绝密·启用前

浙江省台州市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是（ ）

A．

B．

C．

D．

2.小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）

A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边
D．两点确定一条直线

3.大小在 和 之间的整数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4.下列运算中，正确的是（ ）
A．a²＋a＝a³
B．（ ab）²＝ ab²
C．a⁵÷a²＝a³
D．a⁵・a²＝a¹⁰

5.关于x的方程x² 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m＜2
C．m＞4
D．m＜4

6.超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为 ，s²，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差 ₁， ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． ₁
B． ₁
C．s²＞
D．s²

7.一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（ ）


A．40°
B．43°
C．45°
D．47°

8.已知（a＋b）²＝49，a²＋b²＝25，则ab＝（ ）
A．24
B．48
C．12
D．2

9.将x克含糖10 的糖水与y克含糖30 的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）
A．20
B．
C．
D．

10.如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）


A．（36 ）cm²
B．（36 ）cm²
C．24 cm²
D．36 cm²

评卷人 得分

二、填空题

11.因式分解：xy y²＝_____．

12.一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为_____．

13.如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径 长度为_____．（结果保留π）

14.如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．

15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．

16.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt 4.9t²，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v₁，经过时间t₁落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₁（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v₂，经过时间t₂落回地面，运动过程中小球的最大高度为h₂（如图2）．若h₁＝2h₂，则t₁：t₂＝_____．

评卷人 得分

三、解答题

17.计算：| 2|＋ ．

18.解方程组：

19.图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）

20.小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；
（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．

21.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10


（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．

22.杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失．为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究．在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布（甲组），另外20棵不加装防雨布（乙组）．在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率（落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比），绘制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．
甲组杨梅树落果率频数分布表

落果率	组中值	频数（棵）
0≤x＜10%	5%	12
10%≤x＜20%	15%	4
20%≤x＜30%	25%	2
30%≤x＜40%	35%	1
40%≤x＜50%	45%	1

乙组杨梅树落果率频数分布直方图



（1）甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%？
（2）请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；
（3）若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据．

23.电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R₁， R₁与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R₁＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝ ；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；
（2）求R₁关于U₀的函数解析式；
（3）用含U₀的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．

24.如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 ，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．


（1）如图2，若点A是劣弧 的中点．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②求平行四边形ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧 上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．

参考答案

1.B

【解析】
从正面看所得到的图形即为主视图，因此选项B的图形符合题意．
解：根据主视图的意义可知，从正面看到四个正方形，
故选：B．

2.A

【解析】
根据线段的性质即可求解．
解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，
故选：A．

3.B

【解析】
先估算 和 的值，即可求解．
解：∵ ， ，
∴在 和 之间的整数只有2，这一个数，
故选：B．

4.C

【解析】
根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相除、同底数幂相乘的法则分别计算即可．
解：A． 与a不是同类项，不能合并，故该项错误；
B． ，故该项错误；
C． ，该项正确；
D． ，该项错误；
故选：C．

5.D

【解析】
根据方程x² 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得 ，进而即可求解．
解：∵关于x的方程x² 4x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，解得：m＜4，
故选D．

6.C

【解析】
根据平均数和方差的意义，即可得到答案．
解：∵顾客从一批大小不一的鸡蛋中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴ ＜s²， 和 ₁的大小关系不明确，
故选C

7.B

【解析】
过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．
解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴ ，
∴ ，


∴ ，
故选：B．

8.C

【解析】
利用完全平方公式计算即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
故选：C．

9.D

【解析】
先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．
解：混合之后糖的含量： ，
故选：D．

10.A

【解析】
过点C作 ，过点B作 ，根据折叠的性质求出 ， ，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
解：如图，过点C作 ，过点B作 ，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．

11.y(x-y)

【解析】
根据提取公因式法，即可分解因式．
解：原式= y(x-y)，
故答案是：y(x-y)．

12.

【解析】
直接利用概率公式即可求解．
解： ，
故答案为： ．

13.

【解析】
直接利用弧长公式即可求解．
解： ，
故答案为： ．

14.

【解析】
先证明 ，得到 ，进而即可求解．
∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= ．
故答案是： ．

15.6

【解析】
根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长 ，即可求解．
解：由作图可得DF垂直平分线段AB，
∴ ，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴△AFH的周长 ，
故答案为：6．

16.

【解析】
根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出 ， ， ， ，结合h₁＝2h₂，即可求解．
解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v₁t 4.9t²，令h=0， 或 （舍去）， ，
图2中的函数解析式为：h＝v₂t 4.9t²， 或 （舍去）， ，
∵h₁＝2h₂，
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t₁：t₂₌ ： = ，
故答案是： ．

17.2+

【解析】
先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解．
解：原式=2＋
=2+ ．

18. .

【解析】
观察方程组中同一未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，而y的系数互为相反数，因此将两方程相加，消去y求出x，再求出y的值，可得到方程组的解.
解：①+②得：3x=3，
即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为 .

19.

【解析】
过点E作 ，易得四边形EBFM是矩形，即 ，再通过解直角三角形可得 ，即可求解．
解：过点E作 ，


∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形EBFM是矩形，
∴ ，
∵∠AED＝48°，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

20.（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

【解析】
（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．

21.（1）见详解；（2）60°

【解析】
（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；
（2）先证明AC垂直平分BD，从而得 是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20， 是等边三角形，进而即可求解．
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°．

22.（1）甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；（2）“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率，理由见详解；（3）该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%．

【解析】
（1）根据频数直方图和频数统计表，直接求解即可；
（2）分别求出甲乙两组杨梅树落果率的组中值的中位数，即可得到结论；
（3）分别求出甲乙两组杨梅的落果率的平均数，即可得到答案．
解：（1）12+4=16（棵），1+1=2（棵），
答：甲、乙两组分别有16棵和2棵杨梅树的落果率低于20%；
（2）∵甲组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，5%，15%，15%，15%，15%，25%，25%，35%，45%，
∴甲组杨梅树落果率的组中值的中位数为：5%，
∵乙组杨梅树落果率的组中值从小到大排列：5%，15%， 25%，25%，25%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，35%，45%，45%，45%，45%，45%，
∴乙组杨梅树落果率的组中值的中位数为：35%，
∴“用防雨布保护杨梅果实”的落果率的中位数低于“不加装防雨布”的落果率的中位数，
∴“用防雨布保护杨梅果实”大大降低了杨梅树的落果率；
（3）（12×5%+4×15%+2×25%+1×35%+1×45%）÷20=12.5%，
（1×5%+1×15%+3×25%+10×35%+5×45%）÷20=33.5%，
33.5%-12.5%=21%，
答：该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低21%．

23.（1） ；（2） ；I（3） ；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

【解析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；
（3）由R₁＝ m＋240， ，即可得到答案；
（4）把 时，代入 ，进而即可得到答案．
解：（1）把（0，240），（120，0）代入R₁＝km＋b，得 ，解得： ；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）由（1）可知： ，
∴R₁＝ m＋240，
又∵ ，
∴ = m＋240，即： ；
（4）∵电压表量程为0~6伏，
∴当 时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．

24.①证明见解析；② ；（2）①AB的长为 或 ；②

【解析】
（1）①利用等弧所对的弦相等可得 ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；②连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得 ，利用勾股定理求出OE的长，即可求解；
（2）①分情况讨论当CD与 相切时、当BC与 相切时，利用垂径定理即可求解；②根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．
解：（1）①∵点A是劣弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②连接AO，交BD于点E，连接OD，
，
∵点A是劣弧 的中点，OA为半径，
∴ ，OA平分BD，
∴ ，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴E为两对角线的交点，
在 中， ,
∴ ，
∴ ；
（2）①如图，当CD与 相切时，连接DO并延长，交AB于点F，


∵CD与 相切，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ；
如图，当BC与 相切时，连接BO并延长，交AD于点G，


同理可得 ， ，
所以 ,
综上所述，AB的长为 或 ；
②过点A作 ，
，
由（2）得：
根据等面积法可得 ，
解得 ，
在在 中， ，
∴ ，
∴ ．