绝密·启用前

广西来宾市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列各数是有理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2.如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（ ）


A．
B．
C．
D．

3.如图，小明从 入口进入博物馆参观，参观后可从 ， ， 三个出口走出，他恰好从 出口走出的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离 千米，其中 用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

5.如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（ ）

A．这一天最低温度是-4℃
B．这一天12时温度最高
C．最高温比最低温高8℃
D．0时至8时气温呈下降趋势

6.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.平面直角坐标系内与点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.如图， 的半径 为 ， 于点 ， ，则 的长是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.一次函数y=2x+1的图像不经过 (     )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

10.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若 人坐一辆车，则两辆车是空的；若 人坐一辆车，则 人需要步行．问：人与车各多少？设有 辆车，人数为 ，根据题意可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．

11.如图，矩形纸片 ， ，点 ， 分别在 ， 上，把纸片如图沿 折叠，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 并延长交线段 于点 ，则 的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ）
A． 或
B．
C． 或
D． 或

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式： ______．

14.如图，从楼顶 处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘 处的俯角为 ，已知楼高 为 米，则荷塘的宽 为__________米．（结果保留根号）

15.为了庆祝中国共产党成立 周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占 ，演讲能力占 ，演讲效果占 ，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是 ， ， ，她的综合成绩是__________．

16.如图，从一块边长为 ， 的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以 为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与 ， 分别相切于点 ， ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是__________．

17.如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，向左或向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解析式为__________．

评卷人 得分

三、解答题

18.计算： ．

19.解分式方程： ．

20.如图，四边形 中， ， ，连接 ．


（1）求证： ；
（2）尺规作图：过点 作 的垂线，垂足为 （不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3）在（2）的条件下，已知四边形 的面积为 ， ，求 的长．

21.某水果公司以 元/ 的成本价新进 箱荔枝，每箱质量 ，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取 箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位： ）如下：

整理数据：								分析数据：
质量（ ）								平均数	众数	中位数
数量（箱）

（1）直接写出上述表格中 ， ， 的值；
（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这 箱荔枝共损坏了多少千克？
（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数）

22.(阅读理解)如图1， ， 的面积与 的面积相等吗？为什么？

解：相等，在 和 中，分别作 ， ，垂足分别为 ， ．
，
．
，
四边形 是平行四边形，
．
又 ， ，
．
(类比探究)问题①，如图2，在正方形 的右侧作等腰 ， ， ，连接 ，求 的面积．

解：过点 作 于点 ，连接 ．
请将余下的求解步骤补充完整．
(拓展应用)问题②，如图3，在正方形 的右侧作正方形 ，点 ， ， 在同一直线上， ，连接 ， ， ，直接写出 的面积．

23.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 轴，过跳台终点 作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 正上方 米处的 点滑出，滑出后沿一段抛物线 运动．


（1）当运动员运动到离 处的水平距离为 米时，离水平线的高度为 米，求抛物线 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为 米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 米时，求 的取值范围．

24.如图①，在 中， 于点 ， ， ， 点 是 上一动点（不与点 ， 重合），在 内作矩形 ，点 在 上，点 ， 在 上，设 ，连接 ．


（1）当矩形 是正方形时，直接写出 的长；
（2）设 的面积为 ，矩形 的面积为 ，令 ，求 关于 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）如图②，点 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 的直线 分别与 轴正半轴， 轴正半轴交于 ， 两点，求 面积的最小值，并说明理由．

25.如图，已知 ， 是 的直径， ， 与 的边 ， 分别交于点 ， ，连接 并延长，与 的延长线交于点 ， ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的值；
（3）在（2）的条件下，若 的平分线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值．

参考答案

1.D

【解析】
利用有理数和无理数的定义判断即可．
解：四个选项的数中： ， ， 是无理数， 0是有理数，
故选项D符合题意．
故选：D．

2.C

【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，由几何体的主视图即可判断该几何体的形状．
解：由该几何体的主视图可知，该几何体是选项C中的图形．
故选：C．

3.B

【解析】
此题根据事件的三种可能性即可确定答案
当从A口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C口走出的可能性占总的 ，故概率为 ；
故答案选：B；

4.C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：将 这个数用科学记数法表示为： ．
故选：C．

5.A

【解析】
根据气温变化图逐项进行判断即可求解．
解：A. 这一天最低温度是 ，原选项判断正确，符合题意；
B. 这一天14时温度最高，原选项判断错误，不合题意；
C. 这一天最高气温8℃，最低气温-4℃，最高温比最低温高 ，原选项判断错误，不合题意；
D. 时至 时气温呈先下降在上升趋势，原选项判断错误，不合题意．
故选：A

6.A

【解析】
分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解．
解：A. ，原选项计算正确，符合题意；
B. ，原选项计算错误，不合题意；
C. ，原选项计算错误，不合题意；
D. ，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意．
故选：A

7.B

【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
解：∵P（3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（-3，-4），
故选B．

8.C

【解析】
根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度．
∵ ∠BAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∵OB=4，
∴OD= OB= =2．
故选：C．

9.D

【解析】
根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由k=2＞0，b=1＞0可知，一次函数y=2x+1的图象过一、二、三象限.另外此题还可以通过直接画函数图象来解答.
∵k=2＞0，b=1＞0，
∴根据一次函数图象的性质即可判断该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故选D.

10.B

【解析】
设有 辆车，人数为 ，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有 辆车，人数为 人，依题意得：
，
故选：B．

11.A

【解析】
根据折叠性质则可得出 是 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．
解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，

∵点 ， 的对应点分别为 ， ，
∴ ， ，
∴EF是AA＇的垂直平分线．
∴∠AOE=90°．
∵四边形 是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，
∴∠AEO=∠AGD．
∵FH⊥AD，
∴∠FHE＝∠D＝90°．
∴△EFH∽△GAD．
∴ ．
∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFH是矩形．
∴FH＝AB．
∴ ；
故选：A．

12.C

【解析】
根据新定义运算规则，分别从 和 两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
解：由题意得，当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
综上所述，不等式 的解集是 或 ．
故选：C．

13.

【解析】
利用平方差公式进行因式分解即可．
解： = ．
故答案为 ．

14.

【解析】
由三角函数分别求出BC、BD，即可得出CD的长．
解：由题意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，tan∠BAC = ，AB=30米，
∴BC=AB•tan45°=30米，
∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD = ，
∴BD=AB•tan30°= （米），
∴CD=BC-BD= （米）；
故答案为： ．

15.89

【解析】
根据加权平均数的定义列式计算可得．
解：选手甲的综合成绩为 （分 ，
故答案为：89分．

16.

【解析】
先利用菱形的性质得到含30°角的直角三角形，再利用勾股定理求出AE，最后利用弧长公式求出弧长，弧长即为圆锥底面圆的周长，再利用周长公式即可求半径．
解：如图，连接AE，由切线性质可知：AE⊥BC，即∠AEB=90°；
∵菱形铁片上∠BAD=120°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1，
∵ ，
∴ ，
∴扇形的弧长为： ，
所以圆锥底面圆半径为： ，
故答案为： ．

17. ．

【解析】
先通过平移和轴对称得到当B、E、 三点共线时， 的值最小，再通过设直线 的解析式并将三点坐标代入，当 时，求出a的值，最后将四边形周长与 时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由平移的性质可知： ,
∴四边形 的周长为 ；
要使其周长最小，则应使 的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a＞0时，抛物线向右平移，当a＜0时，抛物线向左平移；
∴ ， ，
将 向左平移2个单位得到 ，则由平移的性质可知： ，
将 关于x轴的对称点记为点E，则 ，由轴对称性质可知， ,
∴ ，
当B、E、 三点共线时， 的值最小，


设直线 的解析式为： ，
∴ ，
当 时，
∴
∴ ，
将E点坐标代入解析式可得： ，
解得： ，
此时 ，
此时四边形 的周长为 ；
当 时， ， ， ， ，
此时四边形 的周长为：
；
∵ ，
∴当 时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了 个单位，
所以其解析式为： ；
故答案为： ．

18.-2

【解析】
先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．
解：


．

19.

【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：
去分母，得 ，
解此方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的根．

20.（1）证明见详解；（2）作图见详解；（3）CE=4．

【解析】
（1）根据 ，得到∠BAC=∠DCA，结合 ，AC=CA，利用“AAS”即可证明；
（2）如图，延长AB，任意取一点H，使H和点C在AB两侧，以C为圆心，CH为半径画弧，交AB于F、G，分别以F、G为圆心，以大于 FG长为半径画弧，两弧交于I，作直线CI，交AB延长线于E，则CD⊥AB与E；
（3）证明四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解．
解：（1）∵ ，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵ ，AC=CA，
∴ ；
（2）如图，延长AB，任意取一点H，使H和点C在AB两侧，以C为圆心，CH为半径画弧，交AB于F、G，分别以F、G为圆心，以大于 FG长为半径画弧，两弧交于I，作直线CI，交AB延长线于E，则CD⊥AB与E；

（3）∵ ，
∴AB=CD，
∵ ，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ,
即5CE=20，
∴CE=4．

21.（1）a=6，b=4.7，c=4.75；（2）500kg；（3）10.5元．

【解析】
（1）用20减去各数据的频数即可求出a，根据众数、中位数的意义即可求出b、c；
（2）选用平均数进行估算，用每箱损坏数量乘以2000即可求解；
（3）用购买的总费用除以没有损坏的总数量即可求出解．
解：（1）a=20-2-1-7-3-1=6；
在这20个数据中，4.7频数最大，所以众数b=4.7；
将这20个数据排序，第10、11个数据分别为4.7、4.8，所以中位数c= ；
（2）选用平均数进行估算，（5-4.75）×2000=500kg，
答：选用平均数进行估算，这 箱荔枝共损坏了500千克；
（3）（10×2000×5）÷（4.75×2000）≈10.5元
答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.5元才不亏本．

22.① ；② ．

【解析】
①过点 作 于点 ，连接 ，可得 ，根据材料可知 ，再由等腰三角形性质可知 ，即可求出 ；
②连接CE，证明 ，即可得 ，由此即可求解．
解：①过点 作 于点 ，连接 ，

∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ；
② ，
过程如下：如解图3，连接CE，

∵在正方形 、正方形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
∴ ．

23.（1） ；（2）12米；（3） ．

【解析】
（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线 即可求解；
（2）高度差为1米可得 可得方程，由此即可求解；
（3）由抛物线 可知坡顶坐标为 ，此时即当 时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过 米，即 ，由此即可求出b的取值范围．
解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线 得，
，
解得： ，
∴抛物线 的函数解析式 ；
（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为 米，
∴ ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为 米；
（3）∵点A（0，4），
∴抛物线 ，
∵抛物线 ，
∴坡顶坐标为 ，
∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 米时，
∴ ，
解得： ．

24.（1） ；（2） ；（3）6

【解析】
（1）直接根据等腰直角三角形性质及正方形性质可以得出： ，进一步计算即可；
（2）先根据等腰直角三角形以及直角三角形得出 ， ，代入 化简即可；
（3）设l： ，则 ，当 面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，列出 面积的表达式求解即可．
解：（1）根据题意：可知
均为等腰直角三角形，则 ，
∵ ， ， ，
∴DC=8，
∴AC= ，
∴ ；
（2）∵四边形EFGH为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）由（2）得P在 上，
设l： ，则 ，
当 面积的最小时，两个函数图像仅有一个交点，
令 ，得 ，
则 ，
∴ ，
，
，
，
．

25.（1）见解析；（2） ；（3） ．

【解析】
（1）连接DF，由圆周角性质可得 ，则利用平行线的判定与性质可得 ，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出 ，即可证得结论；
（2）由相似三角形的判定可得 ，则推出 ，由 得出 ，可利用勾股定理求得 ，即可求出 的值；
（3）连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得 ， ， ， ， ， ，再由相似三角形的判定及性质可推出 ，代入求值后即可求得 的值．
（1）证明：如图，连接DF，

∵ 是 的直径，
∴ ．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：连接MN，并延长CO与AF， 分别相交于点P，点Q，连接AQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，AB∥OC．
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵AB∥OC，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在Rt△APO中，由勾股定理得 ．
∴ ．
在Rt△APH中，由勾股定理得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．