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湖北省荆门市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.2021的相反数的倒数是（　　）．
A．
B．
C．
D．

2.“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资 元资金．数据 用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12亿
B．1.012亿
C．101.2亿
D．1012亿

3.下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）

A．传
B．国
C．承
D．基

5.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

7.如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设 ，那么 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若 ，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象是（ ）

A．①②
B．②③
C．②④
D．③④

10.抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点 ， （ ），下列结论：① ；② ；③ ；④若方程 有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1

评卷人 得分

二、填空题

11.计算： _____．

12.把多项式 因式分解，结果为________．

13.如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点A的对应点C恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M使得 ，则点M的坐标为_________．

14.如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为_____．

15.如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，则a的取值范围是________．

16.如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如下的统计图．


（1）这次预赛中二班成绩在B等及以上的人数是多少？
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A等的都是女生，年级要求从这两个班A等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．

19.如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ，且 ， ．

（1）求证： ；
（2）若 ， ，用x表示DF的长．

20.某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

21.已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根．
（1）若 ，求 及 的值；
（2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由．

22.如图，在 中， ，点E在BC边上，过A，C，E三点的 交AB边于另一点F，且F是弧AE的中点，AD是 的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．

（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当 时，求 的值．

23.某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．

x	40	70	90
y	180	90	30
W	3600	4500	2100

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．

24.如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点 ，点Q为线段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
（3）过点Q作 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的面积分别为 ， ，设 ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数和倒数的性质计算，即可得到答案．
2021的相反数是：
2021的相反数的倒数是：
故选：C．

2.B

【解析】
利用科学记数法表示数的定义解题．
解： 亿，
故选：B．

3.C

【解析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．

4.D

【解析】
正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：
“传”与“因”是相对面，
“承”与“色”是相对面，
“红”与“基”是相对面．
故选：D．

5.D

【解析】
根据相应运算的基本法则逐一计算判断即可
∵ ,
∴A计算错误;
∵ ,
∴B计算错误;
∵ +x无法运算,
∴C计算错误;
∵ ,
∴D计算错误;
故选D．

6.A

【解析】
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知： 绳子=木条 ，据此列出二元一次方程组即可．
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故选：A．

7.C

【解析】
延长EG交AB于H，根据平行四边形与三角板的性质， ，DC//AB，得到∠DEH=∠BHE=60°，再由平角的定义，计算出结果．
解：如图，延长EG交AB于H，

∵∠BMF=∠BGE=90°，
∴MF//EH，
∴∠BFM=∠BHE，
∵ ，
∴∠BFM=∠BHE=60°，
∵在平行四边形ABCD中，DC//AB，
∴∠DEH=∠BHE=60°，
∵∠GEN=45°，
∴ ，
故选：C．

8.B

【解析】
先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可.
解： PA，PB是⊙O的切线，







故选：B.

9.B

【解析】
根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的 （k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的 （k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．

10.A

【解析】
根据已知条件可判断 ， ，据此逐项分析解题即可．
解： 抛物线开口向下

把 ， 代入 得














① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③正确；；
④若方程 有两个不相等的实数根，
即






，故④正确，即正确结论的个数是4，
故选：A．

11.

【解析】
根据绝对值的意义，负整数指数幂，锐角三角函数，零指数幂的概念分别化简，然后进行计算．
解：


．
故答案为： ．

12.

【解析】
直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
解：
＝
＝ ．
故答案为： ．

13.

【解析】
利用 的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在 上，设M的坐标，最后通过 可以求出M点的坐标．
解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，
由题意可知 ，
则 ，C在 上，

设


即 解得 （不符合题意，舍去）
所以
故答案为： ．

14.2 ﹣

【解析】
过点F作FE⊥AD于点E，则AE= AD= AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF的长，由S_弓形AF=S_扇形ADF－S_△ADF可得出其面积，再根据S_阴影=2(S_扇形BAF－S_弓形AF)即可得出结论
如图所示,过点F作FE⊥AD于点E，∵正方形ABCD的边长为2，
∴AE= AD= AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF= ．
∴S_弓形AF=S_扇形ADF－S_△ADF= ，
∴ S_阴影=2(S_扇形BAF－S_弓形AF)=2×[ ]=2×( )= ．

15.

【解析】
求出不等式组的解集，得到其取值范围，再根据不等式组有整数解解答．
解： ，
由①得，x＞a-3；
由②得，x≤4；
∵关于x的不等式组恰有2个整数解，
∴整数解为3，4，
∴2≤a-3＜3；
∴ ．
故答案为：

16.     64     5

【解析】
找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解
通过观察发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
……
故第n行第n列数字为： ，
则第n行第1列数字为： ，即 +1
设2021是第n行第m列的数字，则：
即 ,可以看作两个连续的整数的乘积，
为正整数，

当 时，
故答案为：64，5

17. ；

【解析】
根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．



将 代入上式得：
原式＝ ．

18.（1）9；（2）一班平均数为87.5；二班中位数为80；（3）0.6

【解析】
（1）用总人数×二班成绩在B级以上（包括B级）的人数所占百分比即可；
（2）从统计图中的数据求出各个等级的人数，按求平均数和找中位数的方法得出一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）先列举出所有等可能的情况数，找出抽取的六名学生中至少有1个男生的情况，即可求出所求概率．
（1）∵两个班参加比赛的人数相同，
∴由条形图可知二班参赛人数为20人，
∴由扇形围可知B等及以上的人数为 ；
（2）一班成绩的平均数为： ，
二班100分的有20 人，90分的有20 人，80分的有20 人，70分的有20 人，
按从小到大顺序排列，中位数为80；
∴二班成绩的中位数为80；
（3）二班成绩A等的都是女生，
∴二班成绩A等人数为 人：
将两个班成绩A等的6人分别记为A，B，C，D，E，F：其中A，B为一班两个男生．
∵每个学生被抽取的可能性相等，
∴从这两个班成绩A等的学生中随机选2人的所有情形如下：
AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF共15种；
其中至少有1个男生的有AB AC AD AE AF BC BD BE BF共9种；
∴概率为 ．

19.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）证明△ABE≌△EHF，即可证明BE=CH；
（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3−x，利用勾股定理即可求解．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，AB=BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°．
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEH．
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EHF．
∴BE=FH，AB=EH，
∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，
∴BE=CH；
（2）作FP⊥CD于P，

由（1）可知EH=AB，
∴CE=3−x．
∴CH=FH=FP=x，
∴PD=3−x．
．

20.（1） ；（2）海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域

【解析】
(1)如图1, 作 ，交AB的延长线于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC计算即可;
(2)作差比较x与r的大小，判断有危险；以P为圆心，半径r为 作圆，作圆的切线 计算∠PBD的大小，从而得到∠CBD的大小，从而判断即可.
解：（1）如图1，作 ，交AB的延长线于C，

由题意知： ， ．
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
；
（2） ，
．
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：

∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域．

21.（1） ， ；（2）存在，

【解析】
（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
解：（1）由题意：Δ=(−6)²−4×1×(2m−1)＞0，
∴m＜5，
将x₁=1代入原方程得：m=3，
又∵x₁•x₂=2m−1=5，
∴x₂=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足 ，那么
有 ，
即 ，
整理得： ，
解得 或 ．
由（1）可知 ，
∴ 舍去，从而 ，
综上所述：存在 符合题意．

22.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）连接 ， ，证明 ， ，即可得到结论；
（2）证明 得 ，设 ，那么 ， ，根据勾股定理求出 ， ，再根据正弦的定义求解即可
解：（1）证明：连接 ， ，则 ，

， ，
∵F是 的中点，
，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ，
，
；
∵ ，
．
即 ，
四边形CDMF是平行四边形．
（2）由（1）可知：四边形ACDF是矩形，
，
由
∴ ，
∵BM//CD

，
设 ，那么 ， ，
在 中， ，

在 中，
在 中， ．

23.（1） ；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）

【解析】
（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得 ，再由表格数据求出 ，得到 ，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得 ，由于对称轴是直线 ，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设 ，由题意有
，解得 ，
所以y关于x的函数解析式为 ；
（2）由（1） ，又由表可得：
， ，
．
所以售价 时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意 ，
其对称轴 ， 时上述函数单调递增，
所以只有 时周销售利润最大， ．
．

24.（1） ；（2）5；（3） 时，S有最大值

【解析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，利用勾股定理即可求解；
（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m²−2m−3)得到直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m²+m−3，由 得到二次函数，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，
将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y= −2x−3；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB，

∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∵O、D关于直线BC对称，
∴四边形OBDC为正方形，
∴D(3，−3)，
连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，
AD= ，
∴|QO|+|QA|有最小值为5；
（3）由已知点A(−1，0)， B(3，0)，C(0，−3)，
设直线BC的表达式为y=kx−3，
把B(3，0)代入得：0=3k−3，
解得： ，
∴直线BC的表达式为y=x−3，
同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，
由（1）可设P(m，m²−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b= m²+m−3，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m²+m−3，
由 ，解得 ，
即 ，
由题意： ，
∵P，Q都在四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴ ，
即 ，
根据已知条件P的位置可知 ．
∴ 时，S最大，
即 时，S有最大值 ．