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广西玉林市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.计算 的值（ ）
A．1
B．
C．3
D．

2.我市今年中考报名人数接近101000人，将数据101000用科学记数法表示是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）

A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．三棱柱

4.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：

甲	6，7，8，8，9，9
乙	5，6， ，9，9，10

如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩 是（ ）
A．6环
B．7环
C．8环
D．9环

6.如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（ ）

A．
B．
C．
D．以上都有可能

7.学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在

8.一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球
B．至少有2个白球
C．至少有1个黑球
D．至少有2个黑球

9.已知关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．

10.一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：

a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅①
B．仅③
C．①②
D．②③

11.观察下列树枝分杈的规律图，若第 个图树枝数用 表示，则 （ ）


A．
B．
C．
D．

12.图（1），在 中， ，点 从点 出发，沿三角形的边以 /秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点 运动时，线段 的长度 （ ）随运动时间 （秒）变化的关系图象，则图（2）中 点的坐标是（ ）


A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.4的相反数是____．

14.实数8的立方根是_____．

15.方程 的解是______．

16.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿_____方向航行．

17.如图， 是等腰三角形， 过原点 ，底边 轴双曲线 过 ， 两点，过点 作 轴交双曲线于点 ，若 ，则 的值是______．

18.如图、在正六边形 中，连接线 ， ， ， ， ， 与 交于点 ， 与 交于点为 ， 与 交于点 ，分别延长 ， 于点 ，设 ．有以下结论：① ；② ；③ 的重心、内心及外心均是点 ；④四边形 绕点 逆时针旋转 与四边形 重合．则所有正确结论的序号是______．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简再求值： ，其中 使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限．

21.如图，在 中， 在 上， ， ．

（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值．

22.2021年是中国共产党建党100周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：


请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．

23.如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于点 ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．

24.某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有 ， 两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾， 焚烧炉比 焚烧炉多发电50度， ， 焚烧炉每天共发电55000度．
（1）求焚烧一吨垃圾， 焚烧炉和 焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾， 焚烧炉和 焚烧炉的发电量分别增加 %和 %，则 ， 焚烧炉每天共发电至少增加 %，求 的最小值．

25.如图，在四边形 中，对角线 与 交于点 ，已知 ， ，过点 作 ，分别交 、 于点 ， ，连接 ， ．

（1）求证：四边形 是菱形：
（2）设 ， ， ，求 的长．

26.已知抛物线： （ ）与 轴交点为 ， （ 在 的左侧），顶点为 ．


（1）求点 ， 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线 与抛物线交于点 ， ，且 ， 关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 在直线 上，设直线 与 轴的交点为 ，原抛物线上的点 平移后的对应点为点 ，若 ，求点 ， 的坐标．

参考答案

1.A

【解析】
根据有理数的加法法则进行计算即可．

故选：A．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：101000= ，
故选B．

3.C

【解析】
根据常见几何体的三视图逐一判断即可．
解：A、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，不符合题意；
B、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意；
C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意；
故选：C．

4.D

【解析】
根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．
解： 、 ，故选项错误；
、 ，故选项错误；
、 ，则选项错误；
、正确．
故选 ．

5.B

【解析】
根据中位数的求法可得 ，然后求解即可．
解：由题意得：甲乙两人的中位数都为第三次和第四次成绩的平均数，
∴ ，
解得： ；
故选B．

6.A

【解析】
分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，然后根据图形及三角函数可直接进行排除选项．
解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示：

由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．

7.D

【解析】
根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．

8.A

【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：一个不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，
A、3个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；
B、3个球中至少有2个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、3个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、3个球中至少有2个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：A．

9.D

【解析】
根据题意及一元二次方程根的判别式可得 ，然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：∵关于 的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故选D．

10.C

【解析】
根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项．
解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故选C．

11.B

【解析】
根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律 ，代入规律求解即可．
解：由图可得到：

则： ，
∴ ，
故答案选：B．

12.C

【解析】
由图象及题意易得AB=8cm，AB+BC=18cm，则有BC=10cm，当x=13s时，点P为BC的中点，进而根据直角三角形斜边中线定理可求解．
解：由题意及图象可得：
当点P在线段AB上时，则有 ，AP的长不断增大，当到达点B时，AP为最大，所以此时AP=AB=8cm；
当点P在线段BC上时，由图象可知线段 的长度 先随运动时间 的增大而减小，再随运动时间 的增大而增大，当到达点C时，则有AB+BC=18cm，即BC=10cm，由图象可知当时间为13s时，则BP=13-8=5cm，此时点P为BC的中点，如图所示：

∵ ，
∴ ，
∴ 点的坐标是 ；
故选C．

13.-4

【解析】
根据符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数进行解答．
解：4的相反数是-4
故答案为：-4．

14.2．

【解析】
根据立方根的定义解答.
∵ ，∴8的立方根是2．故答案为2．

15.x=

【解析】
先去分母，再解整式方程，检验即可．
解： ，两边同乘2x-2
去分母得， ，
解整式方程得，x= ；
经检验，x= 是原分式方程的解；
故答案为：x= ．

16.北偏东50°（或东偏北40°）

【解析】
由题意易得 海里，PB=16海里， ，则有 ，所以∠APB=90°，进而可得 ，然后问题可求解．
解：由题意得： 海里，PB=1×16=16海里， ， 海里，
∴ ，
∴∠APB=90°，
∴ ，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；
故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．

17.3

【解析】
设点A坐标为（ ， ），根据已知条件可得到点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），然后得到点D得坐标为（ ， ），表示出 的面积解出k即可．
解：设点A坐标为（ ， ），
∵ 是等腰三角形， 过原点 ，底边 轴，
∴点B坐标为（ ， ），点C坐标为（ ， ），
∵ 轴交双曲线于点 ，
∴点D坐标为（ ， ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即 ．
故答案为：

18.①②③

【解析】
由题意易得 ， ，则有 ，进而可得 ，则有四边形 是矩形，然后可得 ， 为等边三角形，最后可得答案．
解：∵六边形 是正六边形，
∴ ，
，
∴在△DEF中， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 是矩形，
同理可证四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴∠NAM=60°，
∴△NAM是等边三角形，
∴AM=MN，
∵AB=3，
∴ ，
∴ ，
∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，
∴∠G=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∵AC与BD交于点M，
∴由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得： 的重心、内心及外心均是点 ，
连接OF，如图所示：


易得∠FOA=60°，
∴四边形 绕点 逆时针旋转 与四边形 重合，
∴综上所述：正确结论的序号是①②③；
故答案为①②③．

19.1

【解析】
先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解．
解：原式=
=

20.

【解析】
由题意易得 ，然后对分式进化简，然后再求解即可．
解：∵ 使反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，
∴ ，
∴
=
= ．

21.（1）见详解；（2）

【解析】
（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得 ，然后问题可求解．
（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

22.（1）图见详解；（2）成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）抽到甲、乙两人的概率为 ．

【解析】
（1）由统计图可得不及格的人数为2人，所占百分比为5％，则可求出随机抽取的总人数，然后问题可求解；
（2）由（1）可直接列式进行求解即可；
（3）由题意可画出树状图，然后再进行求解概率即可．
解：（1）由题意得：
2÷5％=40人，
∴“良好”的人数为40-2-10-12=16人，
“优秀”所占百分比为12÷40×100％=30％，“合格”所占百分比为10÷40×100％=25％，
则补全统计图如图所示：


故答案为30，25；
（2）由（1）可得：
650×（5％+25％）=195（人）；
答：成绩未达到“良好”及以上的有195人
（3）由题意可得：


∴抽到甲、乙两人的概率为 ．

23.（1）见详解；（2）

【解析】
（1）连接OD，由题意易得∠A=∠B=60°，则有△AOD为等边三角形，进而可得OD∥BC，然后可得∠CFD=∠FDO=90°，最后问题可求证；
（2）连接DE，由（1）及题意易得 ，∠FDE=60°，则有△FDE是等边三角形，进而可得DE=DF，然后易得△CDF≌△AED，则有AE=CD=2r，最后问题可求解．
（1）证明：连接OD，如图所示：

∵等边 ，
∴∠A=∠B=60°，
∵ ，
∴△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴OD∥BC，
∵ ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：

由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴ ，
∵ ，
∴ ．

24.（1）焚烧一吨垃圾， 焚烧炉和 焚烧炉各发电300、250度；（2）a最小值为11

【解析】
（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，根据题意列出方程，求解即可．
（2）根据（1）中的数据，表示出改进后的发电量，列出不等式并求解即可．
（1）设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，
100（x+50）+100x=55000，
解方程得x=250，
则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度；
（2）由（1）可知改进后A、B发电量分别为300（1+ %），250（1+ %），
根据题意列式：100×300（1+ %）+100×250（1+ %）≥55000+55000× %，
解不等式得：a≥11，
则a的最小值为11．

25.（1）见详解；（2）

【解析】
（1）由题意易得四边形 是平行四边形，则有AB∥CD，然后可证△DOF≌△BOE，进而问题可求解；
（2）由题意易得AD=4，AB=8，则有∠ABD=30°，∠DAB=60°，进而可得 是等边三角形， 是等边三角形，然后可得 ，则有 ，最后根据三角函数进行求解即可．
（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴ ，
∵ ，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）由（1）可得四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴∠ABD=30°，∠DAB=60°，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

26.（1） ，对称轴为直线 ；（2） ；（3） 或

【解析】
（1）令y=0时，则有 ，然后进行求解即可，最后利用抛物线对称轴公式进行求解即可；
（2）设点M、N的横坐标分别为 ，由题意可得 ，则有 ，然后利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；
（3）由（2）及题意易得抛物线向上平移了4个单位长度得到新的抛物线， ，然后设点 ，进而根据两点距离公式可得 ，最后求解即可．
解：（1）令y=0时，则有 ，
解得： ，
∵点 在点 的左侧，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）联立直线与抛物线的解析式可得： ，化简得： ，
设点M、N的横坐标分别为 ，
∵点 ， 关于原点对称，
∴ ，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（3）由（2）可得： ，化为顶点式为 ，
∴顶点 ，
∵将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 在直线 上，
∴ ，
∴新抛物线是由抛物线 向上平移了4个单位长度得到，
∵直线 与 轴的交点为 ，
∴ ，
设点 ，
∵ ，
∴由两点距离公式可得： ，
化简得： ，
解得： ，
∴ 或 ．