2021年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选错选，均不得分）

1．（3分）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（　　）

A．55×10⁶

B．5.5×10⁷

C．5.5×10⁸

D．0.55×10⁸

【答案】B

【考点】科学记数法—表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值≥10时，n是正数．

【解答】解：55000000＝5.5×10⁷．故选：B．

【难度】1

2．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】简单组合体的三视图

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．故选：C．

【难度】1

3．（3分）能说明命题“若x为无理数，则x²也是无理数”是假命题的反例是（　　）

A．x 1

B．x 1

C．x＝3

D．x

【答案】C

【考点】命题与定理；无理数

【分析】根据题意，只要x²是有理数，即求出各个选项中x²的值，再判断即可．

【解答】解：（ 1）²＝3﹣2 ，是无理数，不符合题意；（ 1）²＝3+2 ，是无理数，不符合题意；（3 ）²＝18，是有理数，符合题意；（ ）²＝5﹣2 ，是无理数，不符合题意；故选：C．

【难度】1

4．（3分）已知三个点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）在反比例函数y 的图象上，其中x₁＜x₂＜0＜x₃，下列结论中正确的是（　　）

A．y₂＜y₁＜0＜y₃

B．y₁＜y₂＜0＜y₃

C．y₃＜0＜y₂＜y₁

D．y₃＜0＜y₁＜y₂

【答案】A

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x₁＜x₂＜0＜x₃即可得出结论．

【解答】解：∵反比例函数y 中，k＝2＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x₁＜x₂＜0＜x₃，∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点在第三象限，点（x₃，y₃）在第一象限，∴y₂＜y₁＜0＜y₃．故选：A．

【难度】1

5．（3分）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．矩形

D．菱形

【答案】D

【考点】剪纸问题；菱形的判定

【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．

【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线BC对称，∴四边形BACD是菱形，故选：D．

【难度】1

6．（3分）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．中位数是33℃

B．众数是33℃

C．平均数是 ℃

D．4日至5日最高气温下降幅度较大

【答案】A

【考点】众数；算术平均数；中位数

【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；C、平均数为 （23+25+26+27+30+33+33） ，正确，不符合题意；D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，故选：A．

【难度】1

7．（3分）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）

A．相离

B．相交

C．相切

D．相交或相切

【答案】D

【考点】直线与圆的位置关系

【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系．

【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．

【难度】1

8．（3分）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）

A． 20

B． 20

C． 20

D． 20

【答案】B

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”列方程即可．

【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据题意可得： 20．故选：B．

【难度】1

9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）

A．

B．

C．

D．4

【答案】A

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；等腰直角三角形

【分析】法一：分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．

法二：连接 DF ， AF ， EF ，利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得△ DFG 是直角三角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解．

【解答】解：法一、如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P， ∴四边形GMNP是矩形，∴GM＝PN，GP＝MN，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴CA⊥AB，又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，∴GM 1，AM AE，FN AC ，AN AB ，∴MN＝AN﹣AM AE，∴PN＝1，FP ，设AE＝m，∴AM m，GP＝MN m，在Rt△AGM中，AG²＝（ m）²+1²，在Rt△GPF中，GF²＝（ m）²+（ ）²，∵AG＝GF，∴（ m）²+1²＝（ m）²+（ ）²，解得m＝3，即AE＝3，在Rt△ADE中，DE ．故选：A．法二、如图，连接DF，AF，EF， 在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，∴∠DAF＝∠B＝45°，∵FG＝AG，∴FG＝DG＝EG，∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，∴∠DFA＝∠EFB，在△AFD和△BFE中， ∴△AFD≌△BFE（ASA），∴AD＝BE＝2，∴AE＝3，在Rt△ADE中，DE ．故选：A．

【难度】5

10．（3分）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质

【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．

【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a 0，当a 时，得b ，∴b ，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴ ．故选：D．

【难度】5

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 　 　．

【答案】 （答案不唯一）．

【考点】二元一次方程的解

【分析】把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．

【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为 ．故答案为： （答案不唯一）．

【难度】1

12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　．

【答案】（4，2）．

【考点】位似变换；坐标与图形性质

【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．

【解答】解：如图， 点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案为：（4，2）．

【难度】1

13．（4分）观察下列等式：1＝1²﹣0²，3＝2²﹣1²，5＝3²﹣2²，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　 　．

【答案】n²﹣（n﹣1）²．

【考点】规律型：数字的变化类

【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，从1开始；等号右边第一个数是和左边是第几个奇数一样，然后写出这个数的平方即可，第二个数比第一个数少1，然后即可这个数的平方，等号右边是两个数的平方作差，从而可以写出第n个等式．

【解答】解：∵1＝1²﹣0²，3＝2²﹣1²，5＝3²﹣2²，…，∴第n个等式为2n﹣1＝n²﹣（n﹣1）²，故答案为：n²﹣（n﹣1）²．

【难度】3

14．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为 　 　．

【答案】 ．

【考点】平行四边形的性质

【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出AC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．

【解答】解：如图，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2 ，∴AC 2 ，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC ，在Rt△OAB中，OB ，又AH⊥BD，∴ OB•AH OA•AB，即 ，解得AH ．故答案为： ．

【难度】3

15．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　 　．

马匹 姓名	下等马	中等马	上等马
齐王	6	8	10
田忌	5	7	9

【答案】 ．

【考点】列表法与树状图法

【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，∴田忌能赢得比赛的概率为 ．故答案为： ．

【难度】3

16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　 　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　 　．

【答案】 ，（1 ）π﹣1 ．

【考点】轴对称的性质

【分析】如图1中，过点B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，求出CA′，CK．可得结论．如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S_扇形A′CA﹣2S_△ABC，由此求解即可．

【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H． 在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1，AH BH ，在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝1，∴AC＝CA′＝1 ，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，设CA′交AB的延长线于K．在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30° ，∴A′K＝CA′﹣CK＝1 ．如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S_扇形A′CA﹣2S_△ABC 2 （1 ）×1＝（1 ）π﹣1 ． 故答案为： ，（1 ）π﹣1 ．

【难度】5

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）

17．（6分）（1）计算：2^﹣1 sin30°；

（2）化简并求值：1 ，其中a ．

【答案】（1）2 ；（2） ，2．

【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算

【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）2^﹣1 sin30° 2 ＝2 ；（2）1 ，当a 时，原式 2．

【难度】3

18．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）²的过程如下框：

小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6．

小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

【答案】解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x₁＝3，x₂＝6

【考点】换元法解一元二次方程；解一元一次方程；解一元二次方程﹣因式分解法

【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；

小霞：提取公因式时出现了错误．

利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x₁＝3，x₂＝6．

【难度】3

19．（6分）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

【答案】解：（1）如图所示： 四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S 2×6＝6，图2菱形面积S 2 4 8，图3菱形面积S＝（ ）²＝10

【考点】作图—应用与设计作图

【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；

（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．

【解答】解：（1）如图所示： 四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S 2×6＝6，图2菱形面积S 2 4 8，图3菱形面积S＝（ ）²＝10．

【难度】3

20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．

【答案】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩

【考点】函数的概念；数学常识

【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；

（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．

（3）答案不唯一．建议合理即可．

【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．

【难度】3

21．（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

青少年视力健康标准

类别	视力	健康状况
A	视力≥5.0	视力正常
B	4.9	轻度视力不良
C	4.6≤视力≤4.8	中度视力不良
D	视力≤4.5	重度视力不良

根据以上信息，请解答：

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

【答案】（1）44.1°．；113人；（2）600人；（3）符合要求，理由见解答．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表

【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解．

（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解．

（3）用1﹣31.25%即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断．

【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数＝360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．该批400名学生2020年初视力正常人数＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．（2）该市八年级学生2021年初视力正常人数＝20000×31.25%＝6250（人）．这些学生2020年初视力正常的人数 （人）．∴估计增加的人数＝6250﹣5650＝600（人）．∴该市八年级学生2021年初视力正常的人数比2020年初大约增加了600人．（3）该市八年级学生2021年视力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．∵68.75%＜69%．∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求．

【难度】3

22．（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．

（1）求点D转动到点D′的路径长；

（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【答案】解：∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∵∠DBE＝108°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，∵BD＝6，∴点D转动到点D′的路径长为 π（cm）；（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图： Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80（cm），∴DG+HE＝3.54cm+3.80cm＝7.34cm≈7.3cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，答：点D到直线EF的距离约为7.3cm

【考点】解直角三角形的应用；轨迹

【分析】（1）由BD'∥EF，求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为 π；

（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54，Rt△BEH中，HE＝3.80，故DG+HE≈7.3，即点D到直线EF的距离为7.3cm，

【解答】解：∵BD'∥EF，∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∵∠DBE＝108°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，∵BD＝6，∴点D转动到点D′的路径长为 π（cm）；（2）过D作DG⊥BD'于G，过E作EH⊥BD'于H，如图： Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80（cm），∴DG+HE＝3.54cm+3.80cm＝7.34cm≈7.3cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为7.3cm，答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．

【难度】5

23．（10分）已知二次函数y＝﹣x²+6x﹣5．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．

【答案】（1）顶点坐标为（3，4）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）t＝3 或 ．

【考点】二次函数的性质；二次函数的最值

【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；

（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x²+6x﹣5＝﹣（x﹣3）²+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x＝3时，y_最大值＝4，∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x＝1时，y_最小值＝0，∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x＝4时，y_最小值＝3．∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）²+6（t+3）﹣5＝﹣t²+4，当x＝t时，n＝﹣t²+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣t²+4﹣（﹣t²+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m＝4，i）当0≤t 时，在x＝t时，n＝﹣t²+6t﹣5，∴m﹣n＝4﹣（﹣t²+6t﹣5）＝t²﹣6t+9，∴t²﹣6t+9＝3，解得t₁＝3 ，t₂＝3 （不合题意，舍去）；ii）当 t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t²+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t²+4）＝t²，∴t²＝3，解得t₁ ，t₂ （不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t²+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）²+6（t+3）﹣5＝﹣t²+4，.m﹣n＝﹣t²+6t﹣5﹣（﹣t²+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3 或 ．

【难度】5

24．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

【答案】[探究1]BC ．[探究2]D'M＝DM．证明过程见解析；[探究3]关系式为MN²＝PN•DN．证明过程见解析．

【考点】四边形综合题

【分析】[探究1]如图1，设BC＝x，由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，证明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性质得出 ，由比例线段得出方程 ，求出x的值即可得出答案；

[探究2]连接DD'，证明△AC'D'≌△DBA（SAS），由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得出结论；

[探究3]连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性质得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，证明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性质得出 ，则可得出结论．

【解答】解：[探究1]如图1，设BC＝x， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，∴点A，B，D'在一条线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵点C'在DB的延长线上，∴△D'C'B∽△ADB，∴ ，∴ ，解得x₁ ，x₂ （不合题意，舍去），∴BC ．[探究2]D'M＝DM．证明：如图2，连接DD'， ∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；[探究3]关系式为MN²＝PN•DN．证明：如图3，连接AM， ∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NPA∽△NAD，∴ ，∴AN²＝PN•DN，∴MN²＝PN•DN．

【难度】5