绝密·启用前

黑龙江省龙东地区（农垦 森工）2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列运算中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．

B．

C．

D．

3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）


A．

B．

C．

D．

4.一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数
B．中位数
C．平均数
D．方差

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14
B．11
C．10
D．9

6.已知关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是（ ）
A．
B． 且
C．
D． 且

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）
A．5种
B．6种
C．7种
D．8种

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 轴，垂足为 ，顶点 在第二象限，顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 的图象同时经过顶点 ．若点 的横坐标为5， ，则 的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，平行四边形 的对角线 相交于点 ，点 为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，交 于点 ，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（ ）

A．4
B．5
C．2
D．3

10.如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 在 的延长线上，连接 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ，连接 ，若 ， ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤点D到CF的距离为 ．其中正确的结论是（ ）


A．①②③④
B．①③④⑤
C．①②③⑤
D．①②④⑤

评卷人 得分

二、填空题

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到 万公里，位居世界第二．将数据 万用科学记数法表示为_______．

12.在函数y= 中，自变量x的取值范围是_____．

13.如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形 是正方形．

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是______．

15.关于 的一元一次不等式组 有解，则 的取值范围是______．

16.如图，在 中， 是直径，弦 的长为5cm，点 在圆上，且 ，则 的半径为_____．

17.若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的母线长为____ cm．

18.如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心，3为半径的 ，与 交于点 ，过点 作 交 于点 ，点 是边 上的点，则 的最小值为_____．

19.在矩形 中， 2cm，将矩形 沿某直线折叠，使点 与点 重合，折痕与直线 交于点 ，且 3cm，则矩形 的面积为______cm²．

20.如图，菱形 中， ， ，延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ；再延长 至 ，使 ，以 为一边，在 的延长线上作菱形 ，连接 ，得到 ……按此规律，得到 ，记 的面积为 ， 的面积为 …… 的面积为 ，则 _____．

评卷人 得分

三、解答题

21.先化简，再求值： ，其中 ．

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， 的三个顶点分别为 ．


（1）画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点 旋转到点 所经过的路径长（结果保留 ）．

23.如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，顶点为点 ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：


（1）本次调查中共抽取________学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

25.一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶20km．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示的折线 ，结合图象回答下列问题：

（1）甲、乙两地之间的距离是______km；
（2）求两车的速度分别是多少km/h?
（3）求线段 的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km?

26.在等腰 中， ， 是直角三角形， ， ，连接 ，点 是 的中点，连接 ．


（1）当 ，点 在边 上时，如图①所示，求证： ．
（2）当 ，把 绕点 逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当 ，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 和 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

27.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需 万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于 万元又不超过12万元，设购进甲种农机具 件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?

28.如图，在平面直角坐标系中， 的边 在 轴上， ，且线段 的长是方程 的根，过点 作 轴，垂足为 ， ，动点 以每秒1个单位长度的速度，从点 出发，沿线段 向点 运动，到达点 停止．过点 作 轴的垂线，垂足为 ，以 为边作正方形 ，点 在线段 上，设正方形 与 重叠部分的面积为 ，点 的运动时间为 秒．

（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）当点 落在线段 上时，坐标平面内是否存在一点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.D

【解析】
根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．
解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；
B、 ，错误，故不符合题意；
C、 ，错误，故不符合题意；
D、 ，正确，故符合题意；
故选D．

2.D

【解析】
根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选 ．

3.C

【解析】
根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
解：由题意得：
该几何体的主视图是 ；
故选C．

4.D

【解析】
根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
解：由题意得：
原中位数为4，原众数为4，原平均数为 ，原方差为 ；
去掉一个数据4后的中位数为 ，众数为4，平均数为 ，方差为 ；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D．

5.B

【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得 ，然后求解即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得： （舍去），
故选B．

6.B

【解析】
根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
解：由关于 的分式方程 可得： ，且 ，
∵方程的解为非负数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ，
故选B．

7.A

【解析】
设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得 ，进而求解即可．
解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：
，
∴ ，
∵ ，且x、y都为正整数，
∴当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ；
当 时，则 ；
∴购买方案有5种；
故选A．

8.A

【解析】
由题意易得 ，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得 ，求解x，进而可得点 ，则 ，最后根据反比例函数的性质可求解．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点 的横坐标为5，
∴点 ， ，
∵ ，
∴设DE=x，BE=2x，则 ，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得： ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ；
故选A．

9.C

【解析】
由题意易得 ，进而可得 ，则有 ，然后根据相似比与面积比的关系可求解．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故选C．

10.C

【解析】
由题意易得 ，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∵OF∥BE，
∴△DGF∽△DCE，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴点G是CD的中点，
∴OG⊥CD，
∵∠ODC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴ ，故②正确；
∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④错误；
过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示：


∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴∠CDE=∠DCF，
∴ ，
设 ，则 ，
在Rt△DHC中， ，
解得： ，
∴ ，故⑤正确；
∴正确的结论是①②③⑤；
故选C．

11.

【解析】
由题意易得 万=141400，然后根据科学记数法可进行求解．
解：由题意得： 万=141400，
∴将数据 万用科学记数法表示为 ；
故答案为 ．

12. .

【解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 .

13.AC⊥BD（答案不唯一）

【解析】
根据正方形的判定定理可直接进行求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加： 或 或 或 ，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．

14.

【解析】
根据题意列出树状图，然后求解概率即可得出答案．
解：由题意得：

∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是 ；
故答案为 ．

15.

【解析】
先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
解：由关于 的一元一次不等式组 可得： ，
∵不等式组有解，
∴ ，
解得： ；
故答案为 ．

16.5cm

【解析】
连接BC，由题意易得 ，进而问题可求解．
解：连接BC，如图所示：


∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为5cm；
故答案为5cm．

17.4

【解析】
根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解．
解：设母线长为R，由题意得：
，
∴ ，
解得： ，
∴这个圆锥的母线长为4cm，
故答案为4．

18.

【解析】
延长CO，交 于一点E，连接PE，由题意易得 ， ，则有 ，CP=PE，然后可得 ， ，要使 的值为最小，即 的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可．
解：延长CO，交 于一点E，连接PE，如图所示：
∵ ，以点 为圆心，3为半径的 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，CP=PE，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵CP=PE，
∴ ，
则要使 的值为最小，即 的值为最小，
∴当D、P、E三点共线时最小，即 ，如图所示：

∴在Rt△DCE中， ，
∴ 的最小值为 ；
故答案为 ．

19. 或

【解析】
根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的性质及勾股定理可求解．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
①当点E在线段AD上时，如图所示：

由折叠的性质可得 ，
∵ 3cm，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②当点E在线段AD外时，如图所示：

由轴对称的性质可得 ，
∴在Rt△EAB中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：矩形ABCD的面积为 或 ；
故答案为 或 ．

20.

【解析】
由题意易得 ，则有 为等边三角形，同理可得 ……. 都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得 ， ，……由此规律可得 ，然后问题可求解．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
同理可得 ……. 都为等边三角形，
过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：


∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，……；
∴由此规律可得： ，
∴ ；
故答案为 ．

21. ，

【解析】
先去括号，然后再进行分式的化简，最后代值求解即可．
解：原式= ，
∵ ，
∴ ，
代入得：原式= ．

22.（1）图见详解， ；（2）图见详解， ；（3）所经过的路径长为 ．

【解析】
（1）分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点 的坐标；
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点 的坐标；
（3）由（2）可先根据勾股定理求出OB的长，然后根据弧长计算公式进行求解．
解：（1）如图所示：


∴由图象可得 ；
（2）如图所示：


∴由图象可得 ；
（3）由（2）的图象可得：点B旋转到点 所经过的路径为圆弧，
∵ ，
∴点B旋转到点 所经过的路径长为 ．

23.（1）抛物线的解析式为 ；（2）

【解析】
（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得 ，进而可得 ，然后问题可求解．
解：（1）把点 和点 代入抛物线 可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

24.（1）100；（2）图见详解；（3）144°；（4）这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．

【解析】
（1）根据统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）及统计图可得C等级的人数为20名，然后可求出B等级的人数，进而问题可求解；
（3）根据题意可直接进行求解；
（4）由（2）可直接进行求解．
解：（1）由题意得：
26÷26％=100（名），
故答案为100；
（2）由题意得：
C等级的人数为100×20％=20（名），B等级的人数为100-26-20-10-4=40（名），
则补全条形统计图如图所示：

（3）由（2）可得：
；
答：B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°．
（4）由（2）及题意得：
（名）；
答：这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名．

25.（1）180；（2）货车速度为80km/h，轿车速度为100km/h；（3）线段 的函数关系式为 ，货车出发 或 时，与轿车相距20km．

【解析】
（1）由图象可直接得出答案；
（2）设货车的速度为mkm/h，则轿车的速度为（m+20）km/h，然后根据图象可得它们在1小时相遇，则有 ，进而求解即可；
（3）由图象可得点D所表示的实际意义是轿车已到达终点甲地，则有180÷100+0.5=2.3h，进而可得点 ，设线段CD的解析式为 ，然后把点C、D代入求解即可，最后分相遇前两车相距20千米和相遇后两车相距20千米进行求解即可．
解：（1）由图象及题意可得：
甲、乙两地之间的距离是180km，
故答案为180；
（2）设货车的速度为mkm/h，则轿车的速度为（m+20）km/h，由图象可得轿车与货车在1小时时相遇，则根据相遇问题可得：
，
解得： ，
∴轿车速度为80+20=100km/h；
答：货车速度为80km/h，轿车速度为100km/h．
（3）由（2）可得货车速度为80km/h，轿车速度为100km/h；则由图象可知点D所表示的实际意义是轿车已到达终点甲地，它们中途休息的时间为0.5小时，
∴轿车到达终点的时间为180÷100+0.5=2.3h，
∴点 ， ，
设线段CD的解析式为 ，把点C、D代入得：
，解得： ，
∴线段CD的解析式为 ，
当两车在相遇前相距20km时，则有： ，
解得： ，
当两车在相遇后相距20km时，则有 ，
解得： ，
∴货车出发 或 时，与轿车相距20km．

26.（1）见详解；（2）图②中 ，图③中 ，理由见详解．

【解析】
（1）由题意易得 ，则有 ，然后可得 ， ，进而可得AD垂直平分BC，则CD=BD，最后问题可求证；
（2）取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，由题意易得 ，则有EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，进而可得∠EHF=∠EAF=45°，然后可得点A、E、F、H四点共圆，则根据圆的基本性质可求解；如图③，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，则有四边形CGMD是平行四边形，DM=CG=AC，进而可得△ACD≌△DME，则有CD=EM，∠EMD=∠DCA，然后可得△EMG是等边三角形，最后问题可求解．
（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵ ，
∴AD垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴ ；
（2）解：图②中 ，图③中 ，理由如下：
图②：取CD的中点H，连接AH、EH、FH，如图②，

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴EH垂直平分AD，∠HFA=∠CBA=45°，
∴∠EHF=∠EAF=45°，
∴点A、E、F、H四点共圆，
∵∠HFA=∠EAF=45°，
∴ ，
∴ ；
图③：如图③，取BC的中点G，连接GF并延长，使得GM=CD，连接DM、EM、EG，AG，
∵ ， ，
∴△ADE是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，

∴ ，
∴△AGC是等边三角形，
∴AC=CG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴四边形CGMD是平行四边形，
∴ ，∠GCD=∠DMG，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACD≌△DME（SAS），
∴CD=EM，∠EMD=∠DCA，
∴ ，
∴ ，
∴△EMG是等边三角形，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴GF=MF，
∴EF⊥GM，
∴ ．

27.（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．

【解析】
（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得 ，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为 ，然后求解即可；
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得 ，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．
解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：
，
解得： ，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，
∴ ，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m的值为5、6、7，
∴共有三种购买方案：
购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得 ，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，
答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．

28.（1） ；（2） ；（3）存在， 或 或

【解析】
（1）由题意易得 ，进而可得 ，则有 ，然后问题可求解；
（2）由题意易得 ，则有 ，进而可得 ，然后根据梯形面积计算公式可求解；
（3）由（2）及题意易得 ，则有 ，然后可得点 ，进而可分①以OM为平行四边形的对角线时，②以OA为平行四边形的对角线时，③以AM为平行四边形的对角线时，最后根据平行四边形的性质分类求解即可．
解：（1）由线段OA的长是方程 的根，可得： ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴在Rt△AEB中，可由三角函数及勾股定理设 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由题意得：当点F落在OB上时， ，则由（1）可得 ，

∵FM∥OA，

∴
∴
如图2中，当0＜t≤ 时，重叠部分是四边形ACFM，

如图中，当 ＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，
S=S_梯形ACFM-S_△FGH=

综上所述，
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：∴ ，
∴ ，
∴ ，
①以OM为平行四边形的对角线时，如图所示：

∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②以OA为平行四边形的对角线时，如图所示：

同理可得 ；
③以AM为平行四边形的对角线时，如图所示：

同理可得 ；
综上所述：当以 为顶点的四边形是平行四边形时，则点 的坐标为 或 或 ．