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四川省达州市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.﹣ 的相反数是（　　）
A．﹣
B．﹣
C．
D．

2.如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.实数 在数轴上的对应点可能是（ ）

A． 点
B． 点
C． 点
D． 点

4.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，一束光线 先后经平面镜 ， 反射后，反射光线 与 平行，当 时， 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．

7.以下命题是假命题的是（ ）
A． 的算术平方根是2
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．一组数据：3， ，1，1，2，4的中位数是1.5
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

8.生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例： ， ；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~ 来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：

十进制	0	1	2	…	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	…
十六进制	0	1	2	…	8	9							10	11	…

例：十六进制 对应十进制的数为 ， 对应十进制的数为 ，那么十六进制中 对应十进制的数为（ ）
A．28
B．62
C．238
D．334

9.在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每一次将 绕着点 逆时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，第二次旋转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，已知抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过点 ，且对称轴为直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

评卷人 得分

二、填空题

11.截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人．将392.5亿元用科学记数法表示应为___________元．

12.如图是一个运算程序示意图，若开始输入 的值为3，则输出 值为___________．

13.已知 ， 满足等式 ，则 ___________．

14.若分式方程 的解为整数，则整数 ___________．

15.如图，在边长为6的等边 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，则 的最小值为___________．

评卷人 得分

三、解答题

16.如图，将一把矩形直尺 和一块等腰直角三角板 摆放在平面直角坐标系中， 在 轴上，点 与点 重合，点 在 上， 交 于点 ，反比例函数 的图像恰好经过点 ， ，若直尺的宽 ，三角板的斜边 ，则 ___________．

17.计算： ．

18.化简求值： ，其中 与2，3构成三角形的三边，且 为整数．

19.为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）这次抽样调查的总人数为__________人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为_________；
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3））学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

20.如图，在平面直角坐标中， 的顶点坐标分别是 ， ， ．

（1）将 以 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
（2）将 平移后得到 ，若点 的对应点 的坐标为 ，求 的面积

21.2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 的河床斜坡边，斜坡 长为48米，在点 处测得桥墩最高点 的仰角为 ， 平行于水平线 ， 长为 米，求桥墩 的高（结果保留1位小数）．（ ， ， ， ）

22.渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
（1）写出工厂每天的利润 元与降价 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

23.如图， 是 的直径， 为 上一点（ 不与点 ， 重合）连接 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．将 沿 翻折，点 落在点 处得 ， 交 于点 ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分面积．

24.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
(观察与猜想)
（1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ， ，则 的值为__________；


（2）如图2，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 的值为__________；


(类比探究)
（3）如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ；


(拓展延伸)
（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ．


①求 的值；
②连接 ，若 ，直接写出 的长度．

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 和 ，交 轴于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．


（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为 ，连接 ， ，求 的最小值．
（3） 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；

参考答案

1.C

【解析】
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
详解：- 的相反数是 ．
故选C．
点睛：本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.A

【解析】
根据三视图中主视图的定义，由正面看即可判断．
解：由三视图中主视图的定义，可知几何体的主视图为：

故选：A．

3.D

【解析】
先求出 的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．
解：∵ ，
∴ ，
∴它表示的点应位于2和3之间，
所以对应点是点D，
故选：D．

4.C

【解析】
根据二次根式的性质和运算法则，负整数指数幂，积的乘方法则，逐一判断选项，即可．
解：A. ，不能合并，故该选项错误，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项正确，
D. ，故该选项错误，
故选C．

5.B

【解析】
过点B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E；根据余角性质计算得 ；根据平行线性质，得 ，结合角平分线性质，计算得 ；再根据余角性质计算，即可得到答案．
如下图，过点B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E

∵ ，
∴
∴
∵ 与 平行
∴
∵ ，
∴
∴
故选：B．

6.C

【解析】
根据k＞0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．
解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x₂，y₂），C（x₃，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y₃＜y₂，
∵A（x₁，y₁）在第三象限，
∵y₁＜0，
∴ ．
故选：C．

7.A

【解析】
根据所学知识对命题进行判断，得出真假即可．
解：A， 的算数平方根是 ，命题为假命题，符合题意；
B，有两边相等的三角形是等腰三角形，命题为真命题，不符合题意；
C，一组数据：3， ，1，1，2，4的中位数是 ，命题为真命题，不符合题意；
D，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题为真命题，不符合题意，
故选：A．

8.D

【解析】
在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得．
由题意得，十六进制中 对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334，
故选D．

9.C

【解析】
由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．
解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限， ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
，
故选：C．

10.D

【解析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式 ， 判断 的大小关系
③根据 时， ，比较 与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知 ，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c＜0

故①正确；
② 得

故②错误；
③ 经过

又由①得c＜0

故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等
当 时 ，即

即
经过 ，即经过
故④正确；
⑤当 时, , 当 时,

函数有最小值

化简得 ，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．

11.

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：1亿=10⁸
将392.5亿元用科学记数法表示392.5亿=3.925×10²×10⁸=3.925×10¹⁰元．
故答案为：3.925×10¹⁰．

12.2

【解析】
根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．
解：∵x=3＜4
∴把x=3代入 ，
解得： ，
∴ 值为2，
故答案为：2．

13.-3

【解析】
先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
解：由 ，变形得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：-3

14.

【解析】
直接移项后通分合并同类项，化简、用 来表示 ，再根据解为整数来确定 的值．
解： ，


整理得：
若分式方程 的解为整数，
为整数，
当 时，解得： ，经检验： 成立；
当 时，解得： ，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上: ，
故答案是： ．

15. ．

【解析】
首先证明 ，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于 ，当点P运动到 时，CP取到最小值．
如图所示，∵边长为6的等边 ，

∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于 ，当点P运动到 时，CP取到最小值
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
即
故答案为：

16.

【解析】
利用等腰直角三角形特殊性质可求出 ， ， ，设 ，用含有 的代数式表示点 、点 的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出 的值，进而确定 的值．
解：过点 作 ，垂足为 ，则 ，

在 中， ， ，
，
又 ，
，
设 ，则 ，
点 ， ， ， ，
又 反比例函数 的图象恰好经过点 ， ．
，
解得， ， ，
故答案为：-12．

17.1

【解析】
直接通过整数的平方、零次幂的运算、去绝对值符号、特殊角的三角函数值即可求解．
解：原式

故答案是：1．

18. ，-2

【解析】
先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．
解：原式 ；
∵2，3，a为三角形的三边，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ ，3或4，
由原分式得 ， ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴原式= ．

19.（1）200； ；（2）560人；（3）

【解析】
（1）通过“唱歌”人数以及百分比求出总人数，然后根据条形统计图求出“舞蹈”的人数，利用其人数比上总人数，再乘360°即可得到对应圆心角的度数；
（2）利用“书法”人数的占比乘1400即可；
（3）通过列表法或者树状图的方法求解即可．
（1）由题意，总人数为： （人），
“舞蹈”的人数： （人），
∴扇形统计图中，“舞蹈”对应的圆心角为： ，
故答案为：200； ；
（2） （人）
答：估计选择参加书法的有560人．
（3）记两名男生分别为： ， ，两名女生分别为： ， ，则列表如图所示：

第一次 第二次
			.

共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为 ，
答：恰好抽到一男一女的概率为 ．

20.（1）见解析；（2）11

【解析】
（1）延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；再连接 即得旋转后对应的 ；
（2）根据平移的规律求出 ，再连接点 ，得 ，将三角形分割乘两个三角形的面积之和，求出公共边 的长即可求解．
解：（1）延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；延长 至 ,使得 ；再连接 即得旋转后对应的 ，如下图所示：

（2）由题意 ， ， ，平移后得到 ，其中 ，根据平移的规律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得： ，
再连接点 ，得 ，其中 交 轴于点 ,如上图所示：

由 得出直线 的方程如下：
直线 ：
当 时， ，
，
,



故 ．

21.桥墩AB的高约为72.4米．

【解析】
延长DC交AB于点E，利用直角三角形BCE计算出BE，利用直角三角形ADE计算出AE，从而AB可求．
解：如图所示，延长DC交AB于点E，则ED∥BM．
∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°．

在 中，
∵∠ECB =30°，BC=48米，
∴ （米）．
（米）．
∴ （米）．
在 中，
∵ ，
∴ （米）．
∴ （米）．
答：桥墩AB的高约为72.4米．

22.（1） ，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43

【解析】
（1）若降价 元，则每天销量可增加 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入 求出对应函数值即可；
（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）令 可解出对应的 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的 的值即可．
（1）若降价 元，则每天销量可增加 千克，
∴ ，
整理得： ，
当 时， ，
∴每天的利润为9600元；
（2） ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为9800，
∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；
（3）令 ，得： ，
解得： ， ，
∵要让利于民，
∴ ， （元）
∴定价为43元．

23.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）连接OC，先证明∠CDA=90°，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OC AE，从而求出∠ECO=90°，问题得证；
（2）连接 ，过点 作 于点 ，证明四边形OCEG为矩形，求出 ， ， ，进而求出 ，∠COF=30°，分别求出矩形OCEG、△OGF、扇形COF面积，即可求出阴影部分面积．
解：（1）如图，连接OC，
∵ ，
∴∠CDA=90°，
∵ 翻折得到 ，
∴∠EAC=∠DAC，∠E=∠CDA=90°，
∴∠EAD=2∠DAC，
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA
∴∠COD=2∠OAC，
∴∠COD=∠EAD，
∴OC AE，
∴∠ECO=180°-∠E=90°，
∴OC⊥EC，
∴ 是 的切线；
（2）如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵∠E=∠ECO=90°，
∴四边形OCEG为矩形．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点 ，OA=OF=2，
∴ ，∠FAO=∠AFO=30°，
∵OC AE，
∴∠COF=∠AFO=30°，
∴矩形OCEG面积为 ，
△OGF面积为 ，
扇形COF面积为
∴阴影部分面积=矩形OCEG面积-△OGF面积-扇形COF面积= ．

24.（1）1；（2） ；（3）证明见解析；（4）① ；② ．

【解析】
（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，由此即可得出答案；
（2）先根据矩形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据相似三角形的判定与性质即可得；
（3）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得 ，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得 ，然后根据相似三角形的判定可得 ，由此即可得证；
（4）①如图（见解析），先证出 ，从而可得 ，再分别在 和 中，解直角三角形可得 ， ，然后根据翻折的性质可得 ，最后利用 的面积公式求出 的长，由此即可得出答案；
②先根据（4）①中，相似三角形的性质可得 ，可求出 ，再根据翻折的性质可得 ，然后在 中，利用勾股定理可得 ，从而可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得．
解：（1） 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
；
（2） 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
；
（3）如图，过点 作 交 的延长线于点 ，


∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）①过 作 于点 ，连接 交 于点 ，


∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ， ，
由翻折的性质得： ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
②由（4）①已证： ， ，
，
，
，解得 ，
由翻折的性质得： ，
在 中， ，
，
在 中， ．

25.（1） ；（2） ；（3）存在， 点的横坐标分别为：2， ， 或 ．

【解析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为 将 ， 两点代入求得 ，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求 的值，将折线化为直线，构造相似三角形将 转化为 ，再利用三角形两边之和大于第三边求得 最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN= AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
解：（1）∵ 过 ，
∴
∴ ，
∴抛物线的解析式为：
（2）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，

∵
对称轴 ．
∴ ，
，
∴ ，
∴
∴
∴
当 ， ， 三点在同一点直线上时， 最小为 ．
在 中， ，
∴
即 最小值为 ．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得


是等腰 ，
分别过 两点作 的垂线，交 于点 ，
过 作 轴， 轴,

, 也是等腰直角三角形
设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）

同理，设 ，则 ，所以
代入 ，解得 , （不符题意，舍）


② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则

，



设 ，则

整理得：
解得： （不符题意，舍）， （不符题意，舍），
，

综上所述： 点的横坐标分别为：2， ， 或 ．