2021年山东省淄博市中考数学试卷

一、选择题：本大通共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】B

【考点】简单几何体的三视图

【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．

【解答】解：其俯视图一定是圆的有：球，圆柱，共2个．故选：B．

【难度】1

2．（5分）如图，直线a∥b，∠1＝130°，则∠2等于（　　）

A．70°

B．60°

C．50°

D．40°

【答案】C

【考点】平行线的性质

【分析】由邻补角的定义，可求得∠3的度数，又根据两直线平行，同位角相等即可求得∠2的度数．

【解答】解：如图： ∵∠1＝130°，∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣130°＝50°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：C．

【难度】1

3．（5分）下表是几种液体在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（　　）

液体名称	液态氧	液态氢	液态氮	液态氦
沸点/℃	﹣183	﹣253	﹣196	﹣268.9

A．液态氧

B．液态氢

C．液态氮

D．液态氦

【答案】A

【考点】有理数大小比较；正数和负数

【分析】根据有理数大小的比较方法解答即可．

【解答】解：∵|﹣268.9|＞|﹣253|＞|﹣196|＞|﹣183|，∴﹣268.9＜﹣253＜﹣196＜﹣183，∴沸点最高的液体是液态氧．故选：A．

【难度】1

4．（5分）经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为（　　）

A．4.6×10⁹

B．0.46×10⁹

C．46×10⁸

D．4.6×10⁸

【答案】D

【考点】科学记数法—表示较大的数

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10ⁿ，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．

【解答】解：4.6亿＝460000000＝4.6×10⁸．故选：D．

【难度】1

5．（5分）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（　　）

A．6，7

B．7，7

C．5，8

D．7，8

【答案】B

【考点】折线统计图；中位数；众数

【分析】将八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列，根据众数、中位数的定义求解即可．

【解答】解：八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下：3，3，5，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，这次比赛成绩的中位数是 7，众数是7，故选：B．

【难度】1

6．（5分）设m ，则（　　）

A．0＜m＜1

B．1＜m＜2

C．2＜m＜3

D．3＜m＜4

【答案】A

【考点】估算无理数的大小

【分析】先估算出 的范围，再求 1的范围，最后求 的范围，即可解答．

【解答】解：∵4＜5＜9，∴2 3，∴1 1＜2，∴ 1，故选：A．

【难度】1

7．（5分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）

A．12寸

B．24寸

C．13寸

D．26寸

【答案】D

【考点】垂径定理的应用；数学常识；勾股定理的应用

【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．

【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x²﹣（x﹣1）²＝5²，化简得：x²﹣x²+2x﹣1＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故选：D．

【难度】3

8．（5分）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【考点】平行线分线段成比例

【分析】根据平行线分线段成比例，可证得 ， ，两式相加即可得出结论．

【解答】解：∵AC∥EF，∴ ，∵EF∥DB，∴ ，∴ 1，即 1，∴ ．故选：C．

【难度】1

9．（5分）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为x km/h，则下列方程中正确的是（　　）

A． 12

B． 0.2

C． 12

D． 0.2

【答案】D

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】设乙的速度为x km/h，则甲的速度为1.2x km/h，根据时间＝路程÷速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：12分钟 h＝0.2h，设乙的速度为x km/h，则甲的速度为1.2x km/h，根据题意，得： 0.2，故选：D．

【难度】1

10．（5分）已知二次函数y＝2x²﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P₁，P₂，P₃三点满足 m，则m的值是（　　）

A．1

B．

C．2

D．4

【答案】C

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征

【分析】由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数y＝2x²﹣8x+6的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与x轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解m值．

【解答】解：∵二次函数y＝2x²﹣8x+6的图象上有且只有P₁，P₂，P₃三点满足 m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x²﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x²﹣8x+6＝2（x﹣2）²﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x²﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m 2．故选：C．

【难度】3

11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【考点】解直角三角形；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线

【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴S_△AFE＝S_△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S_△AFB＝10 AF•BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF 3，∵CE＝AE＝BE AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC ，故选：A．

【难度】5

12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y 的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）

A．

B．

C．

D．12

【答案】B

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质

【分析】过点M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性质求出△OBM的面积＝9，再证明OH OB，求出△MOH的面积即可．

【解答】解：过点M作MH⊥OB于H． ∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴ （ ）² ，∵S_△ADM＝4，∴S_△BOM＝9，∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴ ，∴OH OB，∴S_△MOH S_△OBM ，∵ ，∴k ，故选：B．

【难度】5

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．

13．（4分）若分式 有意义，则x的取值范围是 　 　．

【答案】x≠3

【考点】分式有意义的条件

【分析】分式有意义的条件是分母不为0．

【解答】解：∵3﹣x≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．

【难度】1

14．（4分）分解因式：3a²+12a+12＝　 　．

【答案】3（a+2）²．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：原式＝3（a²+4a+4）＝3（a+2）²．故答案为：3（a+2）²．

【难度】1

15．（4分）在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A₁，将点A₁向左平移3个单位得到点A₂，则A₂的坐标为 　 　．

【答案】（0，﹣2）．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移

【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出点A₁坐标，再利用平移的性质得出A₂的坐标．

【解答】解：∵点A（3，2）关于x轴的对称点为A₁，∴A₁（3，﹣2），∵将点A₁向左平移3个单位得到点A₂，∴A₂的坐标为（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．

【难度】3

16．（4分）对于任意实数a，抛物线y＝x²+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　 　．

【答案】b

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质

【分析】根据题意得到4a²﹣4（a+b）≥0，求得a²﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．

【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x²+2ax+a+b与x轴都有交点，∴△≥0，则（2a）²﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a²﹣a，∵a²﹣a＝（a ）² ，∴a²﹣a的最小值为 ，∴b ，故答案为b ．

【难度】3

17．（4分）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　．

【答案】6 cm．

【考点】菱形的判定与性质；旋转的性质；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质

【分析】作DE⊥BC于E，解直角三角形求得AB＝BC＝6cm，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，由旋转的性质，A′B＝AB＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，所以△P′BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，利用勾股定理求出A'C的长度，即求得点P到A，B，C三点距离之和的最小值．

【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，∵∠α＝30°，DE＝3cm，∴CD＝2DE＝6cm，同理：BC＝AD＝6cm，由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，∴A′C 6 （cm），因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6 cm，故答案为6 cm．

【难度】5

三、解答题：本大题共7个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明，证明过程放演算步骤．

18．（8分）先化简，再求值：（ ） ，其中a 1，b 1．

【答案】解：（ ） • • ＝ab，当a 1，b 1时，原式＝（ 1）（ 1）＝3﹣1＝2

【考点】分式的化简求值；分母有理化

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．

【解答】解：（ ） • • ＝ab，当a 1，b 1时，原式＝（ 1）（ 1）＝3﹣1＝2．

【难度】3

19．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．

（1）求证：BE＝DE；

（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．

【答案】（1）见证明；（2）∠BDE的度数为30°．

【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质

【分析】（1）先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到∠EBD＝∠EDB，根等角对等边判断即可．

（2）先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线的性质求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB＝∠DBC．

【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD ∠ABC＝30°，由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度数为30°．

【难度】3

20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y₁＝k₁x+b与双曲线y₂ 相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．

（1）求y₁，y₂对应的函数表达式；

（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；

（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k₁x+b 的解集．

【答案】解：（1）∵直线y₁＝k₁x+b与双曲线 相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，∴ ，解得：k₂＝﹣6，∴双曲线的表达式为： ，∴把B（m，﹣2）代入 ，得： ，解得：m＝3，∴B（3，﹣2），把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y₁＝k₁x+b得： ，解得： ，

∴直线的表达式为：y₁＝﹣x+1；（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图 ∵BP∥x轴，∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5，∴ ；（3） 的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）把A（﹣2，3）代入到 可求得k₂的值，再把B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值；把A，B两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；

（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，由所给的条件可得AD⊥x轴，则可确定AD的长度，BP的长度，利用三角形的面积公式进行求解即可；

（3） 的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值．

【解答】解：（1）∵直线y₁＝k₁x+b与双曲线 相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，∴ ，解得：k₂＝﹣6，∴双曲线的表达式为： ，∴把B（m，﹣2）代入 ，得： ，解得：m＝3，∴B（3，﹣2），把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y₁＝k₁x+b得： ，解得： ，

∴直线的表达式为：y₁＝﹣x+1；（2）过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图 ∵BP∥x轴，∴AD⊥x轴，BP⊥y轴，∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），∴BP＝3，AD＝3﹣（﹣2）＝5，∴ ；（3） 的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值，故其解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．

【难度】3

21．（10分）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．

成绩等级	分数段	频数（人数）
优秀	90≤x≤100	a
良好	80≤x＜90	b
较好	70≤x＜80	12
一般	60≤x＜70	10
较差	x＜60	3

请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：

（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 　 　度；

（2）补全上面的成绩条形统计图；

（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．

【答案】（1）50，25，90；（2）补图见解答；（3）1200．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图

【分析】（1）根据一般的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用总人数乘以优秀人数所占百分比求出a，然后用总人数减去其他成绩的人数求出b，最后用360°乘以“良好”所占百分比，求出“良好”所在扇形的圆心角度数；（2）根据（1）求出a和b的值，即可补全统计图；

（3）用该校的总人数乘以良好以上（含良好）的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）抽取的总人数有：10 100（人），a＝100×50%＝50（人），b＝100﹣50﹣12﹣10﹣3＝25（人），成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是：360° 90°．故答案为：50，25，90；（2）根据（1）补图如下： （3）1600 1200（人），答：估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数有1200人．

【难度】3

22．（10分）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．

科学计算器按键顺序	计算结果（已取近似值）	解答过程中可直接使用表格中的数据哟！
	1.18
	1.39
	1.64

（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；

（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．

【答案】（1）18%；（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元．

【考点】一元二次方程的应用；近似数和有效数字；计算器—基础知识

【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，利用今年第一季度产值＝去年第三季度产值×（1+增长率）²，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；

（2）将今年四个季度的产值相加，即可求出该公司今年总产值，再将其与1.6亿元比较后即可得出结论．

【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x，依题意得：2300（1+x）²＝3200，解得：x₁＝0.18＝18%，x₂＝﹣2.18（不合题意，舍去）．答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%．（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：3200+3200×（1+18%）+3200×（1+18%）²+3200×（1+18%）³＝3200+3200×1.18+3200×1.39+3200×1.64＝3200+3776+4448+5248＝16672（万元），1.6亿元＝16000万元，∵16672＞16000，∴该公司今年总产值能超过1.6亿元．

【难度】3

23．（12分）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．

（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE＝BF；

（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；

（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

【答案】（1）证明见解析部分．（2）45°．（3）y （0≤x≤2）．

【考点】四边形综合题

【分析】（1）证明△ABF≌△DAE（ASA），可得结论．

（2）如图2中，连接AQ，CQ．想办法证明△AQF是等腰直角三角形即可解决问题．

（3）过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．利用全等三角形的性质证明BF＝GT＝x，再利用平行线分线段成比例定理求出BE＝CT xy，根据GT＝CG﹣CT，构建关系式，可得结论．

【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AF，∴∠APD＝90°，∴∠PAD+∠ADE＝90°，∠PAD+∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴BF＝AE．（2）解：如图2中，连接AQ，CQ． ∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴QA＝QC，∠BAQ＝∠QCB，∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，∴QC＝QF，∴∠QFC＝∠QCF，∴∠QFC＝∠BAQ，∵∠QFC+∠BFQ＝180°，∴∠BAQ+∠BFQ＝180°，∴∠AQF+∠ABF＝180°，∵∠ABF＝90°，∴∠AQF＝90°，∴∠AFQ＝∠FAQ＝45°．（3）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形． ∴ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°，∵AF⊥EG，∴∠APE＝90°，∵∠AEP+∠BAF＝90°，∠AEP+∠GET＝90°，∴∠BAF＝∠GET，∵∠ABF＝∠ETG，AB＝ET，∴△ABF≌△ETG（ASA），∴BF＝GT＝x，∵AD∥CB，DG∥BE，∴ ，∴ ，∴BE＝TC xy，∵GT＝CG﹣CT，∴x＝2﹣y xy，∴y （0≤x≤2）．

【难度】5

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x² •x （m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）设直线y x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y x² x+2；（2）（2，3）；（3）E的坐标为（0， ），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0， ）．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）由OC＝2OA，得C（0，2），代入抛物线y x² •x （m＞0）可得m＝4，抛物线对应的函数表达式为y x² x+2；

（2）过P作PH∥y轴，交BC于H，根据y x² x+2，m＝4，求出B（4，0），C（0，2），从而直线BC的解析式为y x+2，设点P的坐标为（m， m² m+2）（0＜m＜4），则H（m， m+2），表示PH的长，根据三角形的面积可得S_△PBC＝﹣（m﹣2）²+4，根据二次函数的最值可得结论；

（3）分BG为边或对角线两种可能讨论，若BG为边，由∠GBF＝90°，得∠OBG＝∠BFH，即tan∠OBG＝tan∠BFH ，解得：t＝3或m，得E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质知， m+1，得m＝1，即可得E、F的坐标；若BG为对角线，求出BG中点M，由矩形对角线互相平分求出E的横坐标，由解析式得E坐标，再由∠BEG＝90°结合斜边中线求出m即可，即得E、F的坐标．

【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y x² •x （m＞0），得 2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y x² x+2；（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H， 由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y x² x+2，m＝4，∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），设直线BC解析式为y＝kx+n，则 ，解得 ，∴直线BC的解析式为y x+2，设点P的坐标为（m， m² m+2）（0＜m＜4），则H（m， m+2），∴PH m² m+2﹣（ m+2） m²+2m

（m²﹣4m） （m﹣2）²+2，∵S_△PBC＝S_△CPH+S_△BPH，∴S_△PBC PH•|x_B﹣x_C| [ （m﹣2）²+2]×4＝﹣（m﹣2）²+4，∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；（3）存在，理由如下：∵直线y x+b与抛物线交于B（m，0），∴直线BG的解析式为y x m①，∵抛物线的表达式为y x² •x ②，联立①②解得， 或 ，∴G的坐标为（﹣2， m﹣1），∵抛物线y x² •x 的对称轴为直线x ，∴点F的横坐标为 ，①若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H， 设E的坐标为（t， t² •t ），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH ，∴ ，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴ m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F（0， ），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得 ， ，∴M的坐标为（ ， ），∵矩形对角线BG、EF互相平分，∴M也是EF的中点，∴E的横坐标为 ，∴E的坐标为（ ， ），∵∠BEG＝90°，∴EM ，∴ ，整理得：16+（m²+4m+1）²＝20（m+2）²，变形得：16+[（m+2）²﹣3]²＝20（m+2）²，换元，令t＝（m+2）²，得：t²﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）²＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐标为（0， ），F的坐标为（1，﹣4），综上，即E的坐标为（0， ），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0， ）．

【难度】5