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四川省眉山市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.6的相反数为 　　
A．-6
B．6
C．
D．

2.2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列计算中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的度数为（ ）

A．42°
B．48°
C．52°
D．60°

5.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3
B．1：2
C．2：1
D．3：1

6.化简 的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．80，90
B．90，90
C．86，90
D．90，94

8.我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）


A．
B．
C．
D．

9.已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．5

10.如图，在以 为直径的 中，点 为圆上的一点， ，弦 于点 ，弦 交 于点 ，交 于点 ．若点 是 的中点，则 的度数为（ ）


A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°

11.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

12.如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 在线段 上从点 至点 运动，连接 ，以 为边作等边三角形 ，点 和点 分别位于 两侧，下列结论：① ；② ；③ ；④点 运动的路程是 ，其中正确结论的序号为（ ）

A．①④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式： ______．

14.一次函数 的值随 值的增大而减少，则常数 的取值范围是______．

15.如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为______．

16.若关于 的不等式 只有3个正整数解，则 的取值范围是______．

17.观察下列等式： ；
；
；
……
根据以上规律，计算 ______．

18.如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则 的最小值是______．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.解方程组

21.吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 %；
（2）请补全条形统计图：
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生 ， ， 是初一学生，1名学生 为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．

22.“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从 处测得该建筑物顶端 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达 处，测得顶端 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据： ， ， ）

23.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？

24.如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直线 ，且与 的外接圆 相切，与双曲线 在第二象限内的图象交于 、 两点．
（1）求点 ， 的坐标和 的半径；
（2）求直线 所对应的函数表达式；
（3）求 的面积．

25.如图，在等腰直角三角形 中， ， ，边长为2的正方形 的对角线交点与点 重合，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）当点 在 内部，且 时，设 与 相交于点 ，求 的长；
（3）将正方形 绕点 旋转一周，当点 、 、 三点在同一直线上时，请直接写出 的长．

26.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点 为该抛物线上一点（不与点 重合），直线 将 的面积分成2：1两部分，求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴移动，运动时间为 秒，当 时，求 的值．

参考答案

1.A

【解析】
根据相反数的定义进行求解.
6的相反数为：﹣6．故选A.

2.B

【解析】
先将200万转化为2000000，再将它写成 （ ），利用科学记数法进行表示即可．
解：200万=2000000= ；
故选：B．

3.C

【解析】
逐一分析各选项中的计算结果，利用计算公式进行计算即可得到正确选项．
解：A选项中， ；
B选项中， ;
C选项正确；
D选项中， ;
故选：C．

4.A

【解析】
先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故选：A．

5.D

【解析】
根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故选D．

6.B

【解析】
小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简．
解：原式
故答案是：B．

7.B

【解析】
先将该组数据按照从小到大排列，位于最中间的数和出现次数最多的数即分别为中位数和众数．
解：将这组数据按照从小到大排列：80,86,90,90,94；
位于最中间的数是90，所以中位数是90；
这组数据中，90出现了两次，出现次数最多，因此，众数是90；
故选：B．

8.C

【解析】
从三视图分析出运载火箭由上半部分的圆锥和下半部分的圆柱组成，分别求出圆柱和圆锥的侧面积，再求和即可．
由图可知，运载火箭的上半部分为圆锥，底面圆的半径r为 ，高为1.6．下半部分为圆柱，底面圆的半径r=1.2，高为4．
圆柱的侧面积为： ，
圆锥的侧面积为： ，
该整流罩的侧面积： ．
故选：C．

9.A

【解析】
根据一元二次方程根的定义，得 ，结合根与系数的关系，得 + =3，进而即可求解．
解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7．
故选A．

10.C

【解析】
根据直径所对的圆周角是 ，可知 ，根据 ，可知 、 的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知， 为等腰三角形，再根据 可求得 的度数．
解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

11.A

【解析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由 ， ；
∴对应的原抛物线上点的坐标为 ；
代入原抛物线解析式可得： ，
∴新抛物线的解析式为： ；
故选：A．

12.B

【解析】
连接OE并延长交DC于点H，先证△ADO为等边三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根据△DEF为等边三角形，得出①正确；证出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正确；证出∠ADF=∠3，看得出③正确；根据△DOE≌△COE，得出点E在OH上运动，可得④正确．
解：

连接OE并延长交DC于点H，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=OC，
∵∠DAC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠2=∠DAF=60°，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠1=60°=∠5，
∴∠1=∠2，
∴D、F、O、E四点共圆，
∴∠3=∠4，①正确；
∴∠5=∠6=60°，
∴∠7=∠6=60°，
∵OD=OC，OE=OE，
∴△DOE≌△COE，
∴∠3=∠8，
∴∠CDE=∠DCE，
∴ED=EC，②正确；
∵∠ADO=∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠3，
∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正确；
∵△DOE≌△COE，
∴点E在∠DOC的角平分线上与CD的交点为H，即点E在OH上运动，
∴OH= BC，
∴OH= ，④错误．
故选B．

13.

【解析】
先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可．
解： ；
故答案为： ．

14.

【解析】
由题意，先根据一次函数的性质得出关于 的不等式 ，再解不等式即可．
解： 一次函数 的值随 值的增大而减少，
，
解得： ，
故答案是： ．

15.

【解析】
先由等腰三角形性质求出CD以及 ，再利用作图方式确定MN垂直平分AC，得到CE=AE，最后利用勾股定理即可求解．
解:∵ 中， ， ， 平分
∴ ，且 ，（等腰三角形“三线合一”）
∴ ，
由分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，可知，MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 的长为 ；
故答案为： ．

16.

【解析】
首先解关于 的不等式，然后根据 只有3个正整数解，来确定关于 的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
解：解不等式 ，
得： ，
由题意 只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，
故： ，
解得： ，
故答案是： ．

17.

【解析】
根据题意，找到第n个等式的左边为 ，等式右边为1与 的和；利用这个结论得到原式＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021，然后把 化为1﹣ ， 化为 ﹣ ， 化为 ﹣ ，再进行分数的加减运算即可．
解：由题意可知， ，

＝1 +1 +1 +…+1 ﹣2021
＝2020+1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ﹣2021
＝2020+1﹣ ﹣2021
＝ ．
故答案为： ．

18.

【解析】
过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时 的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时 的长度最小
∵菱形 中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时 得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：

19.

【解析】
依次计算“0次方”、 、负整数指数幂、化简 等，再进行合并同类项即可．
解：原式= ．

20.

【解析】
方程组适当变形后，给②×3-①×2即可消去x，解关于y的一元一次方程，再将y值代入①式，即可解出y．
解：由 可得
②×3-①×2得 ，
即 ，
解得y=1，
将y=1代入①式得 ，解得 ．
故该方程组的解为 ．

21.（1）50，30；（2）见详解；（3）780；（4）

【解析】
（1）用“了解较少”的人数÷对应的百分比，即可得到抽取调查的总人数，用“了解较多”的人数÷抽取的总人数，即可得到百分比，
（2）先求出“基本了解”的人数，再补全统计图，即可；
（3）用1000ד非常了解”和“了解较多”人数之和所占百分比，即可求解；
（4）画出树状图，展示所有等可能的结果，即可求解．
解：（1）4÷8％=50（人），15÷50×100％=30％，
故答案是：50，30；
（2）50-24-4-15=7（人），
补全条形统计图如下：

（3）1000× =780（人），
故答案是：780；
（4）画树状图如下：

共有12种等可能结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的结果数有6种，
∴恰好抽到初一、初二学生各1名的概率=6÷12= ．

22.

【解析】
和 中有公共直角边CE，根据等腰直角三角形以及锐角三角函数的边角关系解出CE的长度，再用无人机的飞行高度减去CE即可．
解：过点C作 交AB的延长线于点C，作 于点F，如图所示：

在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴

23.（1）每个足球60元，每个篮球90元；（2）最多购进篮球116个

【解析】
（1）设一个足球的单价x元，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，则一个篮球的单价为（2x-30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程求解即可；
（2）设买篮球m个，则买足球（200-m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过15500元建立不等式求出解即可．
解：（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，
根据题意得： ，
解得x=60，
经检验x=60是方程的根且符合题意，
2x-30=90，
答：每个足球60元，每个篮球90元．
（2）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，
由题意得： ，
解得 ．
∵ m为正整数，∴ 最多购进篮球116个．

24.（1）A（-8，0），B（0，6），5；（2）y= x+ ；（3）

【解析】
（1）令y=0代入 ，令x=0代入 ，即可得到A、B的坐标，进而得到圆的半径；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，得AG=5，由∠AMG=∠OAB，得 ，进而即可求解；
（3）联立 ，可得C的坐标，进而即可求解．
解：（1）令y=0代入 ，得 ，解得：x=-8，即：A（-8，0），
令x=0代入 ，得 ，即：B（0，6），
∴AB= ,
∴ 的半径为：5；
（2）过点A作AG⊥MN于点G，


∵直线 ，且与 的外接圆 相切，
∴AG=5，∠AMG=∠OAB，
∴sin∠AMG=sin∠OAB，即： ，
∴ ，解得：AM= ，即：OM= +8= ，
∴M（- ，0），
同理：BN= ，ON=6+ = ，N（0， ），
设直线 所对应的函数表达式为：y=kx+b，
则 ，解得： ，
∴直线 所对应的函数表达式为：y= x+ ；
（3）联立 ，得： = ，解得： ， ，
∴C（-3，10），
∴ 的面积= = ．

25.（1）见详解；（2） ；（3） -1或 +1

【解析】
（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得∠ACD=∠BCE， ，CD=CE，进而即可得到结论；
（2）先求出DC= ，AD= ，再证明 ，进而即可求解；
（3）分两种情况：①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，分别求解，即可．
解：（1）∵在等腰直角三角形 中， ， ，在正方形 中，CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，
∴ ；
（2）∵正方形 的边长为2，
∴DC=GC=2÷ = ，
∵ ，
∴AD= ，
∵∠GDE= ，
∴∠ADM=∠CDE=45°，
∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴AM= ；
（3）①当点D在线段AE上时，过点C作CM⊥AE，如图，
∵正方形 的边长为2，
∴CM=DM=2÷2=1，AM= ，
∴AD=AM-DM= -1；

②当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD，如图，
同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM= ，
∴AD=AM+DM= +1．
综上所述：AM= -1或 +1

26.（1） ；（2）点 （6，-8）；（3）当点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴移动时， 秒．

【解析】
（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；
（2）在 的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将 的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；
（3）先利用图形在 内构造 ，求出 ，在 中由 ， ，求出OM长即可解答，
解：（1）由抛物线 经过点 和点 ，得：
，
解得：
即：条抛物线所对应的函数表达式为： ；
（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）
∵点 和点 ．
∴ ，
∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将 的面积分成2：1两部分，如解（2）图，


∵点 为该抛物线上一点（不与点 重合），
∴直线CP经过Q点，
设直线CP解析式为： ，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：
，
∴ ，
即可设直线CP解析式为： ，
联立函数解析式为： ，
解得： ， ，
故P点坐标为（6，-8），
（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为H，

由轴对称性质可知： ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
点 从点 出发，以每秒1个单位的速度远动：
当沿 轴正方向移动时， ，则 秒，
当沿 轴CO方向移动时， ，则 秒，
综上所述：当点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 轴正方向移动时， 秒；沿CO方向在 轴移动时， 秒．