绝密★启用前
200864-2024年四川省自贡市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．在
，，
，
四个数中，最大的数是（ ）
A．
B．0 C．
D．
2．据统计，今年“五一”小长假期间，近70000人次游览了自贡中华彩灯大世界．70000用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，以点
为圆心，适当的长为半径画弧，交
两边于点 ，
，再分别以
，
为圆心 ，
的长为半径画弧，两弧交于点
，连接 ，
．若 ，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列几何体中，俯视图与主视图形状相同的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5．学校群文阅读活动中，某学习小组五名同学阅读课外书的本数分别为3，5，7，4，5．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，4 B．4，4 C．4，5 D．5，5
6．如图，在平面直角坐标系中
，，
将
绕点
逆时针旋转
到
位置，则点
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ）
A. 是轴对称图形
B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形
8．关于x的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
9．一次函数
，二次函数
，反比例函数
在同一直角坐标系中图像如图所示，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．如图，在
▱
中 ，，
，
．点
从点
出发、以
的速度沿
运动，同时点
从点
出发，以
的速度沿
往复运动，当点
到达端点
时，点
随之停止运动．在此运动过程中，线段
出现的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，等边
钢架的立柱
于点 ，
长
．现将钢架立柱缩短成 ，
．则新钢架减少用钢（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在矩形
中 ，
平分 ，
将矩形沿直线
折叠，使点 ，
分别落在边 ，
上的点 ，
处 ，，
分别交
于点 ，
．若 ，
，
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．5
二、填空题
13．分解因式：
．
14．计算：
．
15．凸七边形的内角和是 度．
16．一次函数
的值随
的增大而增大，请写出一个满足条件的
的值为
．
17．某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条
，
夹角为 ．
长 ，
扇面的
边长为 ，
则扇面面积为
（结果保留 π
）．
18．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙
于点
（如图），其中
上的
段围墙空缺.同学们测得
，
，
，
，
，班长买来可切断的围栏
，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
.
三、解答题
19．计算：
20．如图，在
中 ，，
．
(1)求证：
；
(2)若
，
平分 ，
请直接写出
的形状．
21．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
22．在
中 ，，
是
的内切圆，切点分别为 ，，
．
（1）图1中三组相等的线段分别是
，
，
；若
，
，
则
半径长为 ；
（2）如图2，延长
到点
，使 ，
过点
作
于点
．
求证：
是
的切线．
23．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）．
成绩 |
频数 |
百分比 |
不及格 |
3 |
|
及格 |
|
|
良好 |
45 |
|
优秀 |
32 |
|
图1 学生体质健康统计表
（1）图1中
，
，
；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于 ，
两点．
（1）求反比例函数和一次函数
解析式；
（）
是直线
上的一个动点 ，
的面积为21，求点
坐标；
（3）点
在反比例函数
位于第四象限的图象上 ，
的面积为21，请直接写出
点坐标．
25．为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法.
（1）
如图（1），小张在测量时发现，自己在操场上的影长
恰好等于自己的身高
.此时，小组同学测得旗杆
的影长
为
，据此可得旗杆高度为
.
（2）
如图（2），小李站在操场上
点处，前面水平放置镜面
，并通过镜面观测到旗杆顶部
.小组同学测得小李的眼睛距地面高度
，小李到镜面距离
，镜面到旗杆的距离
.求旗杆高度.
（3） 小王所在小组采用图（3）的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
如图（4），在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面
，
两点始终处于同一水平线上.
如图（5），在支架上端
处，用细线系小重物
，标高线
始终垂直于水平地面.
如图（6），在江姐故里广场上
点处，同学们用注水管确定与雕塑底部
处于同一水平线的
，
两点，并标记观测视线
与标高线交点
，测得标高
，
.将观测点
后移
到
处.采用同样方法，测得
，
.求雕塑高度（结果精确到
）.
26．如图，抛物线
与
轴交于 ，
两点，顶点
．
（1）求抛物线的解析式及
点坐标；
（2）抛物线交
轴于点
，经过点 ，，
的圆与
轴的另一个交点为
，求线段
的长；
（3）过点
的直线
分别与抛物线、直线
交于
轴下方的点 ，
，直线
交抛物线对称轴于点
，点
关于
的对称点为 ，
轴于点
．请判断点
与直线
的位置关系，并证明你的结论．
参考答案
一、单选题
1. C
解：根据实数比较大小的方法，可得
，
∴在
，，
，
四个数中，最大的数是
，
故此题答案为C．
2. B
解：70000用科学记数法表示为
，
故此题答案为B．
3. A
解：由作图知
，
∴四边形
是菱形，
∵ ，
∴ ，
故此题答案为A．
4. C
圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故B不符合题意；正方体的主视图和俯视图都是正方形，故C符合题意；棱台的主视图是梯形，俯视图不是梯形，故D不符合题意.故选C.
5. D
解：将这组数据从小到大排列3，4，5，5，7，
则这组数据的中位数为5，
5出现次数最多，则众数为5，
故此题答案为D．
6. A
解：∵
，
∴ ，
，
∵将
绕点
逆时针旋转
到
，
∴ ≌，
∴ ，
，
∴点
坐标为
，
故此题答案为A．
7. B
由题图可得“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形.故选B.
8. A
解：
，
方程有两个不相等的实数根．
故此题答案为A．
9. C
根据题意得
解得
，
的取值范围是
.故选C.
10. B
解：在
▱
中，
，
，
∴
，
，
∵点
从点
出发、以
的速度沿
运动，
∴点
从点
出发到达
点的时间为
，
∵点
从点
出发，以
的速度沿
往复运动，
∴点
从点
出发到
点的时间为
，
∵ ，
∴ ，
当
时，四边形
为平行四边形，
∴ ，
当
时，四边形
为等腰梯形，
∴ ，
设
，
同时运动的时间为
，
当
时
，，
∴ ，
此时
，
四边形
为平行四边形
，，
如图，过点
，
分别作
的垂线，分别交
于点
，，
∴四边形
是矩形，
∴ ，
，
∵四边形
是等腰梯形，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ≌，
∴ ，
在
中
，，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时
是等腰梯形
，，
当
时
，，
∴ ，
此时
，
四边形
为平行四边形
，，
当
时
，，
∴ ，
此时
，
四边形
为平行四边形
，，
综上，当
或
或
或
时
，，
共4次，
故此题答案为B．
11. D
解：∵等边
，
于点
，
长
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴新钢架减少用钢
，
故此题答案为D．
12. A
解：如图
，
交
于点
，
∵矩形
，
∴ ，
由折叠的性质得
，
，
四边形
和四边形
都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
平分
，
，
∴ ，
∴ ，
设
，
∵ ，
，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即
①，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即
②，
∵ ，
由①②得
，
解得
，
则
，
在
中
，，
∵ ，
∴ ，
即
，
故答案为A．
二、填空题
13.
解：
．
14. 1
解：
．
15. 900
解：七边形的内角和
．
16.
（答案不唯一）
解：∵
的值随
的增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴
的值可以为
（答案不唯一）．
17.
解：扇面面积
扇形
的面积
扇形
的面积
．
18. 46.4
设矩形菜地在射线
上的边长为
.
当
时，
，当
时，
最大，最大面积为
.当
时，
，在
的范围内，
均小于
，所以该菜地的最大面积为
.故答案为
【关键点拨】
观察图形，只有利用
和
才能使该矩形菜地面积最大.
三、解答题
19.
解：
．
20.
（1）见解析；
（）
是等腰直角三角形．
（1）证明：∵
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
.
（2）解：
是等腰直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∵
平分
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
是等腰直角三角形．
21. 甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
解：设乙组平均每小时包
个粽子，则甲组平均每小时包
个粽子，
由题意得
，
解得
，
经检验
，
是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为
，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
22.
（）
；
；1 ；
（2）见详解.
（1）解：连接
，，
设
半径为
，
∵
是
的内切圆，切点分别为
，，
，
∴ ，
，
；
在四边形
中
，，
四边形
为矩形，
又因为
，
四边形
为正方形．
则
，
则
，
，
在
中，由勾股定理得
，
∴ ，
即
，
解得
；
（2）证明：连接
，，，
，，，
，
作
于点
，
设
半径为
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ≌，
∴ ，
，
，
∵
是
的内切圆，切点分别为
，，
，
∴ ，
∴ ，
同理
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
是
的切线．
23.
（）
；20；
； （2）补全图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）选取的2名学生均为“良好”的概率为
．
（1）
解：样本容量为
，
则
，
，
.
（2）
解：补全条形统计图，如图.
（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人.
（3）解：设3名“良好”分别用
表示，1名“优秀”用
表示，列表如下：
|
|
|
|
|
|
|
（，） |
（，） |
（，） |
|
（，） |
|
（，） |
（，） |
|
（，） |
（，） |
|
（，） |
|
（，） |
（，） |
（，） |
|
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，
其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有
种，
∴选取的2名学生均为“良好”的概率为
．
24.
（），
（2）点
坐标为 ，
或 ，
； （）
点坐标为 ，
或
（1）解：依题意把
代入
，
得出
解得
把
代入
中，得出
∴
则把
和
分别代入
得出
解得
∴
；
（2）解：记直线
与直线
的交点为
∵
∴当
时，则
∴ ，
∵
是直线
上的一个动点，
∴设点
，，
∵
的面积为21，
∴
即
∴
解得
或
∴点
坐标为
，
或
，
；
（3）解：由（1）得出
∵点
在反比例函数
位于第四象限的图象上，
∴设点
的坐标为
，
如图：点
在点
的右边时
∵
的面积为
，
和
∴
整理得
解得
（负值已舍去）
经检验
是原方程的解，
∴
点坐标为
，，
如图，点
在点
的左边时
∵
的面积为
，
和
∴
整理得
解得
，
符合题意
，，
不符合题意，
则
，
故
综上
，
点坐标为
，
或
．
25.
（1）
【解】由平行投影的性质可知，
.
影长
恰好等于小张自己的身高
，
.故答案为11.3.（2）
如图，由反射定律易得
.又
，
，
，即
，解得
，
旗杆高度为
.
（3）
，
，
，
.设
，
，则
，
，同理可得
，
，
，解得
.经检验，
是原方程的解，
雕塑高度约为
.【思路分析】（3）根据相似三角形的判定定理及性质得到
，同理可得
,设
，
，代入等式求解即可.
26.
（），
； （2）4
；
（3）点
在直线
上，见详解
（1）解：∵抛物线
与
轴交于
，
两点，
∴代入得
，，
解得
，，
∴抛物线解析式为
，
而
，
∴
；
（2）解：如图：
当
时
，，
∴点
，
∵ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
是经过点
，，
的
的直径，
∵ ，
经过圆心，
∴
；
（3）解：如图：
将点
代入
，
得
，
∴ ，
把点
横坐标
，
代入得
，
∵
轴
，
轴，
∴ ，
点
为
中点，
∴ ，
∴点
为
中点，
∴ ，
∵点
关于
的对称点为
，
∴ ，
∴ ，
联立抛物线与直线
表达式，
得
，，
整理得
，，
∴ ，
解得
，，
即
，
∵ ，
，
∴ ，
∴点
，，
三点共线，
∴点
在直线
上．