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山东省东营市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.16的算术平方根是( )
A．4
B．-4
C．
D．8

2.下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图， ， 于点F，若 ，则 （ ）


A．
B．
C．
D．

4.某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（ ）元
A．240
B．180
C．160
D．144

5.如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）

A．214°
B．215°
C．216°
D．217°

8.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

9.如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 的横坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图， 是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且 ，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：① ；②当点D与点C重合时， ；③ ；④当 时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）

A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④

评卷人 得分

二、填空题

11.2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人．7206万用科学记数法表示________．

12.因式分解： ________．

13.如图所示是某校初中数学兴趣小组年龄结构条形统计图，该小组年龄最小为11岁，最大为15岁，根据统计图所提供的数据，该小组组员年龄的中位数为________岁．

14.不等式组 的解集是________．

15.如图，在 中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若 ， ， ，则扇形BEF的面积为________．

16.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为 万平方米，则所列方程为________．

17.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为________．

18.如图，正方形 中， ，AB与直线l所夹锐角为 ，延长 交直线l于点 ，作正方形 ，延长 交直线l于点 ，作正方形 ，延长 交直线l于点 ，作正方形 ，…，依此规律，则线段 ________．

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算： ．
（2）化简求值： ，其中 ．

20.为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：


（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．

21.如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D， 于点F，连接OF，且 ．

（1）求证：DF是 的切线；
（2）求线段OF的长度．

22.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

23.如图所示，直线 与双曲线 交于A、B两点，已知点B的纵坐标为 ，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点 ， ， ．

（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式 的解集．

24.如图，抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，直线 过B、C两点，连接AC．


（1）求抛物线的解析式；
（2）求证： ；
（3）点 是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 的最小值．

25.已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若 ，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

参考答案

1.A

【解析】
根据算术平方根的定义即可求出结果．
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．

2.B

【解析】
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．
选项A， 和 不是同类项，不能够合并，选项A错误；
选项B，根据完全平方公式可得 ，选项B正确；
选项C，根据积的乘方的运算法则可得 ，选项C错误；
选项D， 与 不能够合并，选项D错误．
故选B．

3.D

【解析】
过点E作EH∥CD，由此求出 ，得到 ，根据平行线的推论得到AB∥EH，利用平行线的性质求出答案．
解：过点E作EH∥CD，如图，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵EH∥CD， ，
∴AB∥EH，
∴ ，
故选：D．

4.D

【解析】
根据题意，列出算式，即可求解．
解：300×0.8×0.6=144（元），
故选D．

5.D

【解析】
根据正切函数的定义，可得 ，根据计算器的应用，可得答案．
解：由 ，得：
，
故选：D．

6.A

【解析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰有一车直行，另一车左拐的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为2，
所以恰有一车直行，另一车左拐的概率＝ ．
故选A．

7.C

【解析】
由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长 ，
圆锥的底面周长为： ，
设圆心角的度数为n，
则 ，
解得： ，
故圆心角度数为： ，
故选：C．

8.C

【解析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．

9.A

【解析】
设点 的横坐标为 ，然后表示出 、 的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解.
设点 的横坐标为 ，
则 、 间的横坐标的差为 ， 、 间的横坐标的差为 ，
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： .
故选：A.

10.B

【解析】
过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
解：如图1, 过A作AI⊥BC垂足为I
∵ 是边长为1的等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S_△ABC= ,故①正确；

如图2，当D与C重合时
∵∠DBE=30°， 是等边三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG= ,故②正确；

如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延长EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP为等边三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD= DE成立，则PE= NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；

如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四边形BHFG是平行四边形
∵BG=BH
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故选B．

11.

【解析】
由7206万=72060000，根据科学记数法的法则表示还原的数即可
∵7206万=72060000，
∴72060000= ，
故答案为: ．

12.

【解析】
先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．
解：
故答案为：

13.13

【解析】
直接根据中位数定义求解即可．
解：根据题意排列得：11，11，12，12，12，13，13，
13，13，13，14，14，14，14，15，15，15，15，
个数为偶数，中间的两个数为：13，13，
∴中位数为13，
故答案为：13

14.

【解析】
分别求出每一个不等式的解集，再求其解集即可
解不等式




解不等式



解集
故答案为： ．

15.

【解析】
根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出 ，然后根据扇形面积公式计算．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵E为BC的中点，EB、EF为半径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴扇形BEF的面积 ．

16.

【解析】
原计划每天绿化的面积为 万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米，根据工作时间=工作总量 工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于 的分式方程．
设原计划每天绿化的面积为 万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米，
依据题意：
故答案为：

17.

【解析】
因为折叠，则有 ，从而可知 ，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．
如图, 四边形ABCD是正方形，
，
因为折叠， ，设垂足为H，
，
，
，
，
，
， ，DE= ，
，
，





故答案为 ．

18.

【解析】
利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.
∵AB与直线l所夹锐角为 ，正方形 中， ，
∴∠ =30°，
∴ = tan30°= =1，
∴ ；

∵ =1，∠ =30°，
∴ = tan30°= ，
∴ ；
∴线段 ,
故答案为： .

19.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）先化简二次根式、特殊角的正切三角函数、化简绝对值、零指数幂、积的乘方的逆用，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先计算分式的加法运算，再根据 得出 代入求值即可得．
解：（1）原式 ，
，
；
（2）原式 ，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．

20.（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）

【解析】
（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3） ，
故答案为： ；
（4）列表如下：

小明 小丽	A	B	C	D
A
B
C
D

由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题） ．

21.（1）见解析；（2） ．

【解析】
（1）连接OD，先说明 是等边三角形得到 ，说明 ，进而得到 即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到 ，最后运用勾股定理解答即可．
（1）证明：连接OD

∵ 是等边三角形
∴
∵
∴ 是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是 的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为 的中位线
∴
∵ ，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在 中， ．

22.（1）20%；（2）能

【解析】
（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为 （公斤），
∵ ，
∴他们的目标可以实现．

23.（1） ；（2）点P的坐标为 ；（3） 或

【解析】
（1）过点A作 轴于点E，根据三角函数的性质，得点A ，将点A 代入 ，得 ；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、 、 ，结合（1）的结论，得点B ；结合题意得 ；把 代入 ，得点C ；设点 的坐标为 ，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
（1）如图，过点A作 轴于点E，

∵ ， ，
∴ ， ，
∴点A ，
∴双曲线的解析式为 ，
把 ， 分别代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ；
（2）如图，连接OB、 、

把 代入 ，得 ，
∴点B ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴点C
设点 的坐标为 ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A 、点B
∴ 或 ．

24.（1） ；（2）见解析；（3）

【解析】
（1）先利用直线 得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；
（3）设点D的坐标为 ，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当 时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可．
（1）解：∵直线 分别与 轴和 轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
把 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵抛物线 与x轴交于点A，
∴ ，
解得 ， ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（3）设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴


=
∵ ，
∴当 时，线段DE的长度最大．
此时，点D的坐标为 ，
∵ ，
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时 最小．
连接CM交直线DE于点F，则 ，点F的坐标为 ，
∴ ，
∵
∴ 的最小值 ．
．

25.（1） ；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②

【解析】
（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线 ，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明 即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明 即可；
（3）①方法一：过点O作直线 ，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明 ，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明 ；
②延长CO交DB的延长线于点E，证明 ，根据已知条件得出 ．
（1） O是线段AB的中点



在 和 中




（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线 ，交BD于点F，延长AC交EF于点E．

∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴ ，
由（1）知，
∴ ，
∴ ．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点O为AB的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）①数量关系依然成立．
证明（方法一）：
过点O作直线 ，交BD于点F，延长CA交EF于点E．

∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴ ，
由（1）知，
∴ ，
∴ ．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点O为AB的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②如图，延长CO交DB的延长线于点E，

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点O为AB的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，

∵ ,





．