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湖北省鄂州市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.实数6的相反数等于（ ）
A．
B．6
C．
D．

2.下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

3.“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

4.下列四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.已知锐角 ，如图，按下列步骤作图：①在 边取一点 ，以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，连接 ．②以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，连接 ．则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知 为实数﹐规定运算： ， ， ， ，……， ．按上述方法计算：当 时， 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直线 相交于点 ．根据图象可知，关于 的不等式 的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）


A．1米
B． 米
C．2米
D． 米

9.二次函数 的图象的一部分如图所示．已知图象经过点 ，其对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过点 ，则关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10.如图， 中， ， ， ．点 为 内一点，且满足 ．当 的长度最小时， 的面积是（ ）

A．3
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.化简： ______．

12.“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2，这组数据的中位数是______．

13.已知实数 、 满足 ，若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 _____________．

14.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标为_____________．

15.如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴于点 ， 交反比例函数 的图象于点 ，点 是 轴正半轴上一点．若 的面积为2，则 的值为_____________．

16.如图，四边形 中， ， ， 于点 ．若 ， ，则线段 的长为_____________．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分 均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（ ）．合格（ ）、良好（ ）、优秀（ ），制作了如下统计图（部分信息未给出）：
所抽取成绩的条形统计图

所抽取成绩的扇形统计图

根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．

19.如图，在 中，点 、 分别在边 、 上，且 ．

（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点 、 ，连接 交 于点 ．若 ， ，求 的长．

20.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 地出发，途经 地去往 地，如图．当他由 地出发时，发现他的北偏东 方向有一信号发射塔 ．他由 地沿正东方向骑行 km到达 地，此时发现信号塔 在他的北偏东 方向，然后他由 地沿北偏东 方向骑行12km到达 地．


（1）求 地与信号发射塔 之问的距离；
（2）求 地与信号发射塔 之问的距离．（计算结果保留根号）

21.为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本 （元）与种植面积 （亩）之间满足一次函数关系，且当 时， ；当 时， ．
（1）求 与 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）

22.如图，在 中， ， 为 边上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 边相切于点 ，交 于点 ．


（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求线段 的长．

23.数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由 ； ； ； ； ；
猜想：如果 ， ，那么存在 （当且仅当 时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当 ，即 时， ，∴ ；
②当 ，即 时， ，∴ ．
综合上述可得：若 ， ，则 成立（当日仅当 时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 （米²）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？最大面积是多少？

24.如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为线段 的中点，点 是线段 上一动点（不与点 、 重合）．


（1）请直接写出点 、点 、点 的坐标；
（2）连接 ，在第一象限内将 沿 翻折得到 ，点 的对应点为点 ．若 ，求线段 的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为点 ．
①若点 在 内部（不包括边），求 的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点 ，使 最大？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
由相反数的定义可得6的相反数是-6．
故选A．

2.A

【解析】
直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．
A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项错误，不符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意；
故选：A．

3.B

【解析】
根据轴对称图形的概念逐项判断即可．
解：A选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的汉字是轴对称图形，符合题意；
C选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；
D选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．

4.C

【解析】
直接根据三视图中主视图的定义即可判断．
根据几何体三视图中主视图的定义；
正方体的主视图是矩形，不符合题意；
圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
故选：C．

5.B

【解析】
根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD= ，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
解：∵以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD= ，
∵以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．

6.D

【解析】
当 时，计算出 ，会发现呈周期性出现，即可得到 的值．
解：当 时，计算出 ，
会发现是以： ，循环出现的规律，
，
，
故选：D．

7.C

【解析】
根据一次函数图像的交点直接判断即可．
解：由题意可知，
当 时，
直线 的图像位于直线 图像的上方，
即关于 的不等式 的解集为： ．
故选：C．

8.B

【解析】
连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
故选：B．

9.C

【解析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点 ，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点 ，
∴抛物线 与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程 的两根分别为 ，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．

10.D

【解析】
由题意知 ，又 长度一定，则点P的运动轨迹是以 中点O为圆心， 长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在 中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到 是等边三角形，利用特殊 三边关系即可求解．
解：

取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短




点P是BO的中点
在 中，
是等边三角形

在 中，
．

11.3

【解析】
分析：根据算术平方根的概念求解即可.
详解：因为3²=9
所以 =3.
故答案为3.
点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.

12.2

【解析】
根据中位数的求解方法求解即可．
解：将所给6个数据从小到大排列：1，2，2，2，3，3，
则中位数为 =2，
故答案为：2．

13.

【解析】
根据非负性求得a、b的值，再根据一元二次方程根与系数关系求得 + 、 ，代入 求解即可．
解：∵实数 、 满足 ，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
∴ ，
∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
∴ + =2， =﹣3，
∴ = ，
故答案为： ．

14.

【解析】
根据题意画出图形，易证明 ，求出OE、BE的长即可求出B的坐标．
解：如图所示，点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，
过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，


∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴CD=2，AD=3，
根据旋转的性质，AC=BC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AD=CE=3，CD=BE=2，
∴OE=2，BE=2，
故答案为： ．

15.8

【解析】
根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值．
解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，


则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，
根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：
，
解得： ，
故答案为：8．

16.

【解析】
设 交于点F，过C作 ，用 求出 ，即求出BC的长，又因为 ， 从而求得AB．
如图，设 交于点F，过C作 ，

在以 为直径的圆上
，





，





在 和 中


=
，

17. ，

【解析】
先通过约分、通分进行化简，再把给定的值代入计算即可．
解：原式
，
当 时，原式 ．

18.（1）40， ，见解析；（2）

【解析】
（1）根据“良好”等级的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，根据频数分布直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数，
然后再根据频数分布直方图中的数据，即可计算出成绩为合格的学生的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
解：（1）本次抽取的学生有：20÷50%=40（人），
扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为360°× =36°，
测试成绩为“合格”的学生有：40-4-20-4=12（人），
补全的频数分布直方图如图所示：

故答案为：40，36°；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲学生被选到的结果数有6种，
∴ ．
(点评)
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．熟练掌握统计图的相关知识及计算方法并能利用树状图或列表法表示出所有等可能的结果是解题的关键．

19.（1）平行四边形，见解析；（2）16

【解析】
（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；
（2）根据 ，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．
（1）四边形 为平行四边形．

理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ ．

20.（1） ；（2）

【解析】
（1）过点 作 于 点,分别求出 即可求出 ；
（2）过点 作 于 点，解 即可求出 ．
（1）依题意知： ， ，
过点 作 于 点，


∵ ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
（2）∵ ，
∴
过点 作 于
∵ ，
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∴

21.（1） ；（2）种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．

【解析】
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系为 ，进而得出W与x的函数关系式，再利用二次函数的最值公式求出即可．
解：（1）设 与 之间的函数关系式 ，依题意得：
，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为 元，依题意得：


．
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大．
由题意知： ，
∴当 时， 最大，最大值为268800元．
即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．

22.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知 ，所以， 切 于点B，同时 切 于点 ，即可求证；
（2）连接 ，可得 ，由（1）得 ，根据各个角之间的关系可得 ，所以 ，依据正切定义可得 ，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．
（1）证明：


∵ ，
∴ ，
又∵ 经过半径 的外端点 ，
∴ 切 于点 ，
与 边相切于点 ，
∴ ．
（2）解：连接 ，∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ （舍去）， ．
即线段 的长为 ．

23.（1） ，函数 的最小值为2；（2） ，函数 的最小值为5；（3）每间隔离房长为 米，宽为 米时， 的最大值为

【解析】
猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为 ，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为 米，与墙垂直的边为 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
猜想运用：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
只取 ，
即 时，函数 的最小值为2．
变式探究：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
此时 ，
∴ ， （舍去），
即 时，函数 的最小值为5.
拓展应用：
设每间隔离房与墙平行的边为 米，与墙垂直的边为 米，依题意得：
，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
即 ，
∴当 时 ，
此时 ， ，
即每间隔离房长为 米，宽为 米时， 的最大值为 ．

24.（1） ， ， ；（2）1；（3）① ；②存在，

【解析】
（1）令x=0，令y=0分别代入 ，即可得到A，B的坐标，结合中点坐标公式，求出P的坐标，即可；
（2）过点 作 于 ，易得 ， ，又点 ，可得 ， ，进而即可求解；
（3）①把二次函数解析式化为顶点式，可得顶点 的坐标为 ，从而得点 是直线 上一点，进而即可求解；②作点Q关于直线 的对称点 ，连接 E交直线 于点C，则CQ=C ，此时 最大．求出 (4，1)，E(5，5)，从而得 E的解析式，进而即可求解．
解：（1）令x=0代入 ，y=6，
令y=0代入 ，x=4，
∴ ， ，
∵点 为线段 的中点，
∴ ；
（2）过点 作 于 ，


∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 ，
∴
∴ ，
即 的长为1；
（3）① ，


∴其顶点 的坐标为 ，
∴点 是直线 上一点，
∵ ， ，
∴当 时，
又∵点 在直线 上
∴当点 在 内部（不含边）时， 的取值范围是 ；
②作点Q关于直线 的对称点 ，连接 E交直线 于点C，则CQ=C ，此时 = = E， 最大．


∵ ， ，P是Q 的中点，
∴ (4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
设 E的解析式为：y=kx+b，则 ，解得： ，
∴ E的解析式为：y=4x-15，
联立 ，解得： ，
∴点C坐标为 ．
答：存在点 使 最大，此时C的坐标为 ．