绝密·启用前

内蒙古赤峰市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.实数2021的相反数是（ ）
A．2021
B．
C．
D．

2.截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×10⁵
B．8.3×10⁶
C．83×10⁵
D．0.83×10⁷

3.下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.下列说法正确的是（ ）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行
C．一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5
D．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，那么乙组队员的身高比较整齐

5.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6.如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（　　）

A．85°
B．75°
C．60°
D．30°

7.实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果 ，那么下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（ ）

A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的m为10%
C．若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人
D．样本中选择公共交通出行的有2400人

9.一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A．
B．
C．
D．

10.如图，点C，D在以AB为直径的半圆上， ，点E是 上任意一点，连接BE，CE，则 的度数为（ ）

A．20°
B．30°
C．40°
D．60°

11.点 在函数 的图象上，则代数式 的值等于（ ）
A．5
B．-5
C．7
D．-6

12.已知抛物线 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	3	0	-1	m	3	…

以下结论正确的是（ ）
A．抛物线 的开口向下
B．当 时，y随x增大而增大
C．方程 的根为0和2
D．当 时，x的取值范围是

13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

14.甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离 (米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．

A．4
B．3
C．2
D．1

评卷人 得分

二、填空题

15.在函数 中，自变量x的取值范围是_____．

16.某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 处的高度 为 米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据 ， ， )

17.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．

18.如图，正方形ABCD的边长为 ，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G,连接CG并延长，交AB于点F，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；② ；③ ，④ ，其中正确结论的序号是_____________．

评卷人 得分

三、解答题

19.先化简，再求值： ，其中 ．

20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．

21.某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t(单位，小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：

睡眠时间t(小时)	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5
人数(人)	1	1	2	10	15	9	10	2

①这组数据的众数和中位数分别是__________，__________；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间 的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间 的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率．

22.为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？

23.阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，且x₁≠x₁，y₂≠y₂，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为 ．
①若点B的坐标为 ，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ， 若使函数 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且 ，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求⊙O的半径．

25.如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，对称轴l与x轴交于点F，直线m AC，过点E作EH⊥m，垂足为H，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

26.数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 中，AB=AC=m，BC=n， ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究 的值和 的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
(问题发现)
小明研究了 时，如图1，求出了 ___________， ___________；
小红研究了 时，如图2，求出了 ___________， ___________；
(类比探究)
他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 ；
(归纳总结)
最后他们终于共同探究得出规律： __________(用含m、n的式子表示)； ___________ (用含α的式子表示)．
（2）求出 时 的值和 的度数．

参考答案

1.B

【解析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
解：2021的相反数是： ．
故选：B．

2.B

【解析】
直接利用科学记数法的定义及表示形式 ，其中 ， 为整数求解即可．
解：根据科学记数法的定义及表示形式 ，其中 ， 为整数，
则数据8300000用科学记数法表示为： ，
故选：B．

3.C

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．
A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：C．

4.D

【解析】
根据事件发生的可能性的大小判断即可．
解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故不符合题意；
B、为了了解一批灯管的使用寿命，不宜采用普查的方式进行，应采用抽查的方式进行，故不符合题意；
C、一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数都是 ，平均数为 ，故选项错误，不符合题意；
D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，
，
乙组队员的身高比较整齐，故选项正确，符合题意；
故选：D．

5.B

【解析】
根据去括号法则可判断A，根据合并同类项法则可判断B，根据乘法公式可判断C，利用单项式乘法法则与积的乘方法则可判断D．
解：A. ，故选项A去括号不正确，不符合题意；
B. ，故选项B合并同类项正确，符合题意；
C. ，故选项C公式展开不正确，不符合题意；
D. ，故选项D单项式乘法计算不正确，不符合题意．
故选择B．

6.B

【解析】
分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．
详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．

7.C

【解析】
根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
解：∵a+b=0，
∴原点在a，b的中间，
如图，

由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0， ，
故选：C．

8.D

【解析】
结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
解：A、本次抽样调查的样本容量是 ，正确，不符合题意；
B、 故扇形图中的m为10%，正确，不符合题意；
C、若“五一”期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，正确，不符合题意；
D、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，错误，符合题意；
故选：D．

9.A

【解析】
把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可
解：
x²-8x=2，
x²-8x+16=18，
（x-4）²=18．
故选：A．

10.B

【解析】
根据圆内接四边形的性质可得 ，连接AC，得 ，进一步得出 ，从而可得结论．
解：连接AC，如图，

∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上，
∴
∵
∴
∵AB为半圆的直径
∴ ，
∴
∴
故选：B．

11.B

【解析】
把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．
解：∵点P（a，b）在一次函数 的图象上，
∴b=4a+3，
8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式 的值等于-5．
故选：B．

12.C

【解析】
利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
解：将 代入抛物线的解析式得；
，
解得： ，
所以抛物线的解析式为： ，
A、 ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 ，在 时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程 的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当 时，x的取值范围是 或 ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．

13.A

【解析】
根据三视图可知此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长 母线 2．
解：此几何体为圆锥，
圆锥母线长为9cm，直径为6 cm，
侧面积 ，
故选：A．

14.B

【解析】
利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12) 32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12 400-32解不等式可判断③；
根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为 =5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为 米/秒，
∴乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12) 32，
∴t 44，
当乙到达终点停止运动后，
4 t+12 400-32，
∴t 89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．

15.x≥－1且x≠

【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
解：根据题意得：
解得：x≥-1且x≠
故答案为：x≥－1且x≠ ．

16.438

【解析】
根据等腰直角三角形的性质求出 ，根据正切的定义求出 ，结合图形计算即可．
解：由题意得， ，
在 中， ，
（米），
在 中， ，
则 （米），
则 （米），
故答案是： ．

17.

【解析】
根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
解：如图，

设正六边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC= ，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= AC，
∵AC=20mm，
∴a=AB= （mm）．
故答案为： ．

18.①②④

【解析】
由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD= ，BE=CE= ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得CF⊥DE；由勾股定理可求DE的长，由面积法可求CH，由相似三角形的性质可求CF，可得HF的长，即可判断②；如图，过点A作AM⊥DE，由△ADM≌△DCH，可得CH=DM=2=MH，由垂直平分线的性质可得AD=AH；由平行线分线段成比例可求GH的长，即可判断④．
解：∵四边形ABCD是边长为 的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD= ，BE=CE= ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠CDE=∠BAE，DE=AE，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵DC= ，CE= ，
∴ ，
∵S_△DCE= ×CD×CE= ×DE×CH，
∴CH=2，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴ ，
∴CF= ，
∴HF=CF-CH=3，
∴ ，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE，

∵DC= ，CH=2，
∴ ，
∵∠CDH+∠ADM=90°，∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDH=∠DAM，且AD=CD，∠CHD=∠AMD=90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS）
∴DM=CH=2，AM=DH=4，
∴MH=DM=2，且AM⊥DH，
∴AD=AH，故④正确；
∵DE=5，DH=4，
∴HE=1，ME=HE+MH=3，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴AM∥CF，
∴ ，
∴
∴HG= ，故③错误，
所以，正确结论是①②④
故答案为①②④．

19.

【解析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将计算m的值代入化简结果中求值可得．
解：




∵


∴当 时，原式 ．

20.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据 证明 得到 ，进一步可得结论．
解：（1）如图， 为所作 的平分线；

（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴

21.（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）

【解析】
(1)根据抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况进行分析；
(2)①由众数好中位数的定义求解即可；
②由九年级人数乘以平均每天睡眼时间t≥8的人数所占的比例即可；
(3)画树状图,共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1） 不具有全面性，
故答案是：B．
（2）①这组数据的众数为 小时，中位数为 ，
故答案是： ．
解②：估计九年级学生平均每天睡眠时间 的人是大约为：
答：九年级学生平均每天睡眠超过8小时人数约为144人．
（3）画树状图如下：


∴由树状图可知，所有等可能结果有12种，2人睡眠时间都是6小时的结果有2种．
∴ ．

22.（1）《西游记》、《水浒传》每本售价分别是60元、60元；（2）88本

【解析】
（1）设出《西游记》和《水浒传》每本的价格，根据题意列出关于单价的方程组，即可解决问题．
（2）设这次购买《西游记》 本，根据再购买上述四种图书，总费用不超过32000元列出关于a的不等式，即可解决问题．
解：（1）设《西游记》每本售价x元，《水浒传》每本售价y元，
则
解得
答：《西游记》、《水浒传》每本传价分别是60元、60元．
（2）由题意可知《三国演义》每本售价为 (元)．
《红楼梦》每本售价为 (元)，
设这次购买《西游记》 本，则：

解得
∵ 为正整数，
∴取 ．
答：这次购买《西游记》最多为88本．

23.（1）①12；② 或 ；（2）

【解析】
（1）①由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点A，点B的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知， AC必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线AC的解析式为 ，代入A，C点的坐标，求出k，b的值即可；
（2）首先确定P，Q的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论．
解：（1）①∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，

∴点A、B的“相关矩形”周长=
故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为 或
设直线AC的解析式为 ，
将 ， 代入解得 ，
∴
将 ， 代入解得 ，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为 或 ．

（2）∵点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数 的图象经过（3，-2）时，k=-6，
当函数 的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：

24.（1）相切，理由见解析；（2）5

【解析】
（1）连接OB，由 ，可得 ，由 ，可证 ，可得 ，可得 即可；
（2）由 ，可求 ，由 ， 可求 ，由勾股定理可求 ，利用垂径定理可得 ，进而 ，利用勾股定理构造方程 解方程即可．
解：（1）AB与 相切．理由如下：
连接OB，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 、 是菱形 的对角线
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
∴ 是 的切线

（2）又∵ 、 是菱形 的对角线， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在Rt△BMC中，
∴
∵OE⊥BC，BC为弦，
∴
∵
∴
设 的半径为R；在Rt△OFB中，OB²=OF²+BF²，
∴
解得
∴ 的半径为5．

25.（1） ；（2） ；（3）存在，符合题意的点 坐标为 或 或

【解析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先求抛物线与y轴交点 ，利用勾股定理求 ，利用待定系数法求直线 的解析式 ，由 ， 交 于点 ，可得 为定值，由 ，把 ，记为定值 ，再求 ；再利用二次函数的性质可得答案；
（3）当点Q在x轴上方抛物线上时，因为PF在x轴上， ，点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，当点Q在x轴下方抛物线上时，又四边形为平行四边形，Q与E的纵坐标互为相反数即可．
解：（1）∵抛物线 与x轴交于 、 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）将 代 得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 将 ， ，
得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∵ ， 交 于点 ，
∴ 为定值，
∵ ，
把 ，记为定值 ，
过点 作 轴，垂足为 ，交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，此时 ，
将 代入 中，得 ；

（3）存在，符合题意的点 坐标为 或 或 ；
当点Q在x轴上方抛物线上时，
因为PF在x轴上，
又∵ ，
∴点Q的纵坐标与E的纵坐标相同，
∴y= ，
∴ ，
∴解得 ，
∵x= 时为E点，
∴ ，
Q₁( )，
当点Q在x轴下方抛物线上时，
∵PF在x轴上，
又∵四边形为平行四边形，
∴Q与E的纵坐标互为相反数，
所以y_Q= ，
∴ ，
整理得 ，
△= ，
解得 ，
∴Q₂（ ），Q₃（ ），

符合题意的点 坐标为 或 或 ．

26.（1）(问题发现) ，60°； ，45°；(类比探究)见（2）题的解析；(归纳总结) ， ；（2） ，30°

【解析】
（1）当 时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有 ，∠Q＝ ＝∠ACB＝60°；当 时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律；
（2）当 ，可证 ， ，从而有 ，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题．
（1）(问题发现)如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当 时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝60°，
当 时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，
如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝ CD，AC＝ CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝45°，
(归纳总结)
由此，可归纳出 ， ＝∠ACB＝ ；
（2）当 ，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴ ，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝ ＝∠ACB＝30°．