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北京市2021年中考数学真题试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．长方体
B．圆柱
C．圆锥
D．三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.已知 ．若 为整数且 ，则 的值为（ ）
A．43
B．44
C．45
D．46

8.如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系

评卷人 得分

二、填空题

9.若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______________．

10.分解因式： ______________．

11.方程 的解为______________．

12.在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为______________．

13.如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．

14.如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．

15.有甲､乙两组数据，如表所示：

甲	11	12	13	14	15
乙	12	12	13	14	14

甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 ______________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．

16.某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为______________．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.已知 ，求代数式 的值．

20.《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；


（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ______________， 是 的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向．

21.已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．

22.如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 ．

（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．

23.在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围．

24.如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．

（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的长．

25.为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组： ）：

．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：

	平均数	中位数
甲城市	10.8
乙城市	11.0	11.5

根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

26.在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．

27.如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．

（1）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．

28.在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的“关联线段”是______________；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求 的值；
（3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长．

参考答案

1.B

【解析】
根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．

2.C

【解析】
根据科学记数法可直接进行求解．
解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为 ；
故选C．

3.A

【解析】
由题意易得 ， ，进而问题可求解．
解：∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．

4.D

【解析】
根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．

5.B

【解析】
由数轴及题意可得 ，依此可排除选项．
解：由数轴及题意可得： ，
∴ ，
∴只有B选项正确，
故选B．

6.C

【解析】
根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
解：由题意得：

∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是 ；
故选C．

7.B

【解析】
由题意可直接进行求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．

8.A

【解析】
由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
解：由题意得：
，整理得： ，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．

9.

【解析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为 ．

10.

【解析】
根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
解： ；
故答案为 ．

11.

【解析】
根据分式方程的解法可直接进行求解．
解：
，
∴ ，
经检验： 是原方程的解．
故答案为：x=3．

12.

【解析】
由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．

13.130°

【解析】
由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．

14. （答案不唯一）

【解析】
由题意易得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．

15.＞

【解析】
根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
解：由题意得：
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为＞．

16.     2∶3    

【解析】
设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得 ，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为 ，进而求解即可得出答案．
解：设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得： ，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，
∵加工时间相同，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ， ．

17.

【解析】
根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
解：原式= ．

18.

【解析】
根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解．
解：
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ．

19.1

【解析】
先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
解：
=
= ，
∵ ，
∴ ，
代入原式得：原式= ．

20.（1）图见详解；（2） ，等腰三角形的三线合一

【解析】
（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；
（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
解：（1）如图所示：


（2）证明：在 中， ， 是 的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向；
故答案为 ，等腰三角形的三线合一．

21.（1）见详解；（2）

【解析】
（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可．
（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．

22.（1）见详解；（2） ，

【解析】
（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由 可进行求解问题．
（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

23.（1） ；（2）

【解析】
（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得： ，然后结合函数图象可进行求解．
解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：

∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．

24.（1）见详解；（2） ，

【解析】
（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有 ，进而可得 ，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

25.（1） ；（2） ，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

【解析】
（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；
（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；
（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．
解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，
∵ 有3家， 有7家， 有8家，
∴中位数落在 上，
∴ ；
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则 至少为13个，
∴ ；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

26.（1） ；（2） ，理由见解析

【解析】
（1）由题意易得点 和点 ，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当 时和当 时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
解：（1）当 时，则有点 和点 ，代入二次函数 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为 ；
（2）由题意得：抛物线 始终过定点 ，则由 可得：
①当 时，由抛物线 始终过定点 可得此时的抛物线开口向下，即 ，与 矛盾；
②当 时，
∵抛物线 始终过定点 ，
∴此时抛物线的对称轴的范围为 ，
∵点 在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 ，
∵ ，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴ ．

27.（1） ， ，理由见详解；（2） ，理由见详解．

【解析】
（1）由题意及旋转的性质易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求解；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得 ， ，易证 ，进而可得 ，然后可得 ，最后根据相似三角形的性质可求证．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：

∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

28.（1） ；（2） ；（3）当 时，此时 ；当 时，此时 ．

【解析】
（1）以点A为圆心，分别以 为半径画圆，进而观察是否与 有交点即可；
（2）由旋转的性质可得 是等边三角形，且 是 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且 ，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
解：（1）由题意得：

通过观察图象可得：线段 能绕点A旋转90°得到 的“关联线段”， 都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为 ；
（2）由题意可得：当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，则有 是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

设 与y轴的交点为D，连接 ，易得 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

同理可得此时的 ，
∴ ；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且 ，则有当以 为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：

由运动轨迹可得当点A也在 上时为最小，最小值为1，此时 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由以上情况可知当点 三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：

连接 ，过点 作 于点P，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
综上所述：当 时，此时 ；当 时，此时 ．