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湖南省怀化市2021年中考真题数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

2.到2020年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约9980万的贫困人口实现了脱贫．将数据9980万用科学记数法表示是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.以下说法错误的是（ ）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补

4.对于一元二次方程 ，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．两根之和是3
C．两根之积是
D．有两个不相等的实数根

5.下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.定义 ，则方程 的解为（ ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，在 中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）


A．
B．AD一定经过 的重心
C．
D．AD一定经过 的外心

8.不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

9.“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④

10.如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O， 于E点，交BD于M点，反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，若 ，则ME的长为（ ）


A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.比较大小： __________ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．

12.在函数 中，自变量x的取值范围是___________．

13.如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， ，将 先向右平移3个单位长度得到 ，再绕 顺时针方向旋转 得到 ，则 的坐标是____________．

14.为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员5天的学史的时间（单位：h）分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是________，众数是________．

15.如图，在 中， ， ，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留 ）

16.观察等式： ， ， ，……，已知按一定规律排列的一组数： ， ， ，……， ，若 ，用含 的代数式表示这组数的和是___________．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算：

18.先化简，再求值： ，其中 ．

19.政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角 ， 分别为 和 ，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）．其中 ， ， ， ， ，

20.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上， ．求证：
（1）
（2）

21.某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图表：

等级	频数（人数）	频率
优秀	60	0.6
良好	a	0.25
合格	10	b
基本合格	5	0.05
合计	c	1

根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）该学校共有1600名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有多少人？
（4）在这次测试中，九年级（3）班的甲，乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀”，现班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表法成画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率．

22.如图，在半径为5cm的 中，AB是 的直径，CD是过 上点C的直线，且 于点D，AC平分 ，E是BC的中点， ．


（1）求证：CD是 的切线；
（2）求AD的长，

23.某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：

进货批次	A型水杯（个）	B型水杯（个）	总费用（元）
一	100	200	8000
二	200	300	13000

（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？

24.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 ， ， ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．
（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据数轴上点的表示及几何意义可直接进行排除选项．
解：数轴上表示数5的点和原点的距离是 ；
故选B．

2.D

【解析】
结合科学记数法的书写规则即可求解．
解：9980万即99800000，
故答案是：D．

3.A

【解析】
根据多边形的概念及外角和，正多边形的性质及圆内接四边形的性质可直接进行排除选项．
解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；
对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；
对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；
故选A．

4.A

【解析】
先找出 ，再利用根的判别式判断根的情况即可．
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵ ，故C错误．
，故B错误．
故选：A．

5.B

【解析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形判断即可．
解：由圆锥的侧面展开图是扇形可知选B，
故选：B．

6.B

【解析】
根据新定义,变形方程求解即可
∵ ,
∴ 变形为 ,
解得 ，
经检验 是原方程的根，
故选B

7.C

【解析】
根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
解：∵AD平分∠BAC，
∴ ，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得 ，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过 的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过 的外心，故D选项错误；
故选C．

8.C

【解析】
分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；
带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点．
解不等式
得： ，
解不等式
得： ，
故不等式组的解集为：-2≤x＜2，
在数轴上表示为：

故选C．

9.A

【解析】
不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断．
A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意；
B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意；
D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意．
故选：A．

10.D

【解析】
根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数 的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出 ；根据菱形的性质可得 ， ，可判定 是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．
∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（ ，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（ ，1）
又∵反比例函数 的图象经过线段DC的中点N
∴ ，解得
即C点坐标为（ ，0），
在 中，
∴
∵菱形ABCD
∴ ， ，
∴ 是等边三角形
又∵ 于E点， 于O点
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
又∵在 中，
∴
∴
故选：D．

11.＞

【解析】
直接用 ，结果大于0，则 大；结果小于0，则 大．
解： ，
∴ ，
故答案为：＞．

12. 且

【解析】
根据二次根式中的被开方数是非负数与分母不能为0进行求解．
由题意知， 且 ，
解得， 且 ，
故答案为： 且 ．

13.（2，2）．

【解析】
直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．
解：如图示： ， 为所求，

根据图像可知， 的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）．

14.     4     3

【解析】
根据中位数和众数的概念分析即可．
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，3，4，5，5，6，则中位数为4，众数为3．

15.

【解析】
由 ，根据圆周角定理得出 ，根据S_阴影=S_扇形AOB－ 可得出结论．
解：∵ ，
∴ ，
∴S_阴影=S_扇形AOB－

，
故答案为： ．

16.

【解析】
根据规律将 ， ， ，……， 用含 的代数式表示，再计算 的和，即可计算 的和．
由题意规律可得： ．
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ．
．
．
……
∴ ．
故 ．
令

②-①，得
∴ =
故答案为： ．

17.11

【解析】
根据非零实数0次幂、二次根式、负整数次幂、特殊角三角函数值根据实数加减混合运算法则计算即可．
解：原式 ．

18.

【解析】
先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．
解：原式=
当 时，原式=
故答案是： ．

19.41.7米

【解析】
根据AE∥DB,确定∠ABD=67°，∠ACD=22°，利用正切函数求得DB，DC的长度即可求解.
如图，∵AE∥DB,

∴∠ABD=67°，∠ACD=22°，
∵tan∠ABD= ，tan∠ACD= ，
∴DB= = ，DC= =50，
∴BC=DC-DB=50- ≈41.7（米）.

20.（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】
（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可．
（2）利用 ，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAC=∠ACB
∴∠EAD=∠FCB
在△ADE和△CBF中，

∴ (SAS)
（2）∵
∴∠E=∠F
∴ED∥BF

21.（1）25；0.1；100；（2）见详解；（3）1520人；（4）

【解析】
（1）根据成绩为优秀的频数和频率计算出本次抽取的人数，然后计算a、b的值；
（2）根据求解的良好部分的人数，补全统计图即可；
（3）根据统计图中的数据，可以计算该校测试成绩等级在合格以上的学生共有多少人；
（4）列树状图将可能出现的情况列出来，找出甲、乙两名同学同时被选中的情况，进一步计算概率即可．
（1） (人)，即 ；
(人)，即 ；
，即 ；
（2）补全图形如下：
；
（3） (人)，
答：成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有1520人；
（4）画树状图如图：

共有12种可能出现的结果，甲、乙两名同学同时被选中的有两种，
所以甲、乙两名同学同时被选中的概率为： ．

22.（1）证明见解析；（2） ．

【解析】
（1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得 ，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．
解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴ ，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC，OE，

∵E是BC的中点， ，
∴ ，
∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径 ，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
则 ，
∴ ．

23.（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．

【解析】
（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；
（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为 元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为 个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；
（3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W．
（1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元，
根据题意可得： ，
解得： ，
∴A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元．
（2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，
根据题意可得： ，
化简得： ，
当 时，
，
∴超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．
（3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，
根据题意可得：
将①代入②可得： ，
化简得： ，
使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，
则 ，得 ，
当 时， ，
∴A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元．

24.（1） ；（2）存在， 或 ；（3）点 ，最短路程为 ，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰 时，点 或 ，理由见详解．

【解析】
（1）由题意易得 ，然后设二次函数的解析式为 ，进而代入求解即可；
（2）由题意易得 ，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当 时，②当 时，进而分类求解即可；
（3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可；
（4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰 ，②当点Q在第一象限时，存在等腰 ，然后利用“k型”进行求解即可．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
设二次函数的解析式为 ，代入点C的坐标可得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，即为 ；
（2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：
由（1）可得抛物线的解析式为 ，则有对称轴为直线 ，
设直线BC的解析式为 ，代入点B、C坐标可得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴点 ， ，
∴由两点距离公式可得 ，
若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有 ，
①当 时，则有 轴，如图所示：

∴点 ，
②当 时，如图所示：

∴ ，
∴ ，
∴点 ；
（3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示：

∵OC=8，点D为CO的中点，
∴OD=4，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
设直线HI的解析式为 ，则把点H、I坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线HI的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
当x=1时，则有 ，
∴点 ，
∴点G走过的最短路程为 ；
（4）存在以点Q为直角顶点的等腰 ，理由如下：
设点 ，则有：
①当点Q在第二象限时，存在等腰 时，如图所示：

过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示，
∴ ，
∴四边形COLK是矩形，
∴CK=OL，
∵等腰 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
②当点Q在第一象限时，存在等腰 时，如图所示：

同理①可得 ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ；
综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰 时，点 或 ．