【327973】2024年四川省自贡市中考数学试题

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200864-2024年四川省自贡市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．在 ，， ， 四个数中，最大的数是（      ）

A． 　　　　B．0　　　　C． 　　　　D．

2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．如图，以点 为圆心，适当的长为半径画弧，交 两边于点 ， ，再分别以 ， 为圆心 ， 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 ， ．若 ， 则 （      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（      ）

A. B.

C. D.

5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（      ）

A．3，4　　　　B．4，4　　　　C．4，5　　　　D．5，5

6．如图，在平面直角坐标系中 ，， 将 绕点 逆时针旋转 到 位置，则点 坐标为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（      ）

A. 是轴对称图形

B. 是中心对称图形

C. 既是轴对称图形又是中心对称图形

D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形

8．关于x的一元二次方程 的根的情况是（      ）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

9．一次函数 ，二次函数 ，反比例函数 在同一直角坐标系中图像如图所示，则 的取值范围是（      ）

A. B. C. D.

10．如图，在 ▱ 中 ，， ， ．点 从点 出发、以 的速度沿 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 往复运动，当点 到达端点 时，点 随之停止运动．在此运动过程中，线段 出现的次数是（      ）

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

11．如图，等边 钢架的立柱 于点 ， 长 ．现将钢架立柱缩短成 ， ．则新钢架减少用钢（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

12．如图，在矩形 中 ， 平分 ， 将矩形沿直线 折叠，使点 ， 分别落在边 ， 上的点 ， 处 ，， 分别交 于点 ， ．若 ， ， 则 的长为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．5

二、填空题

13．分解因式：                  ．

14．计算：         ．

15．凸七边形的内角和是        度．

16．一次函数 的值随 的增大而增大，请写出一个满足条件的 的值为        ．

17．某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条 ， 夹角为 ． 长 ， 扇面的 边长为 ， 则扇面面积为         （结果保留 π ）．

18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙 于点 （如图），其中 上的 段围墙空缺.同学们测得 ， ， ， ， ，班长买来可切断的围栏 ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是     .

三、解答题

19．计算：

20．如图，在 中 ，， ．

(1)求证： ；

(2)若 ， 平分 ， 请直接写出 的形状．

21．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．

22．在 中 ，， 是 的内切圆，切点分别为 ，， ．

（1）图1中三组相等的线段分别是 ，          ，         ；若 ， ， 则 半径长为        ；

（2）如图2，延长 到点 ，使 ， 过点 作 于点 ．

求证： 是 的切线．

23．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．

成绩	频数	百分比
不及格	3
及格
良好	45
优秀	32

图1  学生体质健康统计表

（1）图1中          ，          ，         ；

（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；

（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．

24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点．

（1）求反比例函数和一次函数 解析式；

（） 是直线 上的一个动点 ， 的面积为21，求点 坐标；

（3）点 在反比例函数 位于第四象限的图象上 ， 的面积为21，请直接写出 点坐标．

25．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法.

（1） 如图（1），小张在测量时发现，自己在操场上的影长 恰好等于自己的身高 .此时，小组同学测得旗杆 的影长 为 ，据此可得旗杆高度为                                                                                                    .

（2） 如图（2），小李站在操场上 点处，前面水平放置镜面 ，并通过镜面观测到旗杆顶部 .小组同学测得小李的眼睛距地面高度 ，小李到镜面距离 ，镜面到旗杆的距离 .求旗杆高度.

（3） 小王所在小组采用图（3）的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

如图（4），在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面 ， 两点始终处于同一水平线上.

如图（5），在支架上端 处，用细线系小重物 ，标高线 始终垂直于水平地面.

如图（6），在江姐故里广场上 点处，同学们用注水管确定与雕塑底部 处于同一水平线的 ， 两点，并标记观测视线 与标高线交点 ，测得标高 ， .将观测点 后移 到 处.采用同样方法，测得 ， .求雕塑高度（结果精确到 ）.

26．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点 ．

（1）求抛物线的解析式及 点坐标；

（2）抛物线交 轴于点 ，经过点 ，， 的圆与 轴的另一个交点为 ，求线段 的长；

（3）过点 的直线 分别与抛物线、直线 交于 轴下方的点 ， ，直线 交抛物线对称轴于点 ，点 关于 的对称点为 ， 轴于点 ．请判断点 与直线 的位置关系，并证明你的结论．

参考答案

一、单选题

1. C

解：根据实数比较大小的方法，可得 ，

∴在 ，，  ，   四个数中，最大的数是 ，

故此题答案为C．

2. B

解：70000用科学记数法表示为 ，

故此题答案为B．

3. A

解：由作图知 ，

∴四边形 是菱形，

∵ ，

∴ ，

故此题答案为A．

4. C

圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意；正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C符合题意；棱台的主视图是梯形，俯视图不是梯形，故D不符合题意.故选C.

5. D

解：将这组数据从小到大排列3，4，5，5，7，

则这组数据的中位数为5，

5出现次数最多，则众数为5，

故此题答案为D．

6. A

解：∵ ，

∴ ， ，

∵将 绕点 逆时针旋转 到 ，

∴ ≌，

∴ ， ，

∴点 坐标为 ，

故此题答案为A．

7. B

由题图可得“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形.故选B.

8. A

解： ，

方程有两个不相等的实数根．

故此题答案为A．

9. C

根据题意得 解得 ， 的取值范围是 .故选C.

10. B

解：在 ▱ 中， ， ，

∴ ， ，

∵点 从点 出发、以 的速度沿 运动，

∴点 从点 出发到达 点的时间为 ，

∵点 从点 出发，以 的速度沿 往复运动，

∴点 从点 出发到 点的时间为 ，

∵ ，

∴ ，

当 时，四边形 为平行四边形，

∴ ，

当 时，四边形 为等腰梯形，

∴ ，

设 ， 同时运动的时间为 ，

当 时 ，，

∴ ，

此时 ， 四边形 为平行四边形 ，，

如图，过点 ， 分别作 的垂线，分别交 于点 ，，

∴四边形 是矩形，

∴ ， ，

∵四边形 是等腰梯形，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ≌，

∴ ，

在 中 ，， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

此时 是等腰梯形 ，，

当 时 ，，

∴ ，

此时 ， 四边形 为平行四边形 ，，

当 时 ，，

∴ ，

此时 ， 四边形 为平行四边形 ，，

综上，当 或 或 或 时 ，， 共4次，

故此题答案为B．

11. D

解：∵等边 ， 于点 ， 长 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∴新钢架减少用钢

，

故此题答案为D．

12. A

解：如图 ， 交 于点 ，

∵矩形 ，

∴ ，

由折叠的性质得 ， ， 四边形 和四边形 都是矩形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 平分 ， ，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， 即 ①，

∵ ，

∴ ，

∴ ， 即 ②，

∵ ，

由①②得 ，

解得 ， 则 ，

在 中 ，，

∵ ，

∴ ， 即 ，

故答案为A．

二、填空题

13.

解： ．

14. 1

解： ．

15. 900

解：七边形的内角和 ．

16. （答案不唯一）

解：∵ 的值随 的增大而增大，

∴ ，

∴ ，

∴ 的值可以为 （答案不唯一）．

17.

解：扇面面积 扇形 的面积 扇形 的面积

．

18. 46.4

设矩形菜地在射线 上的边长为 .

当 时， ，当 时， 最大，最大面积为 .当 时， ，在 的范围内， 均小于 ，所以该菜地的最大面积为 .故答案为

【关键点拨】

观察图形，只有利用 和 才能使该矩形菜地面积最大.

三、解答题

19.

解：

．

20. （1）见解析； （） 是等腰直角三角形．

（1）证明：∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ .

（2）解： 是等腰直角三角形．

∵ ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形．

21. 甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．

解：设乙组平均每小时包 个粽子，则甲组平均每小时包 个粽子，

由题意得

，

解得 ，

经检验 ， 是分式方程的解，且符合题意，

∴分式方程的解为 ，

∴

答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．

22. （） ； ；1  ；   （2）见详解.

（1）解：连接 ，， 设 半径为 ，

∵ 是 的内切圆，切点分别为 ，， ，

∴ ， ， ；

在四边形 中 ，，

四边形 为矩形，

又因为 ，

四边形 为正方形．

则 ， 则 ， ，

在 中，由勾股定理得 ，

∴ ， 即 ，

解得 ；

（2）证明：连接 ，，， ，，， ， 作 于点 ，

设 半径为 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ≌，

∴ ， ， ，

∵ 是 的内切圆，切点分别为 ，， ，

∴ ，

∴ ，

同理 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 是 的切线．

23. （） ；20； ； （2）补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；     （3）选取的2名学生均为“良好”的概率为 ．

（1）

解：样本容量为 ，

则 ，

，

.

（2）

解：补全条形统计图，如图.

（人），

估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人.

（3）解：设3名“良好”分别用 表示，1名“优秀”用 表示，列表如下：

		（，）	（，）	（，）
	（，）		（，）	（，）
	（，）	（，）		（，）
	（，）	（，）	（，）

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，

其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有 种，

∴选取的2名学生均为“良好”的概率为 ．

 

24. （），      （2）点 坐标为 ， 或 ， ；     （） 点坐标为 ， 或

（1）解：依题意把 代入 ， 得出

解得

把 代入 中，得出

∴

则把 和 分别代入

得出

解得

∴ ；

（2）解：记直线 与直线 的交点为

∵

∴当 时，则

∴ ，

∵ 是直线 上的一个动点，

∴设点 ，，

∵ 的面积为21，

∴

即

∴

解得 或

∴点 坐标为 ， 或 ， ；

（3）解：由（1）得出

∵点 在反比例函数 位于第四象限的图象上，

∴设点 的坐标为 ，

如图：点 在点 的右边时

∵ 的面积为 ， 和

∴

整理得

解得 （负值已舍去）

经检验 是原方程的解，

∴ 点坐标为 ，，

如图，点 在点 的左边时

∵ 的面积为 ， 和

∴

整理得

解得 ， 符合题意 ，， 不符合题意，

则 ， 故

综上 ， 点坐标为 ， 或 ．

25. （1） 【解】由平行投影的性质可知， . 影长 恰好等于小张自己的身高 ， .故答案为11.3.（2） 如图，由反射定律易得 .又 ， ， ，即 ，解得 ， 旗杆高度为 .

（3） ， ， ， .设 ， ，则 ， ，同理可得 ， ， ，解得 .经检验， 是原方程的解， 雕塑高度约为 .【思路分析】（3）根据相似三角形的判定定理及性质得到 ，同理可得 ,设 ， ，代入等式求解即可.

26. （）， ；   （2）4 ； （3）点 在直线 上，见详解

（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，

∴代入得 ，，

解得 ，，

∴抛物线解析式为 ，

而 ，

∴ ；

（2）解：如图：

当 时 ，，

∴点 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 是经过点 ，， 的 的直径，

∵ ， 经过圆心，

∴ ；

（3）解：如图：

将点 代入 ， 得 ，

∴ ，

把点 横坐标 ， 代入得 ，

∵ 轴 ， 轴，

∴ ， 点 为 中点，

∴ ，

∴点 为 中点，

∴ ，

∵点 关于 的对称点为 ，

∴ ，

∴ ，

联立抛物线与直线 表达式，

得 ，，

整理得 ，，

∴ ，

解得 ，，

即 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴点 ，， 三点共线，

∴点 在直线 上．