【327971】2024年四川省宜宾市中考数学试题

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200817-2024年四川省宜宾市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．2的绝对值是（      ）

A． B． C． D．2

2．下列计算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（      ）

A．方差为0　　　　B．众数为75　　　　C．中位数为77.5　　　　D．平均数为75

4．如图， 是 的直径，若 ，则 的度数等于（      ）

（第2题图）

A. B. C. D.

5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是，快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（      ）

A．5天　　　　B．10天　　　　C．15天　　　　D．20天

6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且 ， 则称6为完美数．下列数中为完美数的是（      ）

A．8　　　　B．18　　　　C．28　　　　D．32

7．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点 最远的点是（      ）

A．B点

B．C点

C．D点

D．E点

8．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（      ）

A．8箱　　　　B．9箱　　　　C．10箱　　　　D．11箱

9．如图 ， 内接于 ， 为 的直径 ， 平分 交 于 ．则 的值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．如图，等腰三角形 中 ，， 反比例函数 的图象经过点 、 及 的中点 ， 轴 ， 与 轴交于点 ．则 的值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

11．如图，在 中 ，， 以 为边作 ， ， 点 与点 在 的两侧，则 的最大值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C．5　　　　D．8

12．如图，抛物线 的图象交 轴于点 、 ， 交 轴于点 ．以下结论：① ；② ；③当以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时 ， ；④当 时，在 内有一动点 ，若 ， 则 的最小值为 ．其中正确结论有（      ）

  

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

13．分解因式：                          ．

14．分式方程 的解为           ．

15．如图，正五边形 的边长为4，则这个正五边形的对角线 的长是           ．

  

16．如图，在平行四边形 中 ，，， 、 分别是边 、 上的动点，且 ．当 的值最小时，则              ．

  

17．如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是           （从“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填）．

18．如图，正方形 的边长为 ，， 分别是边 ， 上的动点．若 ， 则 的最小值为           ．

三、解答题

19．（1）计算： ；

（2）计算： ．

20．某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．

请结合图中信息解答下列问题：

(1)本次共调查了           名学生，并将条形统计图补充完整；

(2)话剧组所对应扇形的圆心角为           度；

(3)书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．

21．如图，点 ， 分别是等边三角形 边 ， 上的点，且 ， 与 交于点 ．求证： ．

22．宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点 、 ，在地标广场上选择两个观测点 、B（点 、 、 、 在同一水平面，且 ）．如图2所示，在点 处测得点 在北偏西 方向上，测得点 在北偏东 方向上；在 处测得点 在北偏西 方向上，测得点 在北偏东 方向上，测得 米．求长江口的宽度 的值（结果精确到1米）．（参考数据： ， ， ， ， ， ）

23．如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ， ．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)利用图像，直接写出不等式 的解集；

(3)已知点 在 轴上，点 在反比例函数图像上．若以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标．

24．如图 ， 内接于 ， ， 过点 作 ， 交 的直径 的延长线于点 ，连接 ．

(1)求证： 是 的切线；

(2)若 ， 求 和 的长．

25．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ， 其顶点为 ．

(1)求抛物线的表达式及顶点 的坐标；

(2)在 轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点 在以点 为圆心，1为半径的 上，连接 ， 以 为边在 的下方作等边三角形 ， 连接 ．求 的取值范围．

参考答案

一、单选题

1. D

解：2的绝对值是是2，

故此题答案为D．

2. C

解：A、 ， 故本选项不符合题意；

B、 ， 故本选项不符合题意；

C、 ， 故本选项符合题意；

D、 ， 故本选项不符合题意.

故此题答案为C．

3. B

解：这组数据的平均数为 ， 故选项D错误，不符合题意；

方差为

， 故选项A错误，不符合题意；

这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数是75，故选项B正确，符合题意；

这组数据按大小顺序排列为65，65，67，75， 75，75，78，80，80，88．

最中间的两个数是75，75，故中位数为 ， 故项C错误，不符合题意.

故此题答案为B．

4. A

是 的直径， ， ， .故选A.

5. D

解：设快马 天可以追上慢马，

根据题意 ，，

解得 ．

答：快马20天可以追上慢马．

故此题答案为D．

6. C

解∶∵ ， ，

∴8不是完美数，故选项A不符合题意；

∵ ， ，

∴18不是完美数，故选项B不符合题意；

∵ ， ，

∴28是完美数，故选项C符合题意；

∵ ， ，

∴32不是完美数，故选项D不符合题意，

故此题答案为C．

7. B

解：把图形围成立方体如图所示：

所以与顶点 距离最远的顶点是 ，

故此题答案为B．

8. C

解：设用 个大箱 ， 个小箱，

∴ ，

∴ ，

∴方程的正整数解为 或 ，

∴所装的箱数最多为 箱.

故此题答案为C．

9. A

解：如图，连接 ， ，

∵ 是 的直径，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

在四边形 中 ，，

∴ ，

∴ 绕 点逆时针旋转 ， 则 三点共线，如图所示,

∴ ，

∵由旋转可知 ，

∴ ，

∴在等腰直角三角形 中 ，，

∴ ．

故此题答案为A.

10. B

解：过 作 的垂线垂足为 ， 与 轴交于 点，如图，

在等腰三角形 中 ，， 是 中点，

设 ， ，

由 中点为 ， ， 故等腰三角形 中，

∴ ，

∴ ，

∵ 的中点为 ，

∴ ， 即 ，

由 在反比例函数上得 ，

∴ ，

解得 ，

由题可知 ，

∴ ．

故此题答案为B．

11. D

解：如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ （ 三点共线时取等号），

∴ 的最大值为 ，

故选D.

12. C

解：∵抛物线 的图象经过点 ，

∴当 时 ，， 故①正确；

∵抛物线 的图象交 轴于点 、 ，

∴抛物线对称轴为直线 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， 即 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， 故②正确；

∵对称轴为直线 ，

∴ ；

∵ 、 ，

∴ ，，

∴ ；

在 中，当 时 ，，

∴ ，，

∴ ，

当 时，则由勾股定理得 ，

∴ ，

∴ 或 （舍去）；

同理当 时，可得 ；

综上所述，当以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形时 ， 或 ， 故③错误；

当 时 ，，， 则 ，

如图所示，取点 ，， 连接 ， 则 ，

  

∴ ，

∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当点 在线段 上时 ， 的值最小，即此时 的值最小，最小值为线段 的长，

在 中，由勾股定理得 ， 故④正确，

∴正确的有3个，

故此题答案为C．

二、填空题

13.

解： ．

14.

解： ，

∴ ，

∴ ，

解得 ，

经检验, 是原方程的根，

∴方程的根为 ．

15.

解：如图，连接 交 于点 ，

  

∵五边形 是正五边形，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

即 ，

解得 或 （舍去），

∴ ．

16.

解：延长 ， 截取 ， 连接 ， ， 如图所示：

  

∵四边形 为平行四边形，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ≌，

∴ ，

∴ ，

∴当 最小时 ， 最小，

∵两点之间线段最短，

∴当 、 、 三点共线时 ， 最小，即 最小，且最小值为 的长，

  

∵ ，

∴ ，

∴ ， 即 ，

解得 ．

17. 乙槽

设第一次操作乙得 分，第二次操作乙得 分，第三次操作乙得 分，根据题意，得 ， 当 时 ， 最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽．

18.

解：∵正方形 的边长为1，

∴ ， ，

将 顺时针旋转 得到 ， 则 ≌，

∴ ， ， ， ，

∴点 ，，， 共线，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ≌，

∴ ，

∴ ，

设 ， ， 则 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， 即 ，

整理得 ，

∴

，

当且仅当 ， 即 ， 也即 时 ， 取最小值 ．

三、解答题

19. （） ；（2）1．

解： （）

；

（）

．

20. (1)40；图见解析；(2)72；(3)

（1）解：本次调查总人数为 （名），

组人数为 （名），

补全图形如下.

（2）解： .

（3）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，

∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为 ．

21. 见解析

证明∶∵ 是等边三角形，

∴ ， ，

又 ，

∴ ≌，

∴ ．

22. 长江口的宽度 为 米.

解：如图，过 作 于 ， 过 作 于 ， 过 作 于 ， 而 ，

∴四边形 ， 都是矩形，

∴ ， ， ， ，

∵由题意可得 ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ≌，

∴ ，

设 ， ，

∴ ， 即 ，

， 即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

答：长江口的宽度 约为 米.

23. (1) ， ； (2) 或 ； (3) 或 或

（1）解∶∵ 经过 ，

∴ ， 解得 ，

∴ ，

把 代入 ， 得 ，

解得 ，

∴ ，

把 ， 代入 ，

得 ，

解得 ，

∴ .

（2）解：观察图像得当 或 时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，

∴不等式 的解集为 或 .

（3）解：设点 的坐标为 ， ，

①以 为对角线，

则 ，

解得 ，

∴ ，

∴ ；

②以 为对角线，

则 ，

解得 ，

∴ ，

∴ ；

③以 为对角线

则 ，

解得 ，

∴ ，

∴ .

综上，当 的坐标为 或 或 时，以 为顶点的四边形是平行四边形．

24. (1)见解析 (2) ， ．

（1）证明：延长 交 于点 ，连接 ，

∵ ，

∴ ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， 即 ，

∴ ， 即 是 的角平分线，

∵ ，

∴ ， 且 平分线段 ，

∵ ，

∴ ，

∵ 是半径，

∴ 是 的切线；

（2）解：连接 ，

∵ 是 的直径，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由（1）得 ， ，

设 ，

∴ ，

∴ ，

解得 ， 即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ， 则 ，

∵ 是 的切线，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ， 即 ，

解得 ，

∴ ．

25. (1)抛物线的表达式为 ， 顶点 的坐标为 ； (2)点 的坐标为 ； (3) 的取值范围为 ．

（1）解：由于抛物线 经过点 和点 ，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的表达式为 ，

∴顶点 的坐标为 ；

（2）解：∵点 ， 对称轴为直线 ，

∴点 ，

∵ ， ，

∴ 长为定值，

作点 关于原点的对称点 ， 则 ， 连接 交 轴于点 ，

则 ，

∴ ， 此时 的周长最小，

设直线 的解析式为 ，

则 ，

解得 ， ，

∴直线 的解析式为 ，

令 ， 则 ，

∴点 的坐标为 ；

（3）解：以 为边在 的下方作等边三角形 ， 作 轴于点 ， 连接 ， ，

∵等边三角形 ，

∴ ， ， ，

∴ ≌，

∴ ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴点 在以 为圆心，1为半径的 上，

，

当点 在线段 上时 ， 有最小值为 ；

当点 在射线 上时 ， 有最大值为 ；

∴ 的取值范围为 ．