绝密·启用前

辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列实数最小的是（ ）
A．－2
B．－3.5
C．0
D．1

2.下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.如图，直线 ，将一个含 角的三角尺按如图所示的位置放置，若 ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：

时间/h	6	7	8	9
人数	2	18	14	6

那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，7.5
B．18，7
C．7，8
D．7，7.5

7.如图，AB为 的直径，C，D为 上的两点，若 ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图， 是等边三角形， ，点M从点C出发沿CB方向以 的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以 的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作 交AB于点P，连接MN，NP，作 关于直线MP对称的 ，设运动时间为ts， 与 重叠部分的面积为 ，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（ ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

9.第七次全国人口普查数据结果显示，全国人口约为1411780000人．将1411780000用科学记数法可表示为_______________．

10.一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．

11.如图， 沿BC所在直线向右平移得 ，已知 ， ，则平移的距离为___．

12.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．

13.如图，矩形ABCD中， ，对角线AC，BD交于点O， ，垂足为点H，若 ，则AD的长为_______________．

14.如图， ，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作 关于直线OC对称的 ， 交AB于点D，当 是等腰三角形时， 的度数为_____________．

15.如图， 的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点C在x轴负半轴上， 轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若 ， ，则 _____．

16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作 分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作 交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当 时， ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的是_______（填序号即可）．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值： ，其中 ．

18.如图，在 中，G为BC边上一点， ，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 　　．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．

20.为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？
（2）补全条形统计图．
（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象在第二象限交于C， 两点， 交x轴于点E，若 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．

22.小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东 方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走 到达C处，再沿北偏东 方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据： ， ， ， ）

23.如图，AB为 的直径，C为 上一点，D为AB上一点， ，过点A作 交CD的延长线于点E，CE交 于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使 ．
（1）求证：CF是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．

24.2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

25.如图，在 中， ， ，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转 得到AN，过点C作 交直线AN于点F，在AM上取点E，使 ．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当 时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 　　．
②如图2，当 时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当 ， 时，若 是直角三角形，直接写出AF的长．

26.如图，抛物线 交x轴于点 ， ，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为 ， 交直线l： 于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 ，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．

参考答案

1.B

【解析】
根据实数大小比较的方法进行求解即可．
解：因为 ，
所以最小的实数是－3.5．
故选：B．

2.D

【解析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.据此判断即可．
解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．

3.C

【解析】
根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．
解：A． 与 不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项符合题意；
D． ，故D选项不符合题意，
故选：C．

4.B

【解析】
求出不等式的解集，将解集在数轴上表示出来．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴不等式的解集为： ，
表示在数轴上如图：

故选B．

5.C

【解析】
根据平行线的性质求解，找出图中 ，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．
解：如图，作 ，

三角尺是含 角的三角尺，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：C．

6.D

【解析】
根据众数和中位数的定义进行求解即可得出答案．
解：根据题意可得，参加体育锻炼时间的众数为7，
因为该班有40名同学，所以中位数为第20和21名同学时间，第20名同学的时间为 ，第21名同学的时间为 ，
所以中位数为 ．
故选：D．

7.B

【解析】
连接AD，如图，根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 ，从而得到 的度数．
解：连接AD，如图，
AB为 的直径，
，
，
．
故选B．

8.A

【解析】
首先求出当点 落在AB上时，t的值，分 或 两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．
解：如图1中，当点 落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．

， ， ，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ， ，
， 是等边三角形，
，
，
，
，
四边形CMPN是平行四边形，
，
，
，
如图2中，当 时，过点M作 于K，则 ，

．
如图3中，当 时， ，

观察图象可知，选项A符合题意，
故选：A．

9.

【解析】
根据把一个大于10的数记成 的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，进行求解即可出得出答案．
解： ．
故答案为： ．

10.

【解析】
求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值 ，
∴小球最终停留在黑色区域的概率 ，
故答案为： ．

11.3

【解析】
利用平移的性质解决问题即可；
由平移的性质可知，BE=CF，
∵BF=8，EC=2，
∴BE+CF=8-2=6，
∴BE=CF=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．

12.

【解析】
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得： ．
故答案为： ．

13.

【解析】
由矩形的性质得 ， ，求出 ，利用30°角的直角三角形的性质求出CH的长度，再利用勾股定理求出DH的长度，根据 求出 ，然后由含 角的直角三角形的性质即可求解．
解： 四边形ABCD是矩形，
， ，
，
， ，
∴
在 中，
，
，
，
，
故答案为： ．

14. 或

【解析】
结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得 ，设 ，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出 ， ， ， ，从而利用分类讨论思想解题．
解： ，C为AB的中点，
，
， ，
又由折叠性质可得 ，
，
设 ，则 ， ， ， ，
①当 时， ，
，
解得 ，
；
②当 时， ，
，方程无解，
此情况不存在；
③当 时， ，
，
解得： ，
；
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．

15.18

【解析】
过点B作 轴于点F，通过设参数表示出△ABC的面积，从而求出参数的值，再利用△ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得 k的值．
解：如图，过点B作 轴于点F．

轴，
，
，
，
，
设 ， ，则 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 反比例函数图象在第一象限，
，
故答案为18．

16.①③④

【解析】
①正确．利用面积法证明 即可．
②错误．假设成立，推出 ，显然不符合条件．
③正确．如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．想办法证明 ，再利用相似三角形的性质，解决问题即可．
④正确．如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则 ， ， ， ，证明 ，利用勾股定理，即可解决问题．
解：如图1中，过点G作 于T．
，
，
， ，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，故①正确，
假设 成立，
，
，
，显然这个条件不成立，故②错误，


如图2中，过点M作 于P， 于Q，连接AF．
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，故③正确，


如图3中，将 绕点C顺时针旋转 得到 ，连接FW．则 ， ， ， ，
∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°，
∴△FGM≌△CFN，
∴FM=CN，
， ， ，
，
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①③④．

17. ，

【解析】
根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为 ，再代入求值．
解：


．
当 时，原式 ．

18.见解析

【解析】
先证四边形AEDF是平行四边形，再证 ，则 ，即可得出结论．
证明： 四边形ABCD是平行四边形，
， ， ，
，
四边形AEDF是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形AEDF是菱形．

19.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1） 每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为 ．

20.（1）120；（2）图形见解析；（3）360件

【解析】
（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；
（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；
（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．
解：（1）根据题意得： （件），
所抽取的学生作品的样本容量是120；
（2）绘画作品为 （件），
补全统计图，如图所示：

（3）根据题意得： （件），
则绘画作品约有360件．
答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．

21.（1） ， ；（2）

【解析】
（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用 的面积减去 的面积求解．
解：（1）将 代入 中，
，
反比例函数的解析式为 ；
过点D作 轴，过点C作 轴，

，
，
，
，
将 代入 中，
，
解得： ，
C点坐标为 ，
将 ， 代入 中，
可得 ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ；
（2）设直线OC的解析式为 ，
将 代入，得： ，
解得： ，
直线OC的解析式为 ，
由 ，设直线DE的解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ，
直线DE的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
E点坐标为 ，
，
在 中，当 时， ，
解得： ，
A点坐标为 ，
，
，




．

22.

【解析】
作 于E， 于F，易得四边形BCFE是矩形，则 ， ，设 ，则 ，在 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到 ，在 中， ，根据题意得到 ，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
解：如图，作 于E， 于F，

，
四边形BCFE是矩形，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为 ．

23.（1）见解析；（2）5

【解析】
（1）根据题意判定 ，然后结合相似三角形的性质求得 ，从而可得 ，然后结合等腰三角形的性质求得 ，从而判定CF是 的切线；
（2）由切线长定理可得 ，从而可得 ，得到 ，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．
（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
，
AB是 的直径，
，
又 ，
，
，
，
即CF是 的切线；
（2） CF是 的切线， ，
，
，
，
又 ，
在 中， ，
设 的半径为x，则 ， ，
在 中， ，
解得： ，
的半径为5．

24.（1） ；（2）当销售单价为56元时，每天所获得的利润最大，最大利润为1152元

【解析】
（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
解：（1）由题意可得： ，
整理，得： ，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：
，
整理，得： ，
，
当 时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．

25.（1）① ；② ，理由见解析；（2） 或

【解析】
（1）①结论： ．如图1中，作 交AM于T．想办法证明 ， ，可得结论．
②结论： ．过点C作 于Q．想办法证明 ， ，可得结论．
（2）分两种情形：如图3－1中，当 时，过点B作 于J，过点F作 于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明 ，可得结论．如图3－2中，当 时， ，解直角三角形求出AK，可得结论．
解：（1）①结论： ．
理由：如图1中，作 交AM于T．

， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
四边形AFCT是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为： ．
②如图2中，结论： ．
理由：过点C作 于Q．

，
，
，
，
，
四边形AFCQ是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图3－1中，当 时，过点B作 于J，过点F作 于K．

在 中， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形CDKF是平行四边形，
，
四边形CDKF是矩形，
，
，
，
，
．
如图3－2中，当 时，同理可得：
，

，
，
在 中， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的AF的值为 或 ．

26.（1） ；（2） ；（3） ．

【解析】
（1）运用待定系数法将 ， 代入 ，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标 ，由 得 ，再根据 与 的面积相等，可得 ，故点F分别是AP、ED的中点，设 ， ，结合中点坐标公式建立方程求解即可；
（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角 ，以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ，过点 作 轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作 交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．
解：（1） 抛物线 交x轴于点 ， ，
将A、B坐标分别代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）如图，

D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ，
，
交直线l： 于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为 ，
，设 ， ，
又 的面积为 ， 的面积为 ， ，
，
， ，即点F分别是AP、ED的中点，
又 ， ， ， ，
由中点坐标公式得： ，
解得： （与“ ”不符，应舍去）， ，
，
， ；
（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，

以OB为斜边在第一象限内作等腰直角 ，
则 ， ，
以 为圆心， 为半径作 ，交抛物线对称轴于点 ，
过点 作 轴于点H，则 ， ， ，
，
，
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，

连接BC，以O为圆心，OB为半径作 交抛物线对称轴于点M，
，
经过点C，
连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则 ， ，
，
，
，
综上所述， ．