绝密·启用前

河北省2021年中考数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.如图，已知四条线段 ， ， ， 中的一条与挡板另一侧的线段 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）


A．
B．
C．
D．

2.不一定相等的一组是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与

3.已知 ，则一定有 ，“ ”中应填的符号是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.与 结果相同的是（ ）．
A．
B．
C．
D．

5.能与 相加得0的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6.一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）


A． 代表
B． 代表
C． 代表
D． 代表

7.如图1， 中， ， 为锐角．要在对角线 上找点 ， ，使四边形 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）

图2

A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是

8.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.若 取1.442，计算 的结果是（ ）
A．-100
B．-144．2
C．144.2
D．-0.01442

10.如图，点 为正六边形 对角线 上一点， ， ，则 的值是（ ）

A．20
B．30
C．40
D．随点 位置而变化

11.如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为 ， ， ， ， ，则下列正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.如图，直线 ， 相交于点 ． 为这两直线外一点，且 ．若点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ， ，则 ， 之间的距离可能是（ ）

A．0
B．5
C．6
D．7

13.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图， 是 的外角．
求证： ．



下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

14.小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中 “（ ）”应填的颜色是（ ）


A．蓝
B．粉
C．黄
D．红

15.由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，

16.如图，等腰 中，顶角 ，用尺规按①到④的步骤操作：
①以 为圆心， 为半径画圆；
②在 上任取一点 （不与点 ， 重合），连接 ；
③作 的垂直平分线与 交于 ， ；
④作 的垂直平分线与 交于 ， ．
结论Ⅰ：顺次连接 ， ， ， 四点必能得到矩形；
结论Ⅱ： 上只有唯一的点 ，使得 ．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）

A．Ⅰ和Ⅱ都对
B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对
D．Ⅰ对Ⅱ不对

评卷人 得分

二、填空题

17.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．

18.下图是可调躺椅示意图（数据如图）， 与 的交点为 ，且 ， ， 保持不变．为了舒适，需调整 的大小，使 ，则图中 应___________（填“增加”或“减少”）___________度．

19.用绘图软件绘制双曲线 ： 与动直线 ： ，且交于一点，图1为 时的视窗情形．

（1）当 时， 与 的交点坐标为__________；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 ，其可视范围就由 及 变成了 及 （如图2）．当 和 时， 与 的交点分别是点A和 ，为能看到 在A和 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 ，则整数 __________．

评卷人 得分

三、解答题

20.某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进 本甲种书和 本乙种书，共付款 元．
（1）用含 ， 的代数式表示 ；
（2）若共购进 本甲种书及 本乙种书，用科学记数法表示 的值．

21.已知训练场球筐中有 、 两种品牌的乒乓球共101个，设 品牌乒乓球有 个．
（1）淇淇说：“筐里 品牌球是 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程： ．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露： 品牌球比 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明 品牌球最多有几个．

22.某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

（1）求嘉淇走到十字道口 向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

23.下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点 ）始终以 的速度在离地面 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点 ）一直保持在1号机 的正下方，2号机从原点 处沿 仰角爬升，到 高的 处便立刻转为水平飞行，再过 到达 处开始沿直线 降落，要求 后到达 处．

（1）求 的 关于 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求 的 关于 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离 不超过 的时长是多少．
(注：（1）及（2）中不必写 的取值范围)

24.如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 （ 为1~12的整数），过点 作 的切线交 延长线于点 ．

（1）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长；
（2）连接 ，则 和 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长 的值．

25.下图是某同学正在设计的一动画示意图， 轴上依次有 ， ， 三个点，且 ，在 上方有五个台阶 （各拐角均为 ），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶 到 轴距离 ．从点 处向右上方沿抛物线 ： 发出一个带光的点 ．

（1）求点 的横坐标，且在图中补画出 轴，并直接指出点 会落在哪个台阶上；
（2）当点 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 形状相同的抛物线 ，且最大高度为11，求 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 有交点；
（3）在 轴上从左到右有两点 ， ，且 ，从点 向上作 轴，且 ．在 沿 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 下落的点 能落在边 （包括端点）上，则点 横坐标的最大值比最小值大多少？
(注：（2）中不必写 的取值范围)

26.在一平面内，线段 ，线段 ，将这四条线段顺次首尾相接．把 固定，让 绕点 从 开始逆时针旋转角 到某一位置时， ， 将会跟随出现到相应的位置．
（1）论证 如图1，当 时，设 与 交于点 ，求证： ；
（2）发现 当旋转角 时， 的度数可能是多少？
（3）尝试 取线段 的中点 ，当点 与点 距离最大时，求点 到 的距离；
（4）拓展 ①如图2，设点 与 的距离为 ，若 的平分线所在直线交 于点 ，直接写出 的长（用含 的式子表示）；
②当点 在 下方，且 与 垂直时，直接写出 的余弦值．

参考答案

1.A

【解析】
根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故选择A．

2.D

【解析】
分别根据加法交换律、合并同类项、同底数幂的乘法以及去括号法则计算各项后，再进行判断即可得到结论．
解：A. = ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C不符合题意；
D. ，故选项D符合题意，
故选：D．

3.B

【解析】
直接运用不等式的性质3进行解答即可．
解：将不等式 两边同乘以-4，不等号的方向改变得 ，
∴“ ”中应填的符号是“ ”，
故选：B．

4.A

【解析】
根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．

∵ ，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．

5.C

【解析】
利用加法与减法互为逆运算，将0减去 即可得到对应答案，也可以利用相反数的性质，直接得到能与 相加得0的是它的相反数即可．
解：方法一： ；
方法二： 的相反数为 ；
故选：C．

6.A

【解析】
根据正方体展开图的对面，逐项判断即可．
解：由正方体展开图可知， 的对面点数是1； 的对面点数是2； 的对面点数是4；
∵骰子相对两面的点数之和为7，
∴ 代表 ，
故选：A．

7.A

【解析】
甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由 ，可得 ,即可得 ，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
连接 交于点
甲方案： 四边形 是平行四边形



四边形 为平行四边形．
乙方案：
四边形 是平行四边形
， ，

又

(AAS)



四边形 为平行四边形．
丙方案:
四边形 是平行四边形
， ， ，

又 分别平分
， 即
（ASA）



四边形 为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．

8.C

【解析】
先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．
解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ ，
∴ （cm），
故选：C．

9.B

【解析】
类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．



故选B．

10.B

【解析】
连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形 的中心，根据矩形的性质求出 ，再求出正六边形面积即可．
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形 的中心，
∵多边形 是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
， ，
，
故选：B．

11.C

【解析】
根据题目中的条件，可以把 ， ， ， ， 分别求出来，即可判断．
解：根据题意可求出：

A， ，故选项错误，不符合题意；
B， ，故选项错误，不符合题意；
C， ，故选项正确，符合题意；
D， ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．

12.B

【解析】
连接 根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
解：连接 ，如图，

∵ 是P关于直线l的对称点，
∴直线l是 的垂直平分线，
∴
∵ 是P关于直线m的对称点，
∴直线m是 的垂直平分线，
∴
当 不在同一条直线上时，
即
当 在同一条直线上时，
故选：B

13.B

【解析】
根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．
故选择：

14.D

【解析】
根据同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，可求出总人数，可求出喜欢红色的14人，则可知喜欢粉色和黄色的人数分别为16人和15人，可知“（ ）”应填的颜色．
解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占10%，5÷10%=50（人），
喜欢红色的人数为50×28%=14（人），
喜欢红色和蓝色一共有14+5=19（人），
喜欢剩余两种颜色的人数为50-19=31（人），其中一种颜色的喜欢人数为16人，另一种为15人，由柱的高度从高到低排列可得，第三条的人数为14人，“（ ）”应填的颜色是红色；
故选：D．

15.C

【解析】
先计算 的值，再根c的正负判断 的正负，再判断 与 的大小即可．
解： ，
当 时， ， 无意义，故A选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故B选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故C选项正确，符合题意；
当 时， ， ；当 时， ， ，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．

16.D

【解析】
Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；
Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．
解：Ⅰ、如图所示．

∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，
∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．
∴OM=ON，OE=OF．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵线段MN是⊙O的直径，
∴∠MEN=90°．
∴平行四边形MENF是矩形．
∴结论Ⅰ正确；
Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，
∵AP=AB，
∴ ．
∵MN⊥AB，EF⊥AP，
∴
∴
∴
∴ ．
∴ ．
∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，
∴ ．
如图3，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，
同理可证： ．
∴结论Ⅱ错误．
故选：D

17.          4

【解析】
（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可；
（2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可．
解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
故答案为： ．
（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为 ，若再加上 （刚好是4个丙），则 ，则刚好能组成边长为 的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块．
故答案为：4．

18.     减少     10

【解析】
先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．

19.          4

【解析】
（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当 和 时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算 的值，再根据题意分析，即可得到答案．
（1）根据题意，得
∴
∵
∴ 是 的解
∴当 时， 与 的交点坐标为：
故答案为： ；
（2）当 时，得
∴
∵
∴ 是 的解
∴ 与 的交点坐标为：
∵（1）视窗可视范围就由 及 ，且
∴
根据题意，得 为正整数
∴
∴
同理，当 时，得
∴
∴
∴
∵要能看到 在A和 之间的一整段图象
∴
故答案为：4．

20.（1）
（2）

【解析】
（1）进 本甲种书和 本乙种书共付款为2种书的总价，用单价乘以数量即可；
（2）将书的数量代入（1）中结论，求解，最后用科学记数法表示．
（1）
（2）


所以 ．

21.（1）不正确；（2）36

【解析】
（1）解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；
（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值．
解：（1） ，解得： ，不是整数，因此不符合题意；
所以淇淇的说法不正确．
（2）∵A 品牌球有 个，B 品牌球比A品牌球至少多28个，
∴ ，

解得： ，
∵x是整数，
∴x的最大值为36，
∴A 品牌球最多有36个．

22.（1） ，（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．

【解析】
（1）嘉淇走到十字道口 一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
解：（1）嘉淇走到十字道口 一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口 向北走的概率为 ；
（2）补全树状图如图所示：

嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为： ；向南的概率为 ；向北的概率为 ；向东的概率为 ；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．

23.（1） ， （km/min）（2） ， （3） min

【解析】
（1）根据图象分析得知，解析式为正比例函数，根据角度判断k值，即可求得．
（2）根据B、C两点坐标，待定系数法求表达式即可，着陆点令 ,求解即可．
（3）根据点Q的位置，观察图象，找到满足题意的范围，分类讨论计算即可．
解：（1）设线段OA所在直线的函数解析式为:
∵2号机从原点 处沿 仰角爬升
∴
又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间 （min）
∴2号机的飞行速度为： （km/min）
（2） 设线段BC所在直线的函数表达式为：
∵2号机水平飞行时间为1min,同时1号机的水平飞行为1min,
点B的横坐标为： ；点B的纵坐标为：4，即 ,
将 , 代入 中，得：

解得：
∴
令 ,解得：
∴2号机的着陆点坐标为
（3）当点Ｑ在 时，要保证 ，则： ；
当点Q在 上时，,此时 ，满足题意,时长为 （min）；
当点Q在 上时，令 ，解得： ，此时 （min），
∴当 时，时长为： （min）

24.（1）劣弧更长；
（2） 和 互相垂直，理由见解析；
（3） ．

【解析】
（1）分别求出劣弧和直径的长，比较大小；
（2）连接 ， ，求出 ，即可得出垂直的位置关系；
（3）根据圆的知识求出 ，又 是 的切线，利用三角函数求解即可．
（1）劣弧 ，
直径 ，
因为 ，故劣弧更长．
（2）如下图所示连接 ， ，由图可知 是直径，

∴对应的圆周角
∴ 和 互相垂直．
（3）如上图所示，
∵ 是 的切线
∴ ，
∴ ．

25.（1） ，见解析，点 会落在 的台阶上；（2） ，其对称轴与台阶 有交点；（3） ．

【解析】
（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点 的坐标可以确定 轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线 ，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶 有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是 在左右平移，要求点 横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
解：（1）当 ， ，
解得： ，
在左侧， ，
关于 对称，
轴与 重合，如下图：


由题意在坐标轴上标出相关信息，
当 时， ，
解得： ，
，
∴点 会落在 的台阶上，坐标为 ，
（2）设将抛物线 ，向下平移5个单位，向右平移 的单位后与抛物线 重合，则抛物线 的解析式为： ，
由（1）知，抛物线 过 ，将 代入 ，
，
解得： （舍去，因为是对称轴左边的部分过 ），
抛物线 : ，
关于 ，且 ，
其对称轴与台阶 有交点．
（3）由题意知，当 沿 轴左右平移，恰使抛物线 下落的点 过点 时，此时点 的横坐标值最大；
当 ， ，
解得： （取舍），
故点 的横坐标最大值为： ，
当 沿 轴左右平移，恰使抛物线 下落的点 过点 时，此时点 的横坐标值最小；
当 ， ，
解得： （舍去），
故点 的横坐标最小值为： ，
则点 横坐标的最大值比最小值大： ，
故答案是： ．

26.（1）证明见解析；（2） 或 ；（3） ；（4）① ；② ．

【解析】
（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，由此即可得证；
（2）分如图（见解析）所示的两种情况，先根据等边三角形的判定与性质可得 ，再根据菱形的判定与性质可得 ，然后根据平行线的性质、角的和差即可得；
（3）先根据三角形的三边关系可得当点 共线时， 取得最大值，再画出图形（见解析），利用勾股定理求出 的长，然后求出 的值，最后在 中，解直角三角形即可得；
（4）①如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得 ，再同（3）的方法可求出 的长，然后证出 ，根据相似三角形的性质即可得；
②如图（见解析），只需考虑 的情形，先利用勾股定理可得 ，再同（3）的方法可求出 的长，从而可得 的长，然后证出 ，根据相似三角形的性质和 可求出 的长，最后根据余弦三角函数的定义即可得．
证明：（1） ，
，
在 和 中， ，
，
，
，
；
（2）由题意，由以下两种情况：
①如图，取 的中点 ，连接 ，则 ，

，
是等边三角形，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
；
②如图，当点 与 的中点 重合，

则 ，
是等边三角形，
，
综上， 的度数为 或 ；
（3）如图，连接 ，

，
，当且仅当点 共线时，等号成立，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 即为所求，

，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
， ，
在 中， ，
在 中， ，
即当点 与点 距离最大时，点 到 的距离为 ；
（4）①如图，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，

平分 ， ，
， （等腰三角形的三线合一），
设 ，则 ，
，
，
解得 ，即 ，
在 和 中， ，
，
，即 ，
解得 ；
② 初中阶段没有学习钝角的余弦值，且 ，
只需考虑 的情形，
如图，设 与 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，

，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
，
，
设 ，则 ，
在 和 中， ，
，
，即 ，
解得 ，
，
，
解得 ，
则 ．