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浙江省衢州市2022年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列图形是中心对称图形的是（       ）
A．
B．
C．
D．

2.计算结果等于2的是（       ）
A．
B．
C．
D．

3.在平面直角坐标系中，点 位于 　　
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4.如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（       ）

A．S号
B．M号
C．L号
D．XL号

5.线段 首尾顺次相接组成三角形，若 ，则 的长度可以是（       ）
A．3
B．4
C．5
D．6

6.某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为 克，1节7号电池的质量为 克，列方程组，由消元法可得 的值为（       ）

	5号电池（节）	7号电池（节）	总质量（克）
第一天	2	2	72
第二天	3	2	96

A．12
B．16
C．24
D．26

7.不等式组 的解集是（       ）
A．
B．无解
C．
D．

8.西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端 （人眼）望点 ，使视线通过点 ，记人站立的位置为点 ，量出 长，即可算得物高 ．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则 关于 的函数表达式为（       ）

A．
B．
C．
D．

9.如图，在 中， ．分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，作直线 分别交 ， 于点 ．以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连结 ．则下列说法错误的是（       ）

A．
B．
C．
D．

10.已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（       ）
A． 或4
B． 或
C． 或4
D． 或4

评卷人 得分

二、填空题

11.计算： ___________．

12.不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 _____．

13.如图， 切⊙ 于点 ， 的延长线交⊙ 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为_____．

14.将一个容积为360cm³的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．

15.如图，在 中，边 在 轴上，边 交 轴于点 ．反比例函数 的图象恰好经过点 ，与边 交于点 ．若 ， ， ，则 =____．

16.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图， 是两侧山脚的入口，从 出发任作线段 ，过 作 ，然后依次作垂线段 ，直到接近 点，作 于点 ．每条线段可测量，长度如图所示．分别在 ， 上任选点 ，作 ， ，使得 ，此时点 共线．挖隧道时始终能看见 处的标志即可．
（1） _______km．
（2） =_______．

评卷人 得分

三、解答题

17.（1）因式分解： ．
（2）化简： ．

18.已知：如图， ．求证： ．

19.如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．

(1)在图1中画一条线段垂直 ．
(2)在图2中画一条线段平分 ．

20.如图， 是以 为直径的半圆上的两点， ，连结 ．

(1)求证： ．
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．

21.(新知学习)在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日~5月14日的两种平均气温统计表 （单位：℃）

2021年5月	5日	6日	7日	8日	9日	10日	11日	12日	13日	14日
（日平均气温）	20	21	22	21	24	26	25	24	25	27
（五天滑动平均气温）	…	…	21.6	22.8	23.6	24	24.8	25.4	…	…

注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：
(℃)．
已知2021年的 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而 对应着 ~ ，其中第一个大于或等于22℃的是 ，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．
(新知应用)已知我市2022年的“入夏日”为下图中的某一天，请根据信息解决问题：
衢州市2022年5月24日~6月2日的两种平均气温折线统计图

(1)求2022年的 .
(2)写出从哪天开始，图中的 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
(3)某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）

22.金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

23.如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线 为 轴，铅垂线 为 轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 从 点滑出，运动轨迹近似抛物线 ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡 上设置点 （与 相距32m）作为标准点，着陆点在 点或超过 点视为成绩达标．

(1)求线段 的函数表达式（写出 的取值范围）．
(2)当 时，着陆点为 ，求 的横坐标并判断成绩是否达标．
(3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度 的大小有关，进一步探究，测算得7组 与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想 关于 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据： ， ）

24.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点G．

(1)求证： .
(2)若 ．
①求菱形 的面积.
②求 的值.
(3)若 ，当 的大小发生变化时（ ），在 上找一点 ，使 为定值，说明理由并求出 的值．

参考答案

1.B

【解析】
根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：A、不是中心对称图形，此项不符合题意；
B、是中心对称图形，此项符合题意；
C、不是中心对称图形，此项不符合题意；
D、不是中心对称图形，此项不符合题意；
故选：B．

2.A

【解析】
根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得．
解：A、 ，则此项符合题意；
B、 ，则此项不符合题意；
C、 ，则此项不符合题意；
D、 ，则此项不符合题意；
故选：A．

3.C

【解析】
根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
解：在平面直角坐标系中，点 位于第三象限，
故选：C．

4.B

【解析】
根据题意可得在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，即可求解．
解：∵ ，
∴在销量中，该品牌运动服中的众数是M号，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B

5.A

【解析】
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围．
解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴c的长度可能为3．
故选：A

6.C

【解析】
根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案．
解：设1节5号电池的质量为 克，1节7号电池的质量为 克，
根据表格得 ,
由 - 得 ，
故选：C．

7.D

【解析】
分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
解：解不等式 ，解得 ，
解不等式 ，解得 ，
不等数组的解集为 ．
故选：D．

8.B

【解析】
先根据矩形的判定与性质可得 ，从而可得 ，再根据相似三角形的判定证出 ，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
解：由题意可知，四边形 是矩形，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
整理得： ，
故选：B．

9.C

【解析】
根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，然后根据三角形的外角性质可得 ，由此即可判断选项B；先假设 可得 ，再根据角的和差可得 ，从而可得 ，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得 ，再根据相似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形的性质可得 ，最后根据等量代换即可判断选项D．
解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
，则选项A正确；
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，则选项B正确；
假设 ，
，
又 ，
，
，与 矛盾，
则假设不成立，选项C错误；
， ，
，
在 和 中， ，
，
，即 ，
，则选项D正确；
故选：C．

10.D

【解析】
分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；
（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．

11.2

【解析】
根据二次根式的性质化简即可.
2，
故答案为：2

12.

【解析】
根据概率的公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
解：∵袋子中共有6个球，红球2个，
∴“摸出红球”的概率 ．
故答案为：

13.25°

【解析】
连接OB根据切线的性质，得∠ABO=90°，可求出∠AOB=50°，再根据OB=OC，即可求出∠C的度数．
解：连接OB，

∵AB是⊙ 的切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=90-∠A=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO= ∠AOB=25°．
故答案为：25°

14.

【解析】
根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
由包装盒容积为360cm³可得， ，
故答案为： ．

15.

【解析】
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ，则 ，先根据相似三角形的判定可得 ，根据相似三角形的性质可得 ，又根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性质可得 ， ，再根据反比例函数的解析式可得 ，从而可得 ，然后根据 即可得出答案．
解：如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，

设点 的坐标为 ，则 ，
， ，
， ，
轴， 轴，
，
，
，即 ，
，
又 轴， 轴，
，
，
，即 ，
解得 ， ，
将 代入反比例函数 得： ，
，
，
由 得： ，
，
，
，
解得 ，
即 ，
故答案为： ．

16.     1.8    

【解析】
（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案；
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， 共线,得到∠MBQ＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案．
解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，

∵点 共线,
∴∠MBQ＝∠ABT，
由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝ ，
∴tan∠MBQ ＝ ＝ ，
∴k＝ ．
故答案为：

17. ；

【解析】
（1）根据平方差公式进行分解即可;
（2）先对第一个分式 的分母进行因式分解，得到 ，再根据分式的运算法则进行计算即可．
解：（1） ；
（2）
= ，
= ，
= ．

18.见解析

【解析】
由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴ ．

19.(1)图见解析， （答案不唯一）
(2)图见解析， 平分 （答案不唯一）

【解析】
（1）根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得；
（2）根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得．
（1）
解：如图1，线段 即为所求，满足 ．

（2）
解：如图2，线段 即为所求，满足 平分 ．

20.(1)答案见解析
(2)

【解析】
（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形 的面积相等，继而得到结论．
（1）
证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，        
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，   
∴ ；
（2）
解：如图，连结OC，OD．

∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S_△DOC=S_△DBC，                                                
∴S_阴影=S_弓形COD+S_△DOC=S_弓形COD+S_△DBC=S_扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S_扇形COD= ．                                     
∴S_阴影= ．

21.(1)
(2)5月27日；5月25日
(3)不正确，理由见解析

【解析】
（1）根据所给计算公式计算即可；
（2）根据图中信息以及（1）即可判断；
（3）根据图表即可得到结论．
（1）
解： （ ）；
（2）
解：从5月27日开始， 连续五天都大于或等于22℃．             
我市2022年的“入夏日”为5月25日．
（3）
解：不正确.因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入
春时间比去年迟了26天，所以今年的春天应该比去年还短．

22.(1) 元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低

【解析】
（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 元建立方程，解方程可得 的值，由此即可得；
②设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得．
（1）
解：新能源车的每千米行驶费用为 元，
答：新能源车的每千米行驶费用为 元．
（2）
解：①由题意得： ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的解，
则 ， ，
答：燃油车的每千米行驶费用为 元，新能源车的每千米行驶费用为 元；
②设每年行驶里程为 千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得： ，
解得 ，
答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．

23.(1) （8≤x≤40）
(2) 的横坐标为22.5，成绩未达标
(3)①a与 成反比例函数关系， ，验证见解析；②当 m/s时，运动员的成绩恰能达标

【解析】
（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将 代入二次函数解析式，由 解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与 成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入 即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
（1）
解：由图2可知： ，
设CE： ，
将 代入 ，
得： ，解得 ，
∴线段CE的函数表达式为 （8≤x≤40）．
（2）
当 时， ，由题意得 ，
解得                                                           
∴ 的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）
①猜想a与 成反比例函数关系．
∴设
将（100，0.250）代入得 解得 ，
∴ ．
将（150，0.167）代入 验证： ，
∴ 能相当精确地反映a与 的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得 ，得
由 得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴当 m/s时，运动员的成绩恰能达标．

24.(1)见解析
(2)①24，②
(3) ＝ ，理由见解析

【解析】
（1）由菱形的性质可证得∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，由 平分 交 于点G，得到∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，进一步即可得到答案；
（2）①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC＝ ，求得AC＝8，由菱形的面积公式可得答案；②由BG AC，得到 ，DH＝HG，DG＝2DH，又由DG＝2GE，得到EG＝DH＝HG，则 ，再证明△CDH∽△AEH，CH＝ AC＝ ，OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，利用正切的定义得到答案；
（3）过点G作GT BC，交AE于点T，△BGE∽△AHE，得AB＝BE＝5，则EG＝GH，再证△DOH∽△DBG，得DH＝GH＝EG，由△EGT∽△EDA得 ，GT＝ ，为定值，即可得到ET的值．
（1）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB CD，
∴∠BDC＝∠CBD，∠BDC＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝ ∠ABC，
∵ 平分 交 于点G，
∴∠CBG＝∠EBG＝ ∠CBE，
∴∠CBD＋∠CBG＝ （∠ABC＋∠CBE）＝ ×180°＝90°，
∴∠DBG＝90°；
（2）
解：①如图1，连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，
∴OD＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，OC＝ ，
∴AC＝2OC＝8，
∴ ，
即菱形 的面积是24．
②如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠DBG＝90°
∴BG⊥BD，
∴BG AC，
∴ ，
∴DH＝HG，DG＝2DH，
∵DG＝2GE，
∴EG＝DH＝HG，
∴ ，
∵AB CD，
∴∠DCH＝EAH，∠CDH＝∠AEH，
∴△CDH∽△AEH，
∴ ，
∴CH＝ AC＝ ，
∴OH＝OC－CH＝4－ ＝ ，
∴tan∠BDE＝ ；
（3）
如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝ ．

理由如下：由题（1）可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，
∴△BGE∽△AHE，
∴ ，
∵AB＝BE＝5，
∴EG＝GH，
同理可得，△DOH∽△DBG，
∴ ，
∵BO＝DO，
∴DH＝GH＝EG，
∵GT BC，
∴GT AD，
∴△EGT∽△EDA，
∴ ，
∵AD＝AB＝5，
∴GT＝ ，为定值，
此时ET＝ AE＝ （AB＋BE）＝ ．