绝密·启用前
湖北省随州市2021年中考数学真题
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
|
一、选择题 |
1.实数2021的相反数是（
）
A．2021
B．
C．
D．
2.从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
3.如图，将一块含有
角的直角三角板放置在两条平行线上，若
，则
为（
）
A．
B．
C．
D．
4.下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.如图是小明某一天测得的7次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（
）
A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6
6.如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（
）
A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．三个视图均相同
7.如图，从一个大正方形中截去面积为
和
的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为
时，梯子顶端靠在墙面上的点
处，底端落在水平地面的点
处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为
，已知
，则梯子顶端上升了（
）
A．1米
B．1.5米
C．2米
D．2.5米
9.根据图中数字的规律，若第
个图中的
，则
的值为（
）
A．100
B．121
C．144
D．169
10.如图，已知抛物线
的对称轴在
轴右侧，抛物线与
轴交于点
和点
，与
轴的负半轴交于点
，且
，则下列结论：①
；②
；③
；④当
时，在
轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点
，
（点
在点
左边），使得
．其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
|
二、填空题 |
11.计算：
______．
12.如图，
是
的外接圆，连接
并延长交
于点
，若
，则
的度数为______．
13.已知关于
的方程
（
）的两实数根为
，
，若
，则
______．
14.如图，在
中，
，
，
，将
绕点
逆时针旋转角
（
）得到
，并使点
落在
边上，则点
所经过的路径长为______．（结果保留
）
15.2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率
精确到小数点后第七位的人，他给出
的两个分数形式：
（约率）和
（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（即有
，其中
，
，
，
为正整数），则
是
的更为精确的近似值．例如：已知
，则利用一次“调日法”后可得到
的一个更为精确的近似分数为：
；由于
，再由
，可以再次使用“调日法”得到
的更为精确的近似分数……现已知
，则使用两次“调日法”可得到
的近似分数为______．
16.如图，在
中，
，
为
的中点，
平分
交
于点
，
，
分别与
，
交于点
，
，连接
，
，则
的值为______；若
，则
的值为______．
|
三、解答题 |
17.先化简，再求值：
，其中
．
18.如图，在菱形
中，
，
是对角线
上的两点，且
．
（1）求证：
≌
；
（2）证明四边形
是菱形．
19.疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
|
已接种 |
未接种 |
合计 |
七年级 |
30 |
10 |
40 |
八年级 |
35 |
15 |
|
九年级 |
40 |
|
60 |
合计 |
105 |
|
150 |
（1）表中，
______，
______，
______；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是______年级教师；（填“七”或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有______人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
20.如图，一次函数
的图象与
轴、
轴分别交于点
，
，与反比例函数
（
）的图象交于点
，
．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接
，求
的面积．
21.如图，
是以
为直径的
上一点，过点
的切线
交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
，垂足为点
．
（1）求证：
；
（2）若
的直径
为9，
．
①求线段
的长；
②求线段
的长．
22.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体
处，另一端固定在离地面高2米的墙体
处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度
（米）与其离墙体
的水平距离
（米）之间的关系满足
，现测得
，
两墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出
，
的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为
米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
23.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；
（2）①如图1，
是边长为
的正
内任意一点，点
为
的中心，设点
到
各边距离分别为
，
，
，连接
，
，
，由等面积法，易知
，可得
_____；（结果用含
的式子表示）
②如图2，
是边长为
的正五边形
内任意一点，设点
到五边形
各边距离分别为
，
，
，
，
，参照①的探索过程，试用含
的式子表示
的值．（参考数据：
，
）
（3）①如图3，已知
的半径为2，点
为
外一点，
，
切
于点
，弦
，连接
，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留
）
②如图4，现有六边形花坛
，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形
，其中点
在
的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点
的位置，并说明理由．
24.在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，顶点
的坐标为
．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点
在抛物线上且满足
，求点
的坐标；
（3）如图2，
是直线
上一个动点，过点
作
轴交抛物线于点
，
是直线
上一个动点，当
为等腰直角三角形时，直接写出此时点
及其对应点
的坐标
参考答案
1.B
【解析】
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
解：2021的相反数是：
．
故选：B．
2.C
【解析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如
为正整数，据此解题．
解：5700万=57000000，用科学记数法可表示为
，
故选：C．
3.A
【解析】
过60°角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出∠1+∠2=60°，从而求出∠2即可．
如图，已知
，作直线
，则
，
则∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠2=60°-∠1=15°，
故选：A．
4.D
【解析】
根据负指数运算法则可判断A，根据同类项的定义可判断B，根据同底数幂的乘法可判断C，根据幂的乘方可判断D
A.
，故选项A计算不正确；
B.
与
不是同类项不能合并，
，故选项B计算不正确；
C.
，故选项C计算不正确；
D.
，故选项D正确．
故选择D．
5.D
【解析】
根据折线图判断最高体温以及上升下降情况，根据众数、中位数的性质判断即可．
解：A、由折线统计图可知，7次最高体温为37.1℃，A选项正确，不符合题意；
B、由折线统计图可知，前3次体温在下降，B选项正确，不符合题意；
C、由7组数据可知，众数为36.8，C选项正确，不符合题意；
D、根据中位数定义可知，中位数为36.8，D选项错误，符合题意；
故选：D．
6.A
【解析】
画出组合体的三视图，即可得到结论．
解：所给几何体的三视图如下，
所以，主视图和左视图完全相同，
故选：A．
7.A
【解析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
解：∵两个小正方形的面积为
和
，
∴两个小正方形的边长为
和
，
∴大正方形的边长为
，
∴大正方形的面积为
，
∴阴影部分的面积为
，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为
，
故选：A．
8.C
【解析】
根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．
解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ
，
在Rt△ECD中，sin
，
∴CD=
，
在Rt△ABD中，sin
，
∴
，
∴AC=CD-AD=8-6=2．
故选择C．
9.B
【解析】
分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
解：根据图中数据可知：
则
，
，
∵第
个图中的
，
∴
，
解得：
或
(不符合题意，舍去)
∴
，
故选：B．
10.B
【解析】
依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可
①从图像观察，开口朝上，所以
，
对称轴在
轴右侧，所以
，
图像与
轴交点在x轴下方，所以
，所以①不正确；
②点
和点
，与
轴的负半轴交于点
，且
设
代入
,得：
，所以②正确；
③
，
设抛物线解析式为：
过
，所以③正确；
④如图：设
交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性，
是等腰直角三角形，
，
，
又对称轴
由顶点坐标公式可知
由题意
，解得
或者
由①知
，所以④不正确．
综上所述：②③正确共2个
故选B．
11.
【解析】
估算
的大小从而确定
−1的符号，再根据绝对值的定义及零指数幂的意义即可完成．
故答案为：
12.
【解析】
连接BD，则
，再根据AD为直径，求得
的度数
如图，连接BD，则
AD为直径
故答案为
13.
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系可求出
以及
，然后根据条件变形代入求解即可．
由题意，
，
，
∵
，
∴
，
即：
，
解得：
，
故答案为：
．
14.
．
【解析】
利用勾股定理求出AB=2，根据旋转的性质得到旋转角为∠
=60°，再由弧长计算公式，计算出结果．
解：∵
，
，
，
∴AB=2AC，
设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
，
解得：x=1，
则：AC=1，AB=2，
∵将
绕点
逆时针旋转角
（
）得到
，且点
落在
边上，
∴旋转角为60°，
∴∠
=60°，
∴点
所经过的路径长为：
，
故答案为：
．
15.
【解析】
根据“调日法”的定义，第一次结果为：
，近似值大于
，所以
，根据第二次“调日法”进行计算即可.
解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
16.
【解析】
（1）根据条件，证明
，从而推断
，进一步通过角度等量，证明
，代入推断即可.
（2）通过
，可知
四点共圆，通过角度转化，证明
，代入推断即可.
解：（1）∵
，
为
的中点
∴
又∵
平分
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
在
与
中
,
∴
（2∵
∴
四点共圆，如下图：
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
17.
，-2
【解析】
（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可．
解：原式
当
时，原式
18.（1）见解析；（2）见解析
【解析】
(1)利用SAS证明即可；
(2)从对角线的角度加以证明即可.
（1）证明：∵四边形
为菱形，
∴
，且
，
又∵
，
∴
≌
．
（2）
证明：连接
交
于点
，
∵四边形
为菱形，
∴
，且
为
，
中点，
又∵
，
∴
∴
与
互相垂直且平分，
故四边形
是菱形．
19.（1）
，
，
；（2）七；（3）2400；（4）
【解析】
（1）根据八年级教师中已接种和未接种即可求得a，根据九年级已接种的及总人数可求得b，根据三个年级未接种的人数可求得总人数c；
（2）分别计算七、八、九年级教师中接种率即可求得结果；
（3）计算抽取的三个年级教师中未接种的百分比，把此百分比作为该市初中教师未接种的百分比，从而可求得该市未接种的教师的人数；
（4）七年级教师用A表示，八年级教师用
表示，九年级教师用
，
表示,根据树状图或列表法，求得等可能的结果种数及恰好两位教师不在同一个年级的可能结果，即可求得概率．
解：（1）
；
；
故答案为：50；20；45
（2）七年级教师的接种率为：
；
八年级教师的接种率为：
；
九年级教师的接种率为：
；
即七年级教师的接种率最高．
故答案为：七
（3）抽取的三个年级教师中未接种的百分比为：
，
（人）
故答案为：2400
（4）设七年级教师用
表示，八年级教师用
表示，九年级教师用
，
表示，根据题意：可画出树状图：
或列表：
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有10种，故
（两名教师不在同一年级）
．
说明：（4）问中用树状图法或列表法中一种即可．
20.（1）
，
；（2）3
【解析】
（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求；
（2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．
解：（1）∵双曲线
（m＞0）过点C（1，2）和D（2，n），
∴
，解得，
．
∴反比例函数的解析式为
．
∵直线
过点C（1，2）和D（2，1），
∴
，解得，
．
∴一次函数的解析式为
．
（2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）．
∴
．
如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E．
∵D（2，1），
∴DE=2．
∴
21.（1）见解析；（2）①
；②
【解析】
（1）连接
，由
是
的切线，可得
，可证
，可得
．由
，可得
即可；
（2）①连接
，由
的直径
为9，
，可求
．可证
，由
，
．
②由（1）可知
，可证
∽
，由性质可得
，
解方程得
．
（1）证明：连接
，
∵
是
的切线，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
．
又∵在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）①连接
，
∵
的直径
为9，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
．
又∵
，且
，
∴
，
在
中，
∵
，
∴
．
②由（1）可知
，
∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE，
∴
∽
，
∴
，即
，
解得
．
经检验符合题意．
22.（1）
，
；（2）
米；（3）352
【解析】
（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入
，求出b、c即可；
（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；
（3根据
，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．
解：（1）由题意知点A坐标为
，点B坐标为
，
将A、B坐标代入
得：
解得：
，
故
，
；
（2）由
，
可得当
时，
有最大值
，
即大棚最高处到地面的距离为
米；
（3）由
，解得
，
，
又因为
，
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为
（米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为
（平方米）
共需要
（根）竹竿．
23.（1）
，1；（2）①
；②
；（3）①
；②见解析．
【解析】
（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可；
（2）①先求得边长为
的正
的面积，再根据
解题即可；②设点
为正五边形
的中心，连接
，
，过
作
于
，先由正切定义，解得
的长，由①中结论知，
，继而得到
，据此解题；
（3）①由切线性质解得
，再由平行线性质及等腰三角形性质解得
，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接
，过点
作
交
的延长线于
点，根据
，据此解题．
解：（1）直角三角形的面积为：
，
直角三角形斜边为：
，
设直角三角形斜边上的高为
，则
设直角三角形内切圆的半径为
，则
，
故答案为：
，1；
（2）①边长为
的正
底边的高为
，面积为：
，
故答案为：
；
②类比①中方法可知
，
设点
为正五边形
的中心，连接
，
，
由①得
，
过
作
于
，
，
故
，
，
故
，从而得到：
．
（3）①
是
的切线，
过点
作
，
是
的高，
故答案为：
；
②如图，连接
，过点
作
交
的延长线于
点，则点
即为所求，
连接
，∵
，
∵
，
∴
，
∴
．
24.（1）
；（2）
，
；（3）
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
．
【解析】
（1）由
和
，且D为顶点列方程求出a、b、c，即可求得解析式；
（2）分两种情况讨论：①过点
作
，交抛物线于点
，②在
下方作
交
于点
，交抛物线于
；
（3）
为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当
；②当
；③当
．
解：（1）将
和
代入
得
又∵顶点
的坐标为
∴
∴解得
∴抛物线的解析式为：
．
（2）∵
和
∴直线
的解析式为：
∵抛物线的解析式为：
，抛物线与
轴交于点
，与
轴交于点
和点
，
则C点坐标为
，B点坐标为
．
①过点
作
，交抛物线于点
，
则直线
的解析式为
，
结合抛物线
可知
，
解得：
（舍），
，
故
．
②过点
作
轴平行线，过点
作
轴平行线交于点
，
由
可知四边形
为正方形，
∵直线
的解析式为
∴
与
轴交于点
，
在
下方作
交
于点
，交抛物线于
∴
又∵OC=CG，
∴
≌
，
∴
，
，
又由
可得
直线
的解析式为
，
结合抛物线
可知
，
解得
（舍），
，
故
．
综上所述，符合条件的
点坐标为：
，
．
（3）∵
，
∴直线
的解析式为
设M的坐标为
，则N的坐标为
∴
∵
，
∴直线
的解析式为
∵
为等腰直角三角形
∴①当
时，如下图所示
则Q点的坐标为
∴
∴
解得：
（舍去），
，
∴此时
，
；
，
；
②当
时，如下图所示
则Q点的坐标为
∴
∴
解得：
（舍去），
，
∴此时
，
；
，
；
③当
时，如图所示
则Q点纵坐标为
∴Q点的坐标为
∴Q点到MN的距离=
∴
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
解得：
（舍去），
，
∴此时
，
；
，
．
综上所述，点
及其对应点
的坐标为：
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
．