绝密·启用前

2021年四川省内江市中考数学真题试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.-2021的绝对值是（　　）
A．
B．
C．2021
D．

2.从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长 以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．152，134
B．146，146
C．146，140
D．152，140

5.如图， ， ， ，则 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为 的竹竿的影长为 ，某一高楼的影长为 ，那么这幢高楼的高度是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A．
B． 且
C．
D． 且

9.如图， 是 的外接圆， ，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ）

A．4
B．
C．3
D．

10.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11.如图，在边长为 的等边 中，分别取 三边的中点 ， ， ，得△ ；再分别取△ 三边的中点 ， ， ，得△ ；这样依次下去 ，经过第2021次操作后得△ ，则△ 的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.如图，菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，若 ，则 的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.分解因式： __．

14.有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 __．

15.若关于x的一元二次方程ax²+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ___．

16.如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交 于点 ，则线段 的长为 __．

17.若实数 满足 ，则 __．

18.已知，在 中， ， ， ，则 的面积为 __．

19.已知非负实数 ， ， 满足 ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为 __．

20.如图，矩形 ， ， ，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上．当点 在 轴上运动时，点 也随之在 轴上运动，在这个运动过程中，点 到原点 的最大距离为 __．

评卷人 得分

三、解答题

21.计算： ．

22.如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ．
求证：（1） ；
（2）四边形 是平行四边形．

23.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

24.在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度．如图所示，测得斜坡 的坡度 ，坡底 的长为8米，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，在 处测得树 顶部 的仰角为 ，求树高 ．（结果保留根号）

25.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图像相交于 、 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；
（3）若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标．

26.为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

衬衫价格	甲	乙
进价（元 件）
售价（元 件）	260	180

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠 元 出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

27.如图， 是 的直径， 、 是 上两点，且 ，过点 的直线 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连结 、 交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， 的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结 ，在（2）的条件下，求 的长．

28.如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点 的坐标及该面积的最大值；
（3）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标．

参考答案

1.C

【解析】
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
-2021的绝对值是2021
故选：C

2.C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：4000亿 ，
故选： ．

3.D

【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解： ．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；
．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；
．长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；
．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选： ．

4.C

【解析】
根据众数和中位数的定义求解即可．
解： 出现了2次，出现的次数最多，
这组数据的众数是146个；
把这些数从小到大排列为：121，122，134，146，146，152，
则中位数是 （个 ．
故选： ．

5.C

【解析】
根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果．
解：如图，

， ， ，
，
，
．
故选： ．

6.B

【解析】
根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
解： 、 与 不是同类项，故 不符合题意．
、原式 ，故 符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
、原式 ，故 不符合题意．
故选： ．

7.D

【解析】
设此高楼的高度为x米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于x的比例式，求出x的值即可．
解：设这幢高楼的高度为 米，依题意得： ，
解得： ．
故这栋高楼的高度为36米．
故选： ．

8.B

【解析】
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
解：由题意得： ， ，
解得： 且 ，
故选： ．

9.B

【解析】
过点 作 ，交 于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
解：过点 作 ，交 于点 ，

是 的外接圆， ，
，
又 ， ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
故选： ．

10.A

【解析】
设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原售价×（1-降价的百分率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故选： ．

11.D

【解析】
先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可得．
解： 点 ， 分别为 ， 的中点，
，
点 ， 分别为 ， 的中点，
，
，

，

△ 的面积 ，
故选D．

12.D

【解析】
连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO= ∠BCD=30°，解直角三角形求得 ，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到 ，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果．
解：连接 、 ，

四边形 是菱形，
，
菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，
与 、 与 关于原点对称，
、 经过点 ，
，
，
，
作 轴于 ， 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．

13. ##

【解析】
先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．
解：原式
，
故答案为： ．

14.

【解析】
卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，再根据概率公式 =满足条件的样本个数 总体的样本个数，可求出最终结果．
解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，
根据概率公式， （轴对称图形） ．
故答案为： ．

15. 且 ##a≠0且a≥-2

【解析】
根据题意可知 ，代入求解即可．
解：一元二次方程ax²+4x﹣2＝0，
，
∵关于x的一元二次方程ax²+4x﹣2＝0有实数根，
∴ 且 ，即 ，
解得： 且
故答案为： 且 ．

16. ##7.5

【解析】
根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．
解：如图：

四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为： ．

17.2020

【解析】
由等式性质可得 ， ，再整体代入计算可求解．
解： ，
， ，





．
故答案为：2020．

18.2或14#14或2

【解析】
过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4 ，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD= =5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
解：过点 作 边的高 ，

中， ， ，
，
在 中， ，
，
① 是钝角三角形时，
，
；
② 是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．

19. ##0.66

【解析】
设 ，则 ， ， ，可得 ；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．
解：设 ，则 ， ， ，
．
， ， 为非负实数，
，
解得： ．
当 时， 取最大值，当 时， 取最小值．
，
．
．
故答案为：

20. ##

【解析】
取 的中点 ，连接 ， ，由勾股定理可求 的长，由直角三角形的性质可求 的长，由三角形的三边可求解．
如图，取 的中点 ，连接 ， ，

矩形 ， ， ，
， ，
点 是 的中点，
，
，
，点 是 的中点，
，
在 中， ，
当点 在 上时， ，
的最大值为 ，
故答案为： ．

21.-3

【解析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
解：原式

．

22.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
（1）已知 ，可得到 ，由 得到 ，可证明出 ；
（2）由（1）得 ，得到 ， ， ，推出 ，即可证明．
证明：（1） ，
，
即 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）由（1）得： ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．

23.（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）

【解析】
（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）这次被调查的学生人数为 （名 ；
（2）喜爱“体育”的人数为 （名 ，
补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有 （名 ；
（4）列表如下：

	甲	乙	丙	丁
甲		（乙，甲）	（丙，甲）	（丁，甲）
乙	（甲，乙）		（丙，乙）	（丁，乙）
丙	（甲，丙）	（乙，丙）		（丁，丙）
丁	（甲，丁）	（乙，丁）	（丙，丁）

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ．

24. 米．

【解析】
作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．
解：作 于点 ，设 米，

在 中， ，
则 （米 ，
∵ ，且AE=8
∴
∴
在直角 中， 米，
在直角 中， ，
米．
，即 ．
解得： ，
则 米．
答： 的高度是 米．

25.（1）一次函数的解析式为 ；反比例函数为 ；（2） 或 ；（3） ， ．

【解析】
(1) 将A点坐标代入反比例函数求得 ，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得 从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.
解：（1） 反比例函数 经过 ，
，
反比例函数为 ，
在比例函数 的图象上，
，
，
直线 经过 ， ，
，解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）观察图象， 的 的取值范围是 或 ；
（3）设 ，
，
，
即 ，
，
解得 ， （舍去），
点坐标为( ， )．

26.（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当 时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当 时，所有方案获利都一样；当 时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

【解析】
（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为 ，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
解：（1）依题意得： ，
整理，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫 件，乙种衬衫 件，
根据题意得： ，
解得： ，
为整数， ，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为 ，则
，
①当 时， ， 随 的增大而增大，
当 时， 最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当 时， ， ，
（2）中所有方案获利都一样；
③当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， 最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当 时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当 时，（2）中所有方案获利都一样；当 时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

27.（1）见解析；（2） ；（3）

【解析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2 ，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2 ，再根据S_阴影=S_△DOF-S_扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM= ，EM= ，则MB= ，再根据勾股定理求解即可．
解：（1）证明：如图，连接 ，

，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ，
，
，
， 的半径为2，
，
，
如图，连接 ，

是 的直径， ，
，
，
，
，
即 ，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于点 ，连接 ，

在 中， ， ，
，
．

28.（1）抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ；（2） 的面积的最大值为 ， ．（3） 的坐标为 或 ．

【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，- m²+m+3），则E（m， m+1）．因为S_△PAD= •（x_D-x_A）•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
解：（1） 抛物线 与 轴交于 、 两点，
设抛物线的解析式为 ，
解得， ，或 ，
在抛物线上，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
直线 经过 、 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得， ，
直线 的解析式为 ；
（2）如图1中，过点 作 轴交 于点 ．设 ，则 ．

，
的值最大值时， 的面积最大，
，
，
时， 的值最大，最大值为 ，此时 的面积的最大值为 ， ．
（3）如图2中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，则 ，

设 交 轴于点 ，则 ，
，
直线 的解析式为 ，
，
作点 关于 的对称点 ，
则直线 的解析式为 ，
设 交 轴于点 ，则 ，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．