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2022广东省广州市中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（       ）

A．圆锥
B．圆柱
C．棱锥
D．棱柱

2.下列图形中，是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.代数式 有意义时， 应满足的条件为（     ）
A．
B．
C．
D． ≤-1

4.点 在正比例函数 （ ）的图象上，则 的值为（     ）
A．-15
B．15
C．
D．

5.下列运算正确的是（     ）
A．
B． （ ）
C．
D．

6.如图，抛物线 的对称轴为 ，下列结论正确的是（     ）

A．
B．
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而减小

7.实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 （     ）

A．
B．
C．
D．

8.为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（     ）
A．
B．
C．
D．

9.如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（     ）

A．
B．
C．
D．

10.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 个图形需要2022根小木棒，则 的值为（   ）

A．252
B．253
C．336
D．337

评卷人 得分

二、填空题

11.在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为 ， ，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”、“乙”中的一个）

12.分解因式： ________

13.如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________

14.分式方程 的解是________

15.如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧 的长是________（结果保留 ）

16.如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________

评卷人 得分

三、解答题

17.解不等式：

18.如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE

19.某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表

运动时间t/min	频数	频率
	4	0.1
	7	0.175
	a	0.35
	9	0.225
	6	b
合计	n	1

请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的 =________， =________， =________；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数．

20.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m³）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m²） 与其深度 （单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度 需要满足16≤ ≤25，求储存室的底面积S的取值范围．

21.已知T=
(1)化简T；
(2)若关于 的方程 有两个相等的实数根，求T的值．

22.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．

(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．

23.某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．

(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角 为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．

24.己知直线 ： 经过点（0，7）和点（1，6）．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点P（ ， ）在直线 上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求 的取值范围；
②设抛物线G与直线 的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在 ≤ ≤ 的图象的最高点的坐标．

25.如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ CF的最小值；如果不是，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．

2.C

【解析】
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．

3.B

【解析】
根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
解：由题意可知： ，
∴ ，
故选：B．

4.D

【解析】
直接把已知点代入，即可求出k的值．
解：∵点 在正比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故选：D．

5.D

【解析】
根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （ ），故该选项不正确，不符合题意；
C. ，该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D

6.C

【解析】
由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C

7.C

【解析】
根据数轴上点的位置，可得 ，进而逐项分析判断即可求解．
解：根据数轴上点的位置，可得 ，
，
故选C．

8.A

【解析】
根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：画树状图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．

9.D

【解析】
如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得 为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
解：如图，连接EF，

∵正方形ABCD的面积为3，

∵
∴
∴
∴

∵ 平分

∴
∴
∴ 为等腰直角三角形，

∵ 分别为 的中点，

故选D

10.B

【解析】
根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒，
观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0，
第二个图形需要小木棒：14=6×2+2；
第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…，
∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2．
∴8n-2=2022，得：n=253，
故选：B．

11.乙

【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
解：∵ ， ， ，且平均成绩相同
∴射击成绩较稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．

12.

【解析】
直接提取公因式3a即可得到结果．
解： ．
故答案为：

13.21

【解析】
根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC= AC，BO=OD= BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案为：21．

14.

【解析】
先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．

15.

【解析】
如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可．
解：如图，连接OD，OE，
∵
∴






∵ 与边AB相切于点D，
∴
∴


的长
故答案为： ．

16.     120°##120度     75°##75度

【解析】
由旋转性质及旋转角知△BPP′为等边三角形，得到∠PP′B=60°；当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABP≌△EBP′(SAS)，再证明△ABP为等腰直角三角形，进而得到∠EP′B=∠APB=45°，
最后当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°．
解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，
∴∠PP′B=60°，
当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；
将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：

则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，
∴∠ABP=∠EBP′，
且BA=BE，BP=BP′，
∴△ABP≌△EBP′(SAS),
∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，
由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，
∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，
∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，
设EG=x，BC=2y，
则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′= CG=y-x，
∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y= BC，
又已知AB= BC，
∴EP′=AB，
又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，
∴AB=AP，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，
当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，
此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，
故答案为：120°，75°．

17.

【解析】
先移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可．
解： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
不等式两边同除以3得： ．

18.证明见解析

【解析】
由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．
证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）

19.(1)14，0.15，40；
(2)补图见解析；
(3)约有180人

【解析】
从频数分布表中得知，频数4占比例为0.1，由此可推出样本容量是40，在求出 后， 和 可随之求出，继而（2）可解决；接下来，从样本去估计总体，就是（3）的结果．
(1)
n= =40
a=40-（4+7+6+9）=14，
b=
故 = 14 ， = 0.15 ， = 40
(2)
补全频数分布直方图如下：

(3)
被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有9+6=15人，占频率0.225+0.15=0.375，
以此估计全年级480人中，大概有480×0.375人，即约有180人．

20.(1)
(2)当16≤ ≤25时，400≤S≤625

【解析】
（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为 ，再利用反比例函数的性质可得答案．
(1)
解：由图知：当深度 =20米时，底面积S=500米²，
∴ =500米²×20米=10000米³；
(2)
由（1）得：
，
则 （ ），S随着 的增大而减小，
当 时，S=625； 当 时，S=400；
∴当16≤ ≤25时，400≤S≤625．

21.(1) ；
(2)T=

【解析】
(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到 ，整体代入即可求解．
(1)
解：T=
= ；
(2)
解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则T= ．

22.(1)作图见解析；
(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是

【解析】
(1)作线段AC的垂直平分线，由垂径定理推论可知该垂直平分线必经过点O；
(2)由垂径定理得到AF=CF，进而得到OF是△ACB的中位线，由此得到点O到AC的距离OF= BC=3；求出DF=OD-OF=5-3=2，CF=4，由勾股定理求出CD= ，最后在Rt△CDF中由 即得答案．
(1)
解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；
②作直线OE，记OE与 交点为D；
③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；

(2)
解：记OD与AC的交点为F， 如下图所示：

∵OD⊥AC，
∴F为AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF= BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的长就是点O到AC的距离；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA= AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F为AC中点，
∴CF= AC=4，   
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD= ，
则 ，
∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD 的值是 ．

23.(1) ；
(2)① ；②旗杆AB高度约 ．

【解析】
（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当 时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中， ，求出 ，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
(1)
解： ．
(2)
解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，

∴ ，
∴ ，
②当 时，作点D到AB的垂线段DF，

则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中， ，
∴ ．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．

24.(1)直线 解析式为： ；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）

【解析】
（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线 上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线 的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在 轴上得出答案；
②先根据点Q，点 的对称，得QQ'=1，可表示点Q和 的坐标，再将点 的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可．
(1)
解：∵直线 经过点（0，7）和点（1，6），
∴ ，
解得 ，
∴直线 解析式为： ；
(2)
解：①设G： （ ），
∵点P（ ， ）在直线 上，
∴ ；
∴G： （ ）
∵（0，-3）不在直线 上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线 的上方，
则 ， ，
另一方面，点P不能在 轴上，
∴ ，
∴所求 取值范围为： ，且 ；
②如图，QQ'关于直线 对称，且QQ'=1，

∴点Q横坐标为 ，
而点Q在 上，∴Q（ ， ），Q'（ ， ）；
∵Q'（ ， ）在G： 上，
∴ ， ，
∴ G： ，或 ．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴ ，
即 ，
， ；
当 时，抛物线G为 ，对称轴为直线 ，
对应区间为-2≤ ≤-1，整个区间在对称轴 的右侧，
此时，函数值 随着 的增大而减小，如图，

∴当 取区间左端点 时， 达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当 时，对应区间为 ≤ ≤ ，最高点为顶点P（2，5），如图，

∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．

25.(1) ；
(2)①四边形ABEF的面积为 ；②最小值为12

【解析】
（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= ，设BE= ，则EN= ，从而得到EM=MN-EN= ，再由BE= DF，可得DF= ，从而得到四边形ABEF的面积s= S_△ABD - S_△DEF ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE= BO= ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由 ，可得当 ，即BE= 时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
(1)
解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= = ，
∴BD=2BO= ；
(2)
解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= BE
∵ ，
∴MN= ，
设BE= ，则EN= ，
∴EM=MN-EN= ，
∵S_菱形ABCD= AD▪MN= ，
∴S_△ABD= S_菱形ABCD= ，
∵BE= DF，
∴DF= ，
∴S_△DEF= DF ▪EM= = ，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S_△ABD - S_△DEF = -（ ） ，
∵点E在BD上，且不在端点，∴0＜BE＜BD，即 ；
①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE= BO= ，
此时 = ，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为 ；
②作CH⊥AD于H，如图，

∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH= ，
∵ ，
∴当 ，即BE= 时， s达到最小值，
∵BE= DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+ CF的值达到最小，
其最小值为CO+ CH= =12．