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湖北省荆州市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.在实数 ，0， ， 中，无理数是（ ）
A．
B．0
C．
D．

2.如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.若等式 +（ ）= 成立，则括号中填写单项式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）

如图：已知直线 ， ，求证： ． 证明：①∵ （已知） ∴ （垂直的定义） ②又∵ （已知） ③∴ （同位角相等，两直线平行） ∴ （等量代换） ④∴ （垂直的定义）．

A．①
B．②
C．③
D．④

5.若点 关干 轴的对称点在第四象限，则 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．

B．

C．

D．

6.已知：如图，直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，与 轴、 轴分别交于 ， 两点，则下列结论错误的是（ ）

A．
B． 是等腰直角三角形
C．
D．当 时，

7.如图，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 在 的延长线上．若 ， ，以 为圆心、 长为半径的弧经过点 ，交 轴正半轴于点 ，连接 ， 、则 的度数是（ ）


A．
B．
C．
D．

8.如图，在 中， ， ，点 ， 分别是图中所作直线和射线与 ， 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，在菱形 中， ， ，以 为圆心、 长为半径画 ，点 为菱形内一点，连接 ， ， ．当 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且
B．
C． 且
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.已知： ， ，则 _____________．

12.有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，—次打开锁的概率是______．

13.如图， 是 的直径， 是 的弦， 于 ，连接 ，过点 作 交 于 ，过点 的切线交 的延长线于 ．若 ， ，则 _____________．

14.如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， ， 可分别绕点 ， 转动，测量知 ， ．当 ， 转动到 ， 时，点 到 的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）

15.若关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为_____________．

16.如图，过反比例函数 图象上的四点 ， ， ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ， ， ，再过 ， ， ， 分别作 轴， ， ， 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为 ， ， ， ， ，则 与 的数量关系为_____________．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.已知： 是不等式 的最小整数解，请用配方法解关于 的方程 ．

19.如图，在 的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段 与 的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：

（1）以线段 为一边画正方形 ，再以线段 为斜边画等腰直角三角形 ，其中顶点 在正方形 外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形 和 面积之和，其它顶点也在格点上．

20.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，……为了解学生寒假阅读情况．开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为 （小时），阅读总时间分为四个类别： ， ， ， ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为__________；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中 的值为__________，圆心角 的度数为__________；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．

21.小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程 的解为：__________；
③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出平移过程，并直接写出当 时，自变量 的取值范围．

22.小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为 元，康乃馨有 支，求 与 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

23.在矩形 中， ， ， 是对角线 上不与点 ， 重合的一点，过 作 于 ，将 沿 翻折得到 ，点 在射线 上，连接 ．
（1）如图1，若点 的对称点 落在 上， ，延长 交 于 ，连接 ．

①求证： ；
②求 ．
（2）如图2，若点 的对称点 落在 延长线上， ，判断 与 是否全等，并说明理由．

24.已知：直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 为直线 上一动点，连接 ， 为锐角，在 上方以 为边作正方形 ，连接 ，设 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，判断 与 的位置关系，并说明理由；

（2）真接写出点 的坐标（用含 的式子表示）；
（3）若 ，经过点 的抛物线 顶点为 ，且有 ， 的面积为 ．当 时，求抛物线的解析式．

参考答案

1.D

【解析】
根据无理数的定义，即可求解．
解：在实数 ，0， ， 中，无理数是 ，
故选D．

2.A

【解析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切，
故选：A．

3.C

【解析】
根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．
解：∵ - = - = ，
∴等式 +（ ）= 成立，
故选C．

4.C

【解析】
根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可
解：证明：①∵ （已知）
∴ （垂直的定义）
②又∵ （已知）
③∴ （两直线平行，同位角相等）
∴ （等量代换）
④∴ （垂直的定义）．所以错在③
故选：C

5.C

【解析】
先根据题意求出点 关于 轴的对称点 坐标，根据点 在第四象限列方程组，求解即可.
∵
∴点 关于 轴的对称点 坐标为
∵ 在第四象限
∴
解得：
故选：C

6.D

【解析】
把 代入 ，即可判断A选项，把 代入 ，即可判断C，求出A，B点的坐标，即可判断B选项，根据函数图像，即可判断D．
解：∵直线 与双曲线 在第一象限交于点 ，
∴ ，即： ，故A正确，不符合题意，
把 代入 得： ，解得：k=1，故C正确，不符合题意，
在 中，令x=0，则 ，令y₁=0，则x=-1，
∴A(-1，0)，B(0，1)，即：OA=OB，
∴ 是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意，
由函数图像可知：当 时， ，故D错误，符合题意．
故选D．

7.C

【解析】
连接OB，由题意易得∠BOD=60°，然后根据圆周角定理可进行求解．
解：连接OB，如图所示：


∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．

8.D

【解析】
根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D．
解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，
∴ ， ；选项A、B正确；
∵ ，
∴∠ACD=∠A =40°，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠ACB =70°，
∴ ，选项D错误；

∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确；
故选：D

9.A

【解析】
以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出 ，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．
解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，

∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，
很显然，
①若∠BCP=90°，则CP=BC=2
这C作CE⊥AD,交AD于点E，
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°
∴CE=CDsin∠D=2
∴点P在菱形ABCD的外部，
∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；
②∠BPC=90°
过P作PF⊥BC交BC于点F，
∵△BPC是等腰直角三角形，
∴PF=BF= BC=1
∴P(1,1)，F(1,0)
过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°
∴∠BAG=30°
∴BG= ，AG=
∴A ，
∴点F与点G重合
∴点A、P、F三点共线
∴
∴


∴
故选：A．

10.C

【解析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
解：∵[x²+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴ ．
整理得， ．
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 ．
由 得， ，
解得， ．
∴k的取值范围是 且 ．
故选：C

11.2

【解析】
利用负整数指数幂和零指数幂求出a的值，利用平方差公式，求出b的值，进而即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
故答案是：2．

12.

【解析】
画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A、a和B、b，第三把钥匙表示为c）展示所有6种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为A、a和B、b，第三把钥匙表示为c）

共有6种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数为2，
所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．

13.

【解析】
证明 求得AC，利用勾股定理求得CB的长，再利用 求得BE．
解：如图所示，连接BC

∵ 是 的直径， 于
∴
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴ 或 （舍去）
又 为切线
∴
又∵
∴
∴
即
∴

14.6.3

【解析】
作辅助线如图，则四边形CDGF是矩形，可得CD=FG，然后分别解直角△ABG和直角△BCF求出BG和BF的长即可．
解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中， ， ，
∴ （cm），∠ABG=30°，
∵ ，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中， ，∠BCF=70°，
∴ （cm），
∴CD=FG= （cm），
即点 到 的距离为6.3cm；
故答案为：6.3．

15.m＞-7且m≠-3

【解析】
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
解：由 ，得： 且x≠2，
∵关于 的方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．

16. ．

【解析】
设 =m，则O =2m，O =3m，O =4m，由点 ， ， ， 都在反比例函数 图象上，可求得 ， ， ， ，根据矩形的面积公式可得 ， ， ， ，由此即可得 ．
设 =m，则O =2m，O =3m，O =4m，
∵点 ， ， ， 都在反比例函数 图象上，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ．
故答案为： ．

17. ，

【解析】
先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把 代入求值即可．
解：原式=


当 时，原式

18. ，

【解析】
先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵ 是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于 的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， ．

19.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
（1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可；
（2）先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可；
解：（1）如图所示

（2）∵新正方形的面积为正方形 和 面积之和，其它顶点也在格点上．
∴新正方形的面积=9+4=13；
∴新正方形的边长=
∴新正方形如图所示正方形BGHK即为所求

20.（1）60；（2）见解析；（3）20，144°；（4）1000名，建议见解析，合理即可

【解析】
（1）从两个统计图可得，“B类型”的人数18人，占调查人数的30%，可求出本次抽样的样本容量；
（2）先求出“C类型”人数，然后补全条形统计图；
（3）用1减B、C、D的百分比即可得出 的值，用360°乘以C类型人数所占比例即可得；
（4）用2000乘以总时间少于24小时的百分比，建议合理即可．
解：（1）∵18÷30%=60，
∴本次抽样的样本容量为60；
（2）类型C的学生人数为：60-12-18-6=24，
如图，即为补全的条形统计图；

（3）∵a%=1-30%-40%-10%=20%，∴a=20
圆心角 =360°×40%=144°
（3）2000×（20%+30%）=1000（名），
∴估计该校有1000名学生寒假阅读的总时间少于24小时．
同学们要利用寒假多阅读，提高本身的知识水平，扩大视野．

21.（1）①关于y轴对称；② ；③ ；（2）将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数 的图象，当 时，自变量 的取值范围为 或 ．

【解析】
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线y=-1与函数 的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a与函数 的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题．
解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1与函数 的图象交点问题，如图所示：

∴方程 的解为 ；
故答案为 ；
③由题意可看作直线y=a与函数 的图象有四个交点的问题，如图所示：

∴由图象可得若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ；
故答案为 ；
（2）由题意得：将函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数 的图象，则平移后的函数图象如图所示：

∴由图象可得：当 时，自变量x的取值范围为 或 ．

22.（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元；（2） ， ，当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元．

【解析】
（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，然后根据题意可得 ，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可直接列出 与 之间的函数关系式，进而可得 ，然后根据一次函数的性质可进行求解．
解：（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需y元，由题意得：
，
解得： ，
答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元．
（2）由（1）及题意得：百合有（11-x）支，则有，
，
∵百合不少于2支，
∴ ，解得： ，
∵-1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=9时，w取最小值，最小值为 ，
∴当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元．

23.（1）①见解析；② ；（2）不全等，理由见解析

【解析】
（1）①先根据同角的余角相等得出∠DCG=∠AGH，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；
②设EF=x，先证得△AEF △ADC，得出 = = = ，再结合折叠的性质得出AE=EG=2x，
AG=4x，AH=2EF=2x，再由△CDG △GAH，得出比例式 = = ，求出EF的长，从而得出 的值，即可得出答案；
（2）先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF △ACG，得出比例式 = ，得出EF= ，
AE= ，AF= ，从而判定 与 是否全等．
（1）①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°
∴∠DCG+∠DGC=90°
又∵∠FGC=90°
∴∠AGH+∠DGC=90°
∴∠DCG=∠AGH
∴△CDG △GAH
②设EF=x
∵△AEF沿EF折叠得到△GEF
∴AE=EG
∵EF⊥AD
∴∠AEF=90°=∠D
∴EF//CD//AB
∴△AEF △ADC
∴ =
∴ = = =
∴AE=EG=2x
∴AG=4x
∵AE=EG，EF//AB
∴ = =
∴AH=2EF=2x
∵△CDG △GAH
∴ = =
∴ = =
∴x=
∴ = =
∵∠FCG=90°
∴tan∠GHC= =
（2）不全等 理由如下：
在矩形ABCD中，AC= = =
由②可知：AE=2EF
∴AF= = EF
由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF
∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC
∴△AEF △ACG
∴ =
∴ =
∴EF=
∴AE= ，AF=
∴FC=AC-AF=2 - =
∴AE FC，EF FC
∴不全等

24.（1）BE⊥AB，理由见解析；（2）（ ）或（ ）；（3）

【解析】
（1）先求出点A、B的坐标，则可判断△AOB是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明△AOC≌△BOE（SAS），可得∠OBE=∠OAC=45°，进而可得结论；
（2）①当点C在第一象限时，作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证△MOC≌△NEO，可得CM=ON，OM=EN，由（1）的结论可得AC=BE=t，然后解等腰直角△ACM，可求出 ， 进而可得答案；②当点C在第四象限时，如图所示作C´H⊥OA于点H，作E´F⊥x轴于点F，根据正方形的性质可证△HOC´≌△FE´O，可得HC´=OF，OH=E´F，然后同（1）中证明△AOC´≌△BOE´得到AC´=BE´=t，然后解等腰直角△AC´H，可求出 ， ，E´F=OH= OA+AH= 进而可得答案；
（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2，然后由（2）可求出当 时k=1，进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求解．
解：（1）BE⊥AB，理由如下：
对于直线y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，
∴B（0，1），A（1，0），
∴OA=OB=1，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC=OE，∠COE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAC=45°，
∴∠EBC=∠EBO+∠OBA=45°+45°=90°，
即BE⊥AB；
（2）①当点C在第一象限时，作CM⊥OA于点M，作EN⊥x轴于点N，如图1，则∠CMO=∠ENO=90°，
∵∠EON+∠NEO=∠EON+∠COM=90°，
∴∠NEO=∠COM，
又∵OC=OE，
∴△MOC≌△NEO，
∴CM=ON，OM=EN，
在△ACM中，∠CMA=90°，∠MAC=45°，AC=BE=t，
∴ ，
∴ ，
∵点E在第二象限，
∴点E的坐标是（ ）；

②当点C在第四象限时，如图所示作C´H⊥OA于点H，作E´F⊥x轴于点F
∵∠E´OF+∠FE´O=∠E´OF+∠C´OH=90°，
∴∠FE´O =∠C´OH，
又∵OC´=OE´，
∴△HOC´≌△FE´O，
∴HC´=OF，OH=E´F，
然后同（1）中证明△AOC´≌△BOE´
∴AC´=BE´=t，
在等腰直角△AC´H，∠C´HA=90°，∠HAC´=45°，AC´=BE´=t，
可求出
∴
∵E´F=OH= OA+AH=
∴点E的坐标是（ ）；

（3）∵抛物线过点A（1，0），
∴a+b+c=0，
∵ ，
∴消去c可得b=-4a，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
如图1，当 时，由（2）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即k=1，
∴△POA的面积为 ，
即 ，解得 ，
∵a＞0，
∴顶点P的纵坐标是-1，
∴点P（2，-1），
设 ，
把点A（1，0）代入，可求得a=1，
∴抛物线的解析式是 ．