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广东省广州市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.下列四个选项中，为负整数的是（ ）
A．0
B．
C．
D．

2.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且 ，若 ，则点A表示的数为（ ）

A．
B．0
C．3
D．

3.方程 的解为（ ）
A．
B．
C．
D．

4.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．（a－2）²＝a²－4

5.下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2）
B．（1）（4）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若 ，则劣弧AB的长是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，则当 时，y的值为（ ）
A．
B．
C．
D．5

9.如图，在 中， ， ， ，将 绕点A逆时针旋转得到 ，使点 落在AB边上，连结 ，则 的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，若点B的横坐标为 ，则点A的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.代数式 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是________．

12.方程 x²-4x=0的实数解是 ____．

13.如图，在 中， ， ，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若 ，则AD的长为________．

14.一元二次方程 有两个相等的实数根，点 、 是反比例函数 上的两个点，若 ，则 ________ （填“＜”或“＞”或“＝”）．

15.如图，在 中， ， ，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为 ，当 时，则 的度数为________．

16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与 交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．

评卷人 得分

三、解答题

17.解方程组

18.如图，点E、F在线段BC上， ， ， ，证明： ．

19.已知
（1）化简A；
（2）若 ，求A的值．

20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数	1	2	3	4	5	6
人数	1	2	a	6	b	2

（1）表格中的 ________， ________；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为________，中位数为________；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．

21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

22.如图，在四边形ABCD中， ，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 ，且 ，证明： 为等边三角形．

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点 为直线 在第二象限的点

（1）求A、B两点的坐标；
（2）设 的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作 的外接圆 ，延长PC交 于点Q，当 的面积最小时，求 的半径．

24.已知抛物线
（1）当 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点 、 ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

25.如图，在菱形ABCD中， ， ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使 ，且CF、DE相交于点G

（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当 时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

参考答案

1.D

【解析】
根据整数的概念可以解答本题．
解：A、0既不是正数，也不是负数，故选项A不符合题意；
B、−0.5是负分数，故选项B不符合题意；
C、 不是负整数，故选项C不符合题意；
D、-2是负整数，符合题意．
故选：D．

2.A

【解析】
由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数
解：∵
∴ ， 两点对应的数互为相反数，
∴可设 表示的数为 ，则 表示的数为 ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴点 表示的数为-3，
故选：A．

3.D

【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：
去分母得： ，
移项合并得： ，
化系数为“1”得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
故选：D．

4.C

【解析】
利用绝对值符号化简可判断A，利用同类项定义与合并同类项法则可判断B，利用积的乘方运算法则可判断C，利用完全平方公式可判断D．
A. ，选项A计算不正确；
B. 3与 不是同类项，不能合并， ，选项B计算不正确；
C. ，选项C计算正确；
D. ，选项D计算不正确．
故选择C．

5.B

【解析】
正确的命题叫真命题，根据定义解答．
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．

6.B

【解析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；
∴P_{（2女生）}= ．
故选：B．

7.B

【解析】
先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可．
解：∵AC与BC是圆的切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm,
∴ = cm．
故选择B．

8.A

【解析】
先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
解：∵抛物线 经过点 、 ，且与y轴交于点 ，
∴ ，
解方程组得 ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ．
故选择A．

9.C

【解析】
由勾股定理求出 ，并利用旋转性质得出 ， ， ，则可求得 ，再根据勾股定理求出 ，最后由三角形函数的定义即可求得结果．
解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ．
∵ 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ， ， ．
∴ ．
∴在 中，由勾股定理得 ．
∴ ．
故选：C．

10.A

【解析】
构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解．
解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴，

∵点A在函数 的图象上，点C在函数 的图象上，
∴ ， ，
∵CE⊥x轴，
∴ ， ，
∵在矩形OABC中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点A坐标为 ，则点B坐标为 ，
连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点A坐标为 ，
故选A．

11.

【解析】
根据二次根式有意义的条件解答．
解：由题意得： ，
解得 ，
故答案为： ．

12.x₁=0，x₂=4．

【解析】
方程利用因式分解法求出解即可．
解：方程x²-4x=0，
分解因式得：x（x-4）=0，
可得x=0或x-4=0，
解得：x₁=0，x₂=4．
故答案为：x₁=0，x₂=4．

13.2

【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD= ，求得 ，即可求出答案．
解：∵ ，
∴∠A+∠ABC= ，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD= ，
∴ ，
∵ ，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．

14.＞

【解析】
先根据一元二次方程有两个相等的实数根则 求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论．
解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴点 、 是反比例函数 上的两个点，
又∵ ，
∴ ，
故填：＞．

15.

【解析】
如图，连接 ，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得 ， ，并由平行线的性质可推出 ，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
解：如图，连接

∵点B关于直线CD的对称点为 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．

16.（1）（3）（4）．

【解析】
由正方形的性质可证明 ，则可推出 ，利用垂径定理即可证明结论（1）正确；过点H作 交BC于N，交AD于M，由三角形面积计算公式求出 ，再利用矩形的判定与性质证得 ，并根据相似三角形的判定与性质分别求出 ， ，则最后利用锐角三角函数证明 ，即可证明结论（2）错误；根据（2）中结论并利用相似三角形的性质求得 ，即可证明结论（3）正确；利用（1）所得结论 并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可证明结论（4）正确．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作 交BC于N，交AD于M，

由（1）得 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形， ，
∴ ．
∴四边形ABNM是矩形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
解得 ．
则 ．
∵ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 与 不全等，故结论（2）错误；
（3）∵ ，
∴ ．
即 ．
解得 ．
由（2）得 ， ．
∴ ；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴ ．
由勾股定理得 ．
∴ ；故结论（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

17.

【解析】
利用代入消元法求解方程即可．
解：
把①代入②得
，
解得
把 代入①得
所以方程组的解为： ．

18.见解析

【解析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
证明：∵ ，
∴∠B=∠C，
∵ ， ，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴ ．

19.（1） ；（2） ．

【解析】
（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求 ，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
解：（1） ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．

20.（1）4，5；（2）4次；4次；（3）90人．

【解析】
（1）观察所给数据即可得到a，b的值；
（2）根据众数和中位数的概念求解即可；
（3）用300乘以样本中参加志愿者活动的次数为4次的百分比即可得到结论．
解：（1）根据所给数据可知，参加3次志愿活动的有4人，参加5次志愿活动的有5人，
所以，a=4，b=5
故答案为：4，5；
（2）完成表格如下

次数	1	2	3	4	5	6
人数	1	2	4	6	5	2

由表格知，参加4次志愿活动的的人数最多，为6人，
∴众数是4次
20个数据中，最中间的数据是第10，11个，即4，4，
∴中位数为 （次）
故答案为：4次；4次；
（3）20人中，参加4次志愿活动的有6人，所占百分比为 ，
所以，
∴该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为： （人）
答：该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数为90人．

21.（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．

【解析】
（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．
解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，

解得，
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，

解得，
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．

22.（1）图见解析；（2）证明见解析．

【解析】
（1）根据基本作图—角平分线作法，作出 的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到 并求出 ，再根据等腰三角形三线合一性质得出 ，从而得到EF为中位线，进而可证 ， ，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
解：（1）如图，AF平分 ，

（2）∵ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵AF平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵
∴ 为等边三角形．

23.（1）A（-8，0），B（0，4）；（2） ，-8＜ ＜0；（3）4．

【解析】
（1）根据一次函数的图象与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得 ， ．由等角的三角函数关系可推出 ，再根据三角形面积公式得 ，由此得结论当 最小时， 的面积最小，最后利用圆的性质可得 有最小值，且 为 的直径，进而求得结果．
解：（1）当 时， ，解得 ，
∴A（-8，0）．
当 时， ，
∴B（0，4）．
（2）∵A（-8,0），
∴ ．
点P在直线 上，
∴ ，
∴ ．
∵点P在第二象限，
∴ ＞0，且 ＜0．
解得-8＜ ＜0；
（3）∵B（0，4），
∴ ．
∵ 为 的外接圆，
∴ ， ．
∴ ．
设 ，则 ．
∴ ．
∴当 最小时， 的面积最小．
∴当 时， 有最小值，且 为 的直径．
∴ ．
即 的半径为4．

24.（1）不在；（2）（2，5）；（3）x_顶点= 或x_顶点 或x_顶点

【解析】
（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可；
（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可．
解：（1）把m=0代入 得，

当x=2时，
所以，点（2，4）不在该抛物线上；
（2）
=
∴抛物线 的顶点坐标为（ ， ）
∴纵坐标为
令
∵
∴抛物线有最高点，
∴当m=3时， 有最大值，
将m=3代入顶点坐标得（2，5）；
（3）∵E（-1，-1），F（3，7）
设直线EF的解析式为
把点E，点F的坐标代入得
解得，
∴直线EF的解析式为
将 代入 得，

整理，得：
解得
则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），
∴此时抛物线顶点横坐标x_顶点= 或x_顶点= 或x_顶点=

25.（1）见解析；（2） ；（3） ．

【解析】
（1）根据E为AB中点可得 ，再由菱形的性质推出CD∥AB， ，则 ，即可证明结论；
（2）过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，利用菱形及直角三角形的性质可求出 ，并由勾股定理求得 ，再根据相似三角形的判定及性质可证得 ，设 ，则 ，可表示出 ， ，即可由 建立关于x的方程，求解后可得出AE的长；
（3）连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，首先由菱形的性质得出△ABD为等边三角形，则 ，再由CD∥AB，得 ， ，由此可证得 ，再结合 得出 ，则由等腰三角形性质推出 ，并分别求出 ， ，最后根据题意可得点G运动路径的长度为线段AN的长，由平行线分线段成比例性质可得出 ，此题得解．
（1）证明：∵E为AB中点，
∴ ．
∴ ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB， ．
∴ ．
∴四边形DFEC是平行四边形；


（2）解：如图，过点C作CH⊥AB交FB的延长线于点H，

∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AD∥BC， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得 ．
∵CD∥AB，
∴△CDG∽△FEG．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
设 ，则 ．
∴ ， ．
在Rt△CFH中，由勾股定理得： ，
∴ ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴AE的长为 ；
（3）如图，连接AG并延长交CD于点M，连接BD交AM于点N，并连接BM，

∵四边形ABCD是菱形， ，
∴ ， ．
∴△ABD为等边三角形．
同理可证：△BCD为等边三角形．
∴ ．
∵CD∥AB，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴
∵ ，
∴ ．
∴ ．
则由勾股定理得： ，
．
当点E从A出发运动到点B时，点G始终在直线AM上运动，运动轨迹为线段，
当点E与A重合时，点G与点A重合，
当点E与B重合时，点G为BD与AM 的交点N，
∴点G运动路径的长度为线段AN的长，
∵CD∥AB，
∴ ．
∴ ．
∴点G运动路径的长度为 ．