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青海省西宁市城区2021年中考真题数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（　　）
A．
B．-
C．
D．

2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）

A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．四棱柱

3.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形
B．等边三角形
C．平行四边形
D．菱形

5.下列命题是真命题的是
A．同位角相等
B． 是分式
C．数据6，3，10的中位数是3
D．第七次全国人口普查是全面调查

6.某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.如图， 的内切圆 与 分别相切于点D，E，F，连接 ， ， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C， 的面积S（cm²）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

9.9的算术平方根是 ．

10.解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为________．

11.十二边形的内角和是__________

12.计算 _______．

13.从 ，-1，1，2，-5中任取一个数作为a，则抛物线 的开口向上的概率是______．

14.如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 _______．

15.如图，在 中， ，D，E分别是 ， 的中点，连接 ， ，若 ， ，则点A到BC的距离是________．

16.在平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，若 轴，且 ，则点B的坐标是________．

17.如图， 是等边三角形， ，N是 的中点， 是 边上的中线，M是 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是________．

18.如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过点E作 的垂线交 于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，则 _________．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.解方程： ．

21.计算： ．

22.解方程： ．

23.如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点O， ．

（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求矩形 的周长．

24.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A， 轴于点B，延长AB至点C，连接 ．若 ， ．

（1）求 的长和反比例函数的解析式；
（2）将 绕点 旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．

25.某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛．设竞赛成绩为x分，若规定：当 时为优秀， 时为良好， 时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成绩如下：

98	88	90	72	100	78	95	92	100	99
84	92	75	100	85	90	93	93	70	92
78	89	91	83	93	98	88	85	90	100

（1）本次抽样调查的样本容量是________，样本数据中成绩为“优秀”的频率是_______；
（2）在本次调查中，A，B，C，D四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A，B在九年级，C在八年级，D在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛，请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能结果．

26.如图， 内接于 ， ， 是 的直径，交 于点E，过点D作 ，交 的延长线于点F，连接 ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，求 的长．

27.城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如下表：

型号	载客量（人/辆）	租金单价（元/辆）A
A	16	900
B	22	1200

若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．

28.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为 ，抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若直线 与抛物线的对称轴l交于点E，连接 ，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形 的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形 面积的最大值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.
与 只有符号不同，
所以 的相反数是 ，
故选C．

2.B

【解析】
解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，
故选：B．

3.B

【解析】
根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案．
解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ．
故选：B．

4.D

【解析】
一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，这条直线称为对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180゜后能够与原来图形重合，则称这个图形为中心对称图形，这个点称为对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的概念完成即可．
A、三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、平行四边形是中心对答图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，故符合题意；
故选：D．

5.D

【解析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、两直线平行，同位角相等，故A错误，为假命题；
B、 是整式，故B错误，为假命题；
C、数据6，3，10的中位数是6，故C错误，为假命题；
D、第七次全国人口普查是全面调查，故D正确，为真命题；
故选：D．

6.A

【解析】
由题意2019年用水总量为 亿立方米，2020年用水总量为 亿立方米，从而可得x满足的方程．
解：由题意可得：
2019年用水总量为 亿立方米，
2020年用水总量为 亿立方米，
所以 ．
故选：A．

7.C

【解析】
连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
解：连接OD，如图：

在 中， ， ， ，
由勾股定理，则
，
设半径为r，则 ，
∴ ，
∴四边形CEOF是正方形；
由切线长定理，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴阴影部分的面积为： ；
故选：C．

8.B

【解析】
由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知 的面积为6cm²，即可利用面积公式求解此题．
解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小．
∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，
∵点P的运动速度为1cm/s，
∴BC=1×4=4（cm），
∵当点P在直线AB上运动至点B时， 的面积最大，
∴由图象2得： 的面积6cm²，
∴ ，
∴ cm．
故选：B．

9.3．

【解析】
根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出.
∵ ，
∴9算术平方根为3．
故答案为3．

10.6.57×10⁸

【解析】
由题意结合科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10ⁿ，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此进行分析即可．
解：将657 000 000用科学记数法表示为6.57×10⁸．
故答案为：6.57×10⁸．　

11.1800°

【解析】
n边形的内角和是(n-2)•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
十二边形的内角和等于：(12-2)•180°=1800°；
故答案为：1800°．

12.

【解析】
由积的乘方、单项式乘以单项式进行化简，再合并同类项，即可得到答案．
解：原式= ；
故答案为： ．

13.

【解析】
根据概率计算公式，可得事件总的可能结果数5，事件发生的可能结果数2，问题即可解决．
从5个数中任取一个的可能结果数为5，使抛物线 的开口向上的a值有2个，分别为1和2，则所求的概率为 ；
故答案为： ．

14.

【解析】
设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴点E是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．

15.

【解析】
根据题意可求得AC、AB、BC的长度，设点A到BC的距离是h，由 的面积相等可列式 ，从而点A到BC的距离即可求解．
解：∵在 中， ，D，E分别是 ， 的中点， ，
∴ ，DE//AC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∴∠ADE=90°，
，
∴ ，
∴ ，
设点A到BC的距离是h，
则 ，
即 ，
解得： ，
∴点A到BC的距离是 ．
故答案为： ．

16. 或

【解析】
由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得 ，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
∵ 轴
∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9
∴
解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为 或
故答案为： 或

17.

【解析】
根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短）， 是 边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵ 是等边三角形， ，N是 的中点，
∴AC=AB=6,AN= AB=3, ,
∴ .
即BM+MN的最小值为 ．
故答案为： .

18.

【解析】
由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG， ，利用等腰三角形的性质，求出 ，然后得到AB=CD= ，则 ，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．
解：根据题意，在矩形 中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为 的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG， ；
∵CE⊥FG，
∴ ，
∴AB=CD= ，
∴ ，
在直角△BCF中，由勾股定理则
，
∴AD=3，
∴ ，
在直角△AEF中，由勾股定理则
；
故答案为： ．

19.3

【解析】
由乘方、负整数指数幂、绝对值的意义进行化简，即可得到答案．
解：原式 ．

20. ， ．

【解析】
试题分析：先移项得到 ，然后利用因式分解法求解．
试题解析： ， ，所以 ， ．
考点：解一元二次方程-因式分解法．

21.

【解析】
由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
解：原式
．

22.无解

【解析】
将分式去分母，然后再解方程即可．
解：去分母得：
整理得 ，解得 ，
经检验， 是分式方程的增根，
故此方程无解．

23.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）利用全等三角形性质和菱形对角线互相垂直平分，证四边形 是矩形；
（2）根据菱形性质得出 ， ，由含30度直角三角形的性质求出OB，即可求解．
（1）证明：∵△BOC≅△CEB ．
∴ ， （全等三角形的对应边相等）
∴四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∵四边形 是菱形，
∴ （菱形的两条对角线互相垂直）
∴
∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）∵四边形 是菱形， ， ，
∴ （菱形的四条边相等），
∵
∴
在 中，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
，
∴矩形 的周长 ．

24.（1） ， ；（2） 或

【解析】
（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案．
解：（1） ∵ 轴于点B
∴
在 中， ，
∴ ，
∴点A的横坐标为2
又∵点A在正比例函数 的图象上
∴ ，
∴
把 代入 ，得
∴ ，
∴反比例函数的解析式是 ；
（2）根据题意，
∵点A为（2，1），
∵将 绕点 旋转90°，
则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图：

∴ 或 ．

25.（1）30，0.6；（2）图表见解析，

【解析】
（1）根据题意，即可得到样本容量为30，找出90分及以上出现的数量，然后除以30，即可得到答案；
（2）利用列表法得到所有可能的结果，以及抽到的两位同学都在九年级的结果，即可求出答案．
解：（1）根据题意，随机抽取30位同学的竞赛成绩，
∴样本容量为30；
由表格可知，90分及以上出现的次数有18次，
∴样本数据中成绩为“优秀”的频率是 ；
故答案为：30， ．
（2）根据题意，列表如下：

第一人 第二人	A	B	C	D
A	—	BA	CA	DA
B	AB	—	CB	DB
C	AC	BC	—	DC
D	AD	BD	CD	—

其中抽到的两位同学都在九年级的结果共有2种，即BA，AB，
∴ ；

26.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）由题意根据圆周角定理得出 ，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；
（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出 ，继而运用相似比 即可求出 的长．
解：（1）证明：∵ 是 的直径
∴ （直径所对的圆周角是直角）
即
∵
∴ （等边对等角）
∵
∴ （同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴
∵ ，
∴
∴ 即
∴
又∵ 是 的直径
∴ 是 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ （两个角分别相等的两个三角形相似）
∴ ，
∴
∴ ．

27.（1） ；（2）1辆；（3）租车方案有3种：方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆

【解析】
（1）根据租车总费用＝每辆A型号客车的租金单价×租车辆数＋每辆B型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
（2）由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
（3）由题意得出 ，求出x的取值范围，分析得出即可．
解：（1） ，
∴ ；
（2）根据题意，得： ，
解得 ，
∵x应为正整数，
∴
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得 ，
解得 ，
结合（2）的条件， ，
∵x应为正整数，∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种：
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆．
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆

28.（1） ；（2）见解析；（3）存在，当P点坐标是 时，四边形 面积的最大值是

【解析】
（1）由一次函数 可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）证明 即可解决；
（3）过点E作 轴于点M，由 可求得△ABE的面积为定值12；因此只要求出点P的位置使△PAB的面积最大，从而使四边形 的面积最大；为此过点P作 轴于点 ，交直线AB于点N，过点B作 于点 ，设点P的坐标为 ，则可求得PN，且 ，由 可得关于t的二次函数，从而求得△PAB面积的最大值，因而可得四边形BEAP面积的最大值，且可求得此时点P的坐标．
（1）一次函数 与x轴的交点，令 ，则 ，解得 ；
与y轴的交点，令 ，则
∴ ，
设抛物线的解析式为
把A，B，C三点坐标代入解析式，得 解得
∴抛物线的解析式为
（2）在平面直角坐标系 中，
在 和 中

∴
∴ （全等三角形的对应边相等）
（3）存在，理由如下：
过点E作 轴于点M
∵
∴抛物线的对称轴是直线
∴E点的横坐标是2，即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设点P的坐标为
过点P作 轴于点 ，交直线AB于点N，过点B作 于点 ，如图

∴
∴
∵
∵
∴
∵ ，抛物线开口向下，函数有最大值
∴当 时， 面积的最大值是 ，此时四边形 的面积最大
∴ ，
当 时，
∴
∴当P点坐标是 时，四边形 面积的最大值是 ．