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湖南省湘潭市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.实数2021的相反数是（ ）
A．2021
B．
C．
D．

2.据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球约320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为（　　）
A．
B．
C．
D．

3.下列计算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

4.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．

5.下列几何体中，三视图不含圆的是（　　）
A．
B．
C．
D．

6.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（　　）
A．
B．
C．
D．

7.某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（　　）

A．7分
B．8分
C．9分
D．10分

8.如图， 为⊙O的直径，弦 于点E，直线l切⊙O于点C，延长 交l于点F，若 ， ，则 的长度为（　　）

A．2
B．
C．
D．4

评卷人 得分

二、填空题

9.单项式 的系数是______.

10.在平面直角坐标系中，把点 向右平移5个单位得到点 ，则点 的坐标为____．

11.若二次根式 有意义，则x的取值范围是___．

12.“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风……）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为： /亩， ﹐ /亩， ，则______品种更适合在该村推广．（填“甲”或“乙”）

13.如图，直线a，b被直线c所截，已知 ， ，则 为______度．

14.如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点．已知 ，则 _____．

15.如图，在 中，点D，E分别为边 ， 上的点，试添加一个条件：_____，使得 与 相似．（任意写出一个满足条件的即可）

16.天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：

天干	甲	乙	丙	丁	戊	己	庚	辛	壬	癸
	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
地支	子	丑	寅	卯	辰	巳	午	未	申	酉	戌	亥
	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1	2	3

算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是_____年．（用天干地支纪年法表示）

评卷人 得分

三、解答题

17.计算：

18.先化简，再求值： ，其中 ．

19.如图，矩形 中为边 上一点，将 沿AE翻折后，点B恰好落在对角线 的中点F上．

（1）证明： ；
（2）若 ，求折痕 的长度

20.“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：

接种地点		疫苗种类
医院	A	新冠病毒灭活疫苗
	B	重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心	C	新冠病毒灭活疫苗
	D	重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）

若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．

21.万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．

某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作，用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼 的高度．（结果保留整数， ， ）

22.为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动：A、感党恩·我们诵；B、听党话·我们唱；C、跟党走·我们画；D、学党史·我们写．其中C项活动全体同学参与，预计成绩 可获一等奖，成绩 可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如下：

收集其中 这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：

组别	平均数	中位数	众数
获奖组	94.5	95	95

根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布直方图中m=__________；
（2） 组中n=__________；
（3）已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？

23.如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴，且交y轴于点C，交反比例函数 于点B，已知 ．

（1）求直线 的解析式；
（2）求反比例函数 的解析式；
（3）点D为反比例函数 上一动点，连接 交y轴于点E，当E为 中点时，求 的面积．

24.2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售 、线下批发 湘莲共获得4000元；线上零售 和线下批发 湘莲销售额相同．
（1）求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？
（2）该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲 ，设线上零售 ，获得的总销售额为y元；
①请写出y与x的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？

25.如图，一次函数 图象与坐标轴交于点A、B，二次函数 图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

26.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段 分成两部分，如果 ，那么称点C为线段 的黄金分割点．


（1）特例感知：在图①中，若 ，求 的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径 、 ；
②作 的中点P，以P为圆心， 为半径画弧交 于点Q；
③以点A为圆心， 为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦 ，连接 ；
则五边形 为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段 的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形 的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段 的黄金分割点，请利用题中的条件，求 的值．

参考答案

1.B

【解析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
解：2021的相反数是： ．
故选：B．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：320000000用科学记数法表示为： ，
故选择B．

3.A

【解析】
由同底数幂的除法判断 由幂的乘方判断 由同底数幂的乘法判断 由合并同类项判断 从而可得答案.
解： 故 符合题意；
故 不符合题意；
故 不符合题意；
不是同类项，则 故 不符合题意；
故选：

4.D

【解析】
先解不等式组，再按照大于向右拐，小于向左拐，有等于号用实心点表示，没有用空心圈表示，画好图即可.
解：
由①得：
由②得： ＜
解得： ＜
所以不等式组的解集在数轴上表示如下：

所以不等式组的解集为： ＜
故选：

5.C

【解析】
根据主视图、左视图、俯视图的定义，逐项进行判断即可．
解：A：俯视图中含有圆；
B：主视图、左视图、俯视图中都含有圆；
C：主视图、左视图、俯视图中都不含有圆；
D：俯视图中含有圆；
故可知只有C选项不符合题意，
故选：C．

6.A

【解析】
根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为 元，第二次降价后为 ，再结合题意解题即可．
解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程

故选：A．

7.C

【解析】
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．再根据算术平均数的定义求解即可．
解：小明同学五项评价的平均得分为
（分），
故选：C．

8.B

【解析】
根据垂径定理求得 ，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出 ，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD= ．
解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E， ， ，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴ ，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵ ，
∴ ，
故选：B．

9.3

【解析】
根据单项式的系数定义判断即可.
单项式 ，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3.
故答案为3.

10.

【解析】
把点 向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题．
解：把点 向右平移5个单位得到点 ，则点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．

11.

【解析】
试题分析：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．
故答案是x≥2．

12.乙

【解析】
由甲，乙的平均数相同，不好比较，但是甲的方差远远小于乙的方差，根据方差的含义分析可得答案.
解： /亩， ﹐ /亩， ，
从平均数上看，甲，乙相同，但是甲的方差远远大于乙的方差，所以甲品种的稳定性比乙差，
则乙品种更适合在该村推广．
故答案为：乙.

13.50

【解析】
先根据平行线的性质得出∠3=130°，再由邻补角得到∠2=50°．
解：如图，

∵ ， ，
∴∠3=130°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-130°=50°．
故答案为：50．

14.5

【解析】
直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．
解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝ BC＝5．
故答案为：5．

15.

【解析】
根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
解：根据题意，添加条件 ，


故答案为： ．

16.辛丑

【解析】
先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可．
解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年，
故答案为：辛丑．

17.

【解析】
根据绝对值的性质、零指数幂、负整指数幂的性质及45°角的正切值计算解题即可．
解：

．

18. ， ．

【解析】
第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将 因式分解成 ，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
解：



当 时，
原式

．

19.（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）由折叠的性质证明 再证明 从而可得结论；
（2）利用折叠与三角形全等的性质求解 再利用 的余弦求解 即可.
解：（1） 矩形 ，

由对折可得：

为 的中点，



（2） ，

由折叠可得：

20.（1） ；（2）

【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先列表求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可.
解：（1）由概率的含义可得：
居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是
（2）列表如下：

由表中信息可得一共有 种等可能的结果数，属于同种疫苗的结果数有：
， ， ， ， ， ， ， 共 种，
所以居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为：

21. 米．

【解析】
利用俯角定义，结合正弦、正切的定义、含30°角的直角三角形的性质，分别解得 的长，再计算AD的长即可．
解：在 中，





中，



（米）
答：万楼主楼 的高度为 米．

22.（1）12；（2）95；（3）72人

【解析】
（1）根据抽取50个同学的作品以及频数分布直方图可得m的值；
（2）根据众数的定义可得n的值；
（3）求出样本中95＜x≤100的人数所占整体的百分比乘以该校学生总数即可．
解：（1）m＝50-4-10-24＝12，
故答案为：12；
（2）90＜x≤100这一组成绩如下：
n 93 92 98 95 95 96 91 94 96，其中95，96都出现了2次，
∵该组数据的众数是95，
∴n＝95，
故答案为：95；
（3）抽取50个同学的作品成绩95＜x≤100的人数为3，
∴1200× ＝72（人），
答：估计本次活动获一等奖的同学有72人．

23.（1） ；（2） ；（3）

【解析】
（1）先求解 的坐标，再把 的坐标代入正比例函数 ，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而 为 的中点，利用中点坐标公式求解 的坐标，再利用 ，计算即可得到答案.
解：（1） 点 在反比例函数 的图象上，
则

设直线 为：
则
所以直线 为：
（2） 轴， ．



所以反比例函数为：
（3）设 而 为 的中点，

24.（1）线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元； （2）①y=10x+60000； ②线上零售量至少应达到1000千克．

【解析】
（1）设线上零售湘莲的单价为每千克 元，线下批发湘莲的单价为每千克 元，由题意：线上零售40kg、线下批发80kg湘莲共获得4000元；线上零售60kg和线下批发80kg湘莲销售额相同．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①由总销售额=线上零售额和线下批发额，即可求解； ②由①得：10x+60000≥70000，解不等式即可．
解：（1）设线上零售湘莲的单价为每千克 元，线下批发湘莲的单价为每千克 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：线上零售湘莲的单价为每千克40元，线下批发湘莲的单价为每千克30元；
（2）①由题意得：y=40x+30（2000-x）=10x+60000，
即y与x的函数关系式为：y=10x+60000；
②由①得：10x+60000≥70000，
解得：x≥1000，
答：线上零售量至少应达到1000千克．

25.（1）抛物线的解析式为： ；（2）Q点坐标为（1， ）或(3，0)或（-1，0）．

【解析】
（1）由直线 与坐标轴的交点坐标A，B，代入抛物线解析式，求出b，c坐标即可；
（2）分BC为对角线和边两种情况讨论，其中当BC为边时注意点Q的位置有两种：在点P右侧和左侧，根据菱形的性质求解即可．
解：（1）对于 ：当x=0时， ；
当y=0时， ，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0， ）
把A（3，0），B（0， ）代入 得：

解得，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）抛物线的对称轴为直线
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，

∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，
∴Q（1， ）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，

∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令 ，则有
解得，
∴
∴PQ=BC=2
∵
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，

同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1， ）或(3，0)或（-1，0）

26.（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3）

【解析】
（1）根据黄金分割的定义求解即可；
（2）设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，继而求出OQ，MQ，即可作出判断；
（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA=∠PAE= ，根据已知条件可知cos72°= ，再根据点E是线段PD的黄金分割点，即可求解．
解：（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
解得：AC≈61.8；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，


∴OP= ，
∴ ，
∴OQ=PQ-OP= ，
∴MQ=OM-OQ= ，
，
∴Q是线段OM的黄金分割点；
（3）正五边形的每个内角为： ，
∴∠PEA=∠PAE= ，
∴cos72°= ，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴ ，
又∵AE=ED，
∴ ，
∴cos72°= ．