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贵州省贵阳市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.在 ，0，1， 个实数中，大于1的实数是（ ）
A．
B．0
C．1
D．

2.下列几何体中，圆柱体是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活80000000人．将80000000这个数用科学记数法可表示为 ，则 的值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

4.“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2， 这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则 的值可能是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

5.计算 的结果是（ ）
A．
B．
C．1
D．

6.今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低
B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同
D．小红的分数可能比小星的分数高

7.如图，已知线段 ，利用尺规作 的垂直平分线，步骤如下：①分别以点 为圆心，以 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ．②作直线 ．直线 就是线段 的垂直平分线．则 的长可能是（ ）


A．1
B．2
C．3
D．4

8.如图，已知数轴上 两点表示的数分别是 ，则计算 正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图， 与正五边形 的两边 相切于 两点，则 的度数是（ ）


A．
B．
C．
D．

10.已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

11.如图，在 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 的长是（ ）

A．1
B．2
C．2.5
D．3

12.小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线 ，其中 ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个
B．18个
C．19个
D．21个

评卷人 得分

二、填空题

13.二次函数 的图象开口方向是_______（填“向上”或“向下”）．

14.如图，在平面直角坐标系中，菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是___________．

15.贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是___________．

16.在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．

评卷人 得分

三、解答题

17.（1）有三个不等式 ，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：
（2）小红在计算 时，解答过程如下：

第一步
第二步
第三步
小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．

18.2020年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变化情况，根据贵州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：
贵州省历次人口普查城镇人口统计表

年份	1953	1961	1982	1990	2000	2010	2020
城镇人口（万人）	110	204	540	635	845	1175	2050
城镇化率	7%	12%	19%	20%	24%		53%

贵州省历次人口普查乡村人口统计图

（1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是________万人；
（2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的一个指标．根据统计图表提供的信息，我省2010年的城镇化率 是______（结果精确到1%）；假设未来几年我省城乡总人口数与2020年相同，城镇化率要达到60%，则需从乡村迁入城镇的人口数量是_________．万人（结果保留整数）；
（3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势．

19.如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 ．

（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积．

20.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，若 ．

（1）求点 的坐标及 的值；
（2）若 ，求一次函数的表达式．

21.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的 处遥控无人机，无人机在 处距离地面的飞行高度是 ，此时从无人机测得广场 处的俯角为 ，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高 （点 在同一平面内）．

（1）求仰角 的正弦值；
（2）求 两点之间的距离（结果精确到 ）．

22.为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表：

产品	展板	宣传册	横幅
制作一件产品所需时间（小时）	1
制作一件产品所获利润（元）	20	3	10

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．

23.如图，在 中， 为 的直径， 为 的弦，点 是 的中点，过点 作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，分别连接 ．

（1） 与 的数量关系是_______；
（2）求证： ；
（3）若 ，求阴影部分图形的面积．

24.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 ．


（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水位刚好在 处．有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围．

25.（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 的中心 ，作 ，将它分成4份．所分成的四部分和以 为边的正方形恰好能拼成以 为边的正方形．若 ，求 的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形 的边长为定值 ，小正方形 的边长分别为 ．已知 ，当角 变化时，探究 与 的关系式，并写出该关系式及解答过程（ 与 的关系式用含 的式子表示）．

参考答案

1.D

【解析】
根据实数的大小关系，即可求解．
解：在 ，0，1， 个实数中，大于1的实数是 ，
故选D．

2.C

【解析】
根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．
解：A. 是圆锥，不符合题意；
B. 是圆台，不符合题意；
C. 是圆柱，符合题意；
D. 是棱台，不符合题意，
故选C．

3.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：∵80000000＝8×10⁷，
∴n＝7，
故选：B．

4.A

【解析】
根据必然事件的意义，进行解答即可．
解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A．

5.C

【解析】
根据同分母分式的加法法则，即可求解．
解：原式= ，
故选C．

6.D

【解析】
根据平均数的意义，逐一判断选项，即可．
解：∵平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，
∴小红的分数和小星的分数并不能确定哪个分数高或低，
∴小红的分数可能比小星的分数高，
故选D．

7.D

【解析】
利用基本作图得到b＞ AB，从而可对各选项进行判断．
解：根据题意得：b＞ AB，
即b＞3，
故选：D．

8.C

【解析】
根据数轴上两点的位置，判断 的正负性，进而即可求解．
解：∵数轴上 两点表示的数分别是 ，
∴a＜0，b＞0，
∴ ，
故选：C．

9.A

【解析】
根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．

10.C

【解析】
根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得 关于原点中心对称，进而即可求解．
解：∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，
∴ 关于原点中心对称，
∵点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ．
故选C．

11.B

【解析】
根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，
∴EF＝4−1−1＝2．
故选：B．

12.B

【解析】
因为题中已知 ，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．
解：∵直线 ，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，
∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，
第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，
故选：B．

13.向上

【解析】
根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向．
解：∵二次函数 ，a=1＞0，
∴二次函数 的图象开口方向向上，
故答案是：向上．

14.（2，0）

【解析】
根据菱形的性质，可得OA=OC，结合勾股定理可得OA=OC=2，进而即可求解．
解：∵菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ，
∴OB=1，OA=OC，
∵ ，
∴OC= ，
∴OA=2，即：A的坐标为：（2，0），
故答案是：（2，0）．

15.

【解析】
画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如图：


共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为 ，
故答案为： ．

16. ，2．

【解析】
设 为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，作 的高EK，可得点E，K，G，D四点共圆，从而得点K为一个定点，当GF最大时， 的面积最大，当GF最小时， 的面积最小，进而即可求解．
解：设 为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，如图，作 的高EK，

∵∠EKG=∠EDG=90°，
∴点E，K，G，D四点共圆，
∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理：∠KAE=∠KFE=60°，
∴ 是一个正三角形，点K为一个定点，
∵正三角形的面积取决于它的边长，
∴当GF最大时， 的面积最大，当GF最小时， 的面积最小，
∴当KF⊥AB时，FG最小，即FG最小，此时，FG=AD=2，

当点F与点B重合时，KF最大，即FG最大，此时 的面积最大，
过点K作AB的平行线交AD于点M，交BC于点N，
∴MK 为 的高，
∴MK=DKsin60°=ADsin60°= ，
∴KN=AB-MK= ，
∵K为BG的中点，N为BC的中点，
∴CG=2KN= ，
∴FG= ．


故答案是： ，2．

17.（1）x＜-3；（2）第一步，正确过程见详解

【解析】
（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可；
（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可．
解：（1）挑选第一和第二个不等式，得 ，
由①得：x＜-2，
由②得：x＜-3，
∴不等式组的解为：x＜-3；
（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：



．
故答案是：第一步

18.（1）2300；（2）34%，271；（3）随着年份的增加，城镇化率越来越高．

【解析】
（1）根据中位数的定义即可解答．
（2）用2010年的城镇人口数除以2010年的人口总数可得2010年的城镇化率a，用2020我省城乡总人口数乘以60%减去现有城镇人口数即可解答．
（3）根据表格中的城镇化率即可解答．
解：（1）这七次人口普查乡村人口数从小到大排列为：1391，1511，1818，2300，2315，2616，2680，
∴中位数是第四个数2300，
故答案为：2300；
（2）1175÷（2300＋1175）×100%≈34%，
（2050＋1818）×60%−2050≈271（万人），
故答案为：34%，271；
（3）随着年份的增加，城镇化率越来越高．

19.（1）见详解；（2）4 -8

【解析】
（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得到结论；
（2）由 以及勾股定理得AN=DM=4，AB= ，进而即可求解．
（1）证明：∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ ，
∴ （AAS），
（2）∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8．

20.（1）（2，0），m=-5；（2）

【解析】
（1）在直线y＝kx＋k中令y＝0可求得A点坐标；连接CO，得 =3，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解；
（2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，代入反比例函数，求出C点坐标，再利用待定系数法，即可求解．
解：（1）在 中，令y＝0可得 ，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；

连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴ =3，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴ ，即：m=-5；
（2）∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB= ，
∴在 中，OB= ，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴ ，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入 ，得： ，解得：k= ，
∴一次函数的解析式为： ．

21.（1） ；（2）B，C两点之间的距离约为51m．

【解析】
（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可．
解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，

∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，
∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m），
在Rt△AEF中，sin∠AEF= ，即sin = ．
答：仰角 的正弦值为 ；
（2）在Rt△AEF中，EF＝ m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m，
∵tan∠ACD= ，
∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，
∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m．
答：B，C两点之间的距离约为51m．

22.（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75．

【解析】
（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得 ，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值．
（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，
根据题意得： ，解得： ，
5×10=50，
答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；
（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w，
由题意得： ，即： ，
∴ ，
∴w= ，
∵x，y取正整数，
∴x可取的最小整数为2，
∴w= 的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75．

23.（1）BE= ；（2）见详解；（3）

【解析】
（1）由 为 的直径，点 是 的中点，可得∠ABE= ，从而得 是等腰直角三角形，进而即可得到结论；
（2）连接BC、BN，先证明EN∥BC，再利用圆周角定理，即可求证；
（3）连接AE，ON，先求出∠EAM=30°，再证明 是等边三角形，利用扇形的面积公式，即可求解．
解： 为 的直径，点 是 的中点，
∴∠ABE= ，
∵EN⊥AB，
∴∠MEB=45°，即 是等腰直角三角形，
∴BE= ，
故答案是：BE= ；
（2）连接BC、BN，

∵ 为 的直径，
∴∠ABC=90°，即：AB⊥BC，
∵EN⊥AB，
∴EN∥BC，
∴∠NBC=∠BNE，
∴ ；
（3）连接AE，ON，

∵ ， 是等腰直角三角形，
∴EM=MB=1，BE= ，
∵EN⊥AB，
∴tan∠EAM= ，即∠EAM=30°，
∵ ，
∴∠CON=60°，NC=BE= ，
∵OC=ON，
∴ 是等边三角形，
∴OC=NC= ，
∴ ．

24.（1）y= x²+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8

【解析】
（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y= x²+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，
设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得： ，
∴二次函数的解析式为：y= (x-8)x= x²+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y= x²+2x，得y= ×1²+2×1= ＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= x²-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- x²+2x，
∴新函数表达式为： ，
∵将新函数图象向右平移 个单位长度，
∴ （m，0）， （m+8，0）， （m+4，-4），如图所示，

根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小．

25.（1）见详解；（2）EF= 或 ；（3）c+b=n，理由见详解

【解析】
（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论；
（2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解；
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知： ，结合勾股定理，可得 ，进而即可求解．
（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
∴c²＝ ab×4＋（b−a）²，
化简得：a²＋b²＝c²；
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，

设EF=a，FD=b，
∴a+b=12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴ ， ， ，
当EF＞DF时，
∵ ，
∴a-b=5，
∴ ，解得：a= ，
∴EF= ；
同理，当EF＜DF时，EF=
故EF= 或
（3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，
∵ ，
∴图中①与②与③，三个直角三角形相似，
∴ ，即： ，
∵图形③是直角三角形，
∴ ，
∴ ，即：c+b=n，