【327980】北京市2021年中考数学真题试卷

绝密·启用前

北京市2021年中考数学真题试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

A．长方体
B．圆柱
C．圆锥
D．三棱柱

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.已知 ．若 为整数且 ，则 的值为（ ）
A．43
B．44
C．45
D．46

8.如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系

9.若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是_______________．

10.分解因式： ______________．

11.方程 的解为______________．

12.在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为______________．

13.如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．

14.如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．

15.有甲､乙两组数据，如表所示：

甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 ______________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．

16.某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为______________．

17.计算： ．

18.解不等式组：

19.已知 ，求代数式 的值．

20.《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为10步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；


（2）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在 中， ______________， 是 的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向．

21.已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．

22.如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 ．

（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 平分 ，求 和 的长．

23.在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围．

24.如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．

（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的长．

25.为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组： ）：

．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数､中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

26.在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．

27.如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．

（1）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；
（2）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．

28.在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的“关联线段”是______________；
（2） 是边长为1的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，求 的值；
（3）在 中， ．若 是 的以点 为中心的“关联线段”，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长．

参考答案

1.B

【解析】
根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
解：由图形可得该几何体是圆柱；
故选B．

2.C

【解析】
根据科学记数法可直接进行求解．
解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为 ；
故选C．

3.A

【解析】
由题意易得 ， ，进而问题可求解．
解：∵点 在直线 上， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．

4.D

【解析】
根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．

5.B

【解析】
由数轴及题意可得 ，依此可排除选项．
解：由数轴及题意可得： ，
∴ ，
∴只有B选项正确，
故选B．

6.C

【解析】
根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
解：由题意得：

∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是 ；
故选C．

7.B

【解析】
由题意可直接进行求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．

8.A

【解析】
由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
解：由题意得：
，整理得： ，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．

9.

【解析】
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
解：由题意得：
，
解得： ；
故答案为 ．

10.

【解析】
根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
解： ；
故答案为 ．

11.

【解析】
根据分式方程的解法可直接进行求解．
解：
，
∴ ，
经检验： 是原方程的解．
故答案为：x=3．

12.

【解析】
由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．

13.130°

【解析】
由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．

14. （答案不唯一）

【解析】
由题意易得四边形 是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．

15.＞

【解析】
根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
解：由题意得：
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为＞．

16.     2∶3    

【解析】
设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得 ，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为 ，进而求解即可得出答案．
解：设分配到 生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：
，解得： ，
∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），
∴分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为2∶3；
∴第二天开工时，给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，
∵加工时间相同，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ， ．

17.

【解析】
根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．
解：原式= ．

18.

【解析】
根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解．
解：
由①可得： ，
由②可得： ，
∴原不等式组的解集为 ．

19.1

【解析】
先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可．
解：
=
= ，
∵ ，
∴ ，
代入原式得：原式= ．

20.（1）图见详解；（2） ，等腰三角形的三线合一

【解析】
（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；
（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
解：（1）如图所示：


（2）证明：在 中， ， 是 的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线 表示的方向为东西方向，
∴直线 表示的方向为南北方向；
故答案为 ，等腰三角形的三线合一．

21.（1）见详解；（2）

【解析】
（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可．
（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．

22.（1）见详解；（2） ，

【解析】
（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由 可进行求解问题．
（1）证明：∵ ，
∴AD∥CE，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， 平分 ， ，
∴ ，
∴EF=CE=AD，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

23.（1） ；（2）

【解析】
（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得： ，然后结合函数图象可进行求解．
解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：

∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数 与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，
综上所述： ．

24.（1）见详解；（2） ，

【解析】
（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有 ，进而可得 ，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

25.（1） ；（2） ，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

【解析】
（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；
（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；
（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解．
解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，
∵ 有3家， 有7家， 有8家，
∴中位数落在 上，
∴ ；
（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则 最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则 至少为13个，
∴ ；
（3）由题意得：
（百万元）；
答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元．

26.（1） ；（2） ，理由见解析

【解析】
（1）由题意易得点 和点 ，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当 时和当 时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
解：（1）当 时，则有点 和点 ，代入二次函数 得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为 ；
（2）由题意得：抛物线 始终过定点 ，则由 可得：
①当 时，由抛物线 始终过定点 可得此时的抛物线开口向下，即 ，与 矛盾；
②当 时，
∵抛物线 始终过定点 ，
∴此时抛物线的对称轴的范围为 ，
∵点 在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 ，
∵ ，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴ ．

27.（1） ， ，理由见详解；（2） ，理由见详解．

【解析】
（1）由题意及旋转的性质易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求解；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得 ， ，易证 ，进而可得 ，然后可得 ，最后根据相似三角形的性质可求证．
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明： ，理由如下：
过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：

∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

28.（1） ；（2） ；（3）当 时，此时 ；当 时，此时 ．

【解析】
（1）以点A为圆心，分别以 为半径画圆，进而观察是否与 有交点即可；
（2）由旋转的性质可得 是等边三角形，且 是 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且 ，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
解：（1）由题意得：

通过观察图象可得：线段 能绕点A旋转90°得到 的“关联线段”， 都不能绕点A进行旋转得到；
故答案为 ；
（2）由题意可得：当 是 的以点 为中心的“关联线段”时，则有 是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

设 与y轴的交点为D，连接 ，易得 轴，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：

同理可得此时的 ，
∴ ；
（3）由 是 的以点 为中心的“关联线段”，则可知 都在 上，且 ，则有当以 为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：

由运动轨迹可得当点A也在 上时为最小，最小值为1，此时 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由以上情况可知当点 三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：

连接 ，过点 作 于点P，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴由勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
综上所述：当 时，此时 ；当 时，此时 ．