线方程为 和 .

（Ⅱ）设 ， ，令 得 或者 ，所以当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；

而 ，所以 ，即 ；

同理令 ，可求其最小值为 ，所以 ，即 ，综上可得 .

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，

所以 是 中的较大者，

若 ，即 时， ；

若 ，即 时， ；

所以当 最小时， ，此时 .

【点睛】

本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．已知数列 ，从中选取第 项、第 项、…、第 项 ，若 ，则称新数列 为 的长度为 的递增子列．规定：数列 的任意一项都是 的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列 的长度为 的递增子列的末项的最小值为 ，长度为 的递增子列的末项的最小值为 .若 ，求证： ；

（Ⅲ）设无穷数列 的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若 的长度为 的递增子列末项的最小值为 ，且长度为 末项为 的递增子列恰有 个 ，求数列 的通项公式．

【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.

【解析】

【分析】

(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；

(Ⅱ)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；

(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.

【详解】

(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.

(Ⅱ)对于每一个长度为 的递增子列 ，都能从其中找到若干个长度为 的递增子列 ，此时 ，

设所有长度为 的子列的末项分别为： ，

所有长度为 的子列的末项分别为： ，

则 ，

注意到长度为 的子列可能无法进一步找到长度为 的子列，

故 ，

据此可得： .

(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是 ，

下面说明此数列满足题意.

很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.

长度为 的递增子列末项的最小值为2s-1，

下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有 个 ：

当 时命题显然成立，

假设当 时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有 个，

则当 时，对于 时得到的每一个子列 ，

可构造： 和 两个满足题意的递增子列，

则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有 个，

综上可得，数列 是一个满足题意的数列的通项公式.

注：当 时，所有满足题意的数列为： ，

当 时，数列 对应的两个递增子列为： 和 .

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.