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2021年山东省济南市中考数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.9的算术平方根是（ ）
A．﹣3
B．±3
C．3
D．

2.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约 ．将数字55000000用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

4.如图， ， ， 平分 ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6.实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.计算 的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9.反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

10.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 的 处测得试验田右侧出界 处俯角为 ，无人机垂直下降 至 处，又测得试验田左侧边界 处俯角为 ，则 ， 之间的距离为（参考数据： ， ， ， ，结果保留整数）（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中， ， ，以点 为圆心，以 的长为半径作弧交 于点 ，连接 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ，则下列结论中不正确的是（ ）


A．
B． 垂直平分线段
C．
D．

12.新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点 ，若满足 时， ； 时， ，则称点 是点 的限变点．例如：点 的限变点是 ，点 的限变点是 ．若点 在二次函数 的图象上，则当 时，其限变点 的纵坐标 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.因式分解： _____

14.如图，正方形 的边 在正五边形 的边 上，则 __________ ．

15.关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是__________．

16.漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个 的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 为 时，对应的时间 为__________ ．

	…	1	2	3	5	…
	…	2.4	2.8	3.4	4	…

17.如图，一个由8个正方形组成的“ ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点 ， ， ， ， 都在矩形 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边 的长为__________．

评卷人 得分

三、解答题

18.计算： ．

19.解不等式组： 并写出它的所有整数解．

20.如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．

21.为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在 范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：

方便筷使用数量统计表

组别	使用数量（双）	频数
		14
		10
合		50

请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的 __________；
（2）统计图中 组对应扇形的圆心角为__________度；
（3） 组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．

22.已知：如图， 是 的直径， ， 是 上两点，过点 的切线交 的延长线于点 ， ，连接 ， ．

（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．

23.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

24.如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．

（1）求 的值并直接写出点 的坐标；
（2）点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值；
（3） 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．

25.在 中， ， ，点 在边 上， ，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ， ，以 为斜边在其一侧制作等腰直角三角形 ．连接 ．

（1）如图1，当 时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，（1）中线段 与线段 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当 ， ， 三点共线时，连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由．

26.抛物线 过点 ，点 ，顶点为 ．

（1）求抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）如图1，点 在抛物线上，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，若 是以 为底的等腰三角形，求点 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点 是线段 上（与点 ， 不重合）的动点，连接 ，作 ，边 交 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，求 的取值范围．

参考答案

1.C

【解析】
试题分析：9的算术平方根是3．故选C．
考点：算术平方根．

2.C

【解析】
俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．

3.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：将55000000用科学记数法表示为5.5×10⁷．
故选：B．

4.B

【解析】
由题意易得 ，然后根据角平分线的定义可得 ，进而根据平行线的性质可求解．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．

5.A

【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．

6.B

【解析】
根据数轴可得 ，由此可排除选项．
解：由数轴可得 ，
∴ ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误；
故选B．

7.B

【解析】
根据分式的减法法则可直接进行求解．
解： ；
故选B．

8.C

【解析】
根据题意，用列表法求出概率即可．
根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：

小华小丽

总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故选C

9.D

【解析】
根据题意可得 ，进而根据一次函数图像的性质可得 的图象的大致情况．
反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、三象限，

∴一次函数 的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D

10.C

【解析】
根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故选C．

11.C

【解析】
由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据， ， 得到 是等边三角形，由“三线合一”得AP平分 ，则 ， ,且 角所对的直角边等于斜边的一半，故 ，所以DE垂直平分线段 ，证明 可得 即可得到结论．
由题意可得： ，点P在线段BD的垂直平分线上
， 点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上， BE=DE，故A正确；
， ，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分 ，故B正确；
， ，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．

12.D

【解析】
根据题意，当 时， 的图象向下平移4个单位，当 时，， 的图象关于 轴对称，据此即可求得其限变点 的纵坐标 的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到 的取值范围
点 在二次函数 的图象上，则当 时，其限变点 的图像即为图中虚线部分，如图，

当 时， 的图象向下平移4个单位，当 时， 的图象关于 轴对称，
从图可知函数的最大值是当 时， 取得最大值3，
最小值是当 时， 取得最小值 ，
．
故选D．

13.

【解析】
a²-9可以写成a²-3²，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
解：a²-9=（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．

14.18

【解析】
由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解．
解：∵四边形 是正方形，五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ；
故答案为18．

15.-3

【解析】
由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
解：由题意把x=2代入一元二次方程 得：
，解得： ，
∴原方程为 ，
解方程得： ，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．

16.15

【解析】
由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位 与时间 的函数解析式为 ，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位 与时间 的函数解析式为 ，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得： ，
∴水位 与时间 的函数解析式为 ，
∴当 =8时，则有 ，解得： ，
故答案为15．

17.

【解析】
如图，延长 交于点 ，连接 ，根据题意求得 的长，设 ，先证明 ，再证明 ， ，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得 的值，进而求得 的值．
小正方形的面积为1，则小正方形的边长为 ，
如图，延长 交于点 ，连接 ，


， ，
四边形 是正方形，
，
，

设 ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，














即 ①

②
联立
解得

故答案为：

18.6

【解析】
根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．
解：原式= ．

19. ；

【解析】
分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．

解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：

20.见解析

【解析】
菱形 中，四边相等，对角相等，结合已知条件 ，可利用三角形全等进行证明，得到 ，再线段之差相等即可得证．
四边形 是菱形

在 和 中

(ASA)



即 ．

21.（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．

【解析】
（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；
（3）由题意可把在 范围内的数据从小到大排列，进而可得 组数据的众数及中位数；
（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解．
解：（1）由统计图可得： ；
故答案为9；
（2）由统计图可得 组对应扇形的圆心角为 ；
故答案为72；
（3）由题意可把在 范围内的数据从小到大排列为： 、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；
∴在 组（ ）数据的众数是 ；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为 ；
故答案为12，10；
（4）由题意得：
（名）；
答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．

22.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）连接 ，根据切线的性质，已知条件可得 ，进而根据平行线的性质可得 ，根据圆周角定理可得 ，等量代换即可得证；
（2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，进而根据正切值以及已知条件可得 的长，勾股定理即可求得 ，进而即可求得圆的半径．
（1）连接 ，如图，

是 的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接

是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即 的半径为 ．

23.（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【解析】
（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．

24.（1） ，B(2，3)；（2） ；（3）P（ ，0）或（0， ）.

【解析】
（1）根据直线 经过点A ，可求出点A（-2，-3），因为点A在 图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据 利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是 的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
（1）解：因为直线 经过点 ，
所以 ，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在 图象上，
所以 ，
因为 与双曲线 交于A， 两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，

因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以 ,
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将 代入 可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C= ，
即 的最小值是 ；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以点P（ ，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以点P（0， ）
综合可得：P（ ，0）或（0， ）.

25.（1） ；（2）① 成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；

【解析】
（1）如图1，证明 ，由平行线分线段成比例可得 ，由 的余弦值可得 ；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明 ，即可得 ；
②如图3，过 作 ，连接 , 交于点 ，根据已知条件证明 ，根据平行线分线段成比例可得 ，根据锐角三角函数以及①的结论可得 ,
根据三角形内角和以及 可得 ，进而可得 ，即可证明四边形 是平行四边形．
（1）如图1，

， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）① 仍然成立，理由如下：
如图2，

， ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
即 ；
②四边形 是平行四边形，理由如下：
如图3，过 作 ，连接 , 交于点 ，

， ，
，
，
，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
，
， ， 三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知 ，
，
是以 为斜边等腰直角三角形，
, ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形．

26.（1） ， ；（2） ；（3）

【解析】
（1）将 的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点 的坐标；
（2）设 ，根据 是以 为底的等腰三角形，根据 ，求得 点的坐标，进而求得 解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得 点的坐标；
（3）根据题意，可得 ，设 ，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得 ，根据配方法可得 的最大值，根据点 是线段 上（与点 ， 不重合）的动点，可得 的最小值，即可求得 的范围．
（1） 抛物线 过点 ，点 ，
，
解得 ，
，
，代入 ，
解得： ，
顶点 ，
（2）设 ，
, ， 是以 为底的等腰三角形，

即

解得


设直线 的解析式为

解得

直线 的解析式为
联立
解得： ，

（3） 点 的横坐标为 ， ， ，
，

设 ，则 ，
是以 为底的等腰三角形，

，



即
整理得

当 点与 点重合时， 与 点重合，由题意，点 是线段 上（与点 ， 不重合）的动点，


的取值范围为： ．