绝密·启用前

山东省济宁市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.若盈余2万元记作 万元，则 万元表示（ ）
A．盈余2万元
B．亏损2万元
C．亏损 万元
D．不盈余也不亏损

2.一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是（ ）


A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．是中心对称图形，但不是轴对称图形

3.下列各式中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.如图， ， ，若 ，那么 的度数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.计算 的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．

B．

C．

D．

7.如图，正五边形 中， 的度数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于（ ）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022

9.如图，已知 ．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
（3）作射线 交 于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）

A．
B．1
C．
D．4

10.按规律排列的一组数据： ， ，□， ， ， ，…，其中□内应填的数是（ ）
A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

11.数字5100000用科学记数法表示是____．

12.如图，四边形 中， ，请补充一个条件____，使 ．

13.已知一组数据0，1， ，3，6的平均数是 ，则 关于 的函数解析式是____．

14.如图， 中， ， ， ，点O为 的中点，以O为圆心，以 为半径作半圆，交 于点D，则图中阴影部分的面积是____．

15.如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点A，对称轴为直线 ，下面结论：

① ；
② ；
③ ；
④方程 必有一个根大于 且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．

评卷人 得分

三、解答题

16.计算： ．

17.某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：


（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？

18.如图， 中， ， ，点 ，点 ，反比例函数 的图象经过点A．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线 向上平移 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ，求 ， 的值．

19.如图，点C在以 为直径的 上，点D是 的中点，连接 并延长交 于点E，作 ， 交 的延长线于点P．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．

20.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

21.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 （图1）．因为在平面 中， ， 与 相交于点A，所以直线 与 所成的 就是既不相交也不平行的两条直线 与 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 ，求既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小．


（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到 ， 的距离分别是2和5，点N到 ， 的距离分别是4和3，P是 上一动点，求 的最小值．

22.如图，直线 分别交 轴、 轴于点A，B，过点A的抛物线 与 轴的另一交点为C，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴 交 于E，连接 交 于点F．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证： ；
（3）P为抛物线上的一动点，直线 交 于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与 相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.B

【解析】
根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
解：∵盈余2万元记作 +2 万元，
∴-2万元表示亏损2万元，
故选：B．

2.A

【解析】
根据三视图的定义，得到左视图是矩形，进而即可得到答案．
解：圆柱体的左视图是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选A.

3.D

【解析】
根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、 ，此选项错误，不符合题意；
B、 ，此选项错误，不符合题意；
C、 ，此选项错误，不符合题意；
D、 ，此选项正确，符合题意；
故选：D．

4.C

【解析】
先根据 求出 的度数，再由 即可求出 的度数．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．

5.A

【解析】
根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．
解：



．
故选：A．

6.D

【解析】
分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后在数轴上表示，再加以对照，即可得出正确选项．
解：
不等式①的解集为
不等式②的解集为x＜-5．
在数轴上表示为：


∴原不等式组无解．
故选：D

7.C

【解析】
首先由正五边形的性质得到 ≌ ， ， ，然后由正五边形 内角度数，求出 和 的度数，进而求出 的度数．

解：∵五边形 为正五边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：

8.B

【解析】
根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，再利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵m、n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故选：B．

9.C

【解析】
连接 ，则 ，根据相似三角形对应边成比例即可得出结果
如图，连接
垂直平分
,
平分





同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形



又


，

解得：

故选C

10.D

【解析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方 ，根据规律即可得到答案．
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方 ，
第 个数据为：
当 时 的分子为 ，分母为
这个数为
故选： ．

11.5.1×10⁶．

【解析】
将5100000写成a×10ⁿ(1＜|a |＜10,n为整数)的形式即可．
解：5100000=5.1×10⁶．
故填5.1×10⁶．

12. (答案不唯一)

【解析】
本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
解：添加的条件为 ，
理由是：在 和 中，
，
∴ (AAS)，
故答案为： ．

13.

【解析】
根据平均数的公式直接列式即可得到函数解析式．
解：根据题意得：

，
故答案为： ．

14.

【解析】
根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是 的面积减去 的面积和扇形 的面积，从而可以解答本题．
解：连接OD，过点D作 于E，


在 中 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积是：
，
故答案为： ．

15.①②④．

【解析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵- =1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．

16.

【解析】
先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可．
解：
=
= ．

17.（1） ；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4）

【解析】
（1）由 乘以“优秀”的人数所占的比例即可；
（2）求出这次调查的人数为： (人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可．
解：（1）在这次调查中，“优秀”
所在扇形的圆心角的度数是： ，
故答案为： ；
（2）这次调查的人数为： (人)，
则及格的人数为： (人)，
补全条形统计图如下：
；
（3）估计该校“良好”的人数为：
(人)，
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
，
共有6种等可能的结果，
抽到两名都是男生的结果有2种，
∴抽到两名都是男生的概率为 ．

18.（1） ；（2） ，

【解析】
（1）作 轴，可知 ，得出 点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点 代入（1）中解析式和直线 的解析式中，分别求出 ， 的值即可．
（1）如图，作 轴，则

， ，




点 ，点

，
∴OD=OC+CD=6，

代入 中，

．
（2） 在 上，


设直线OA解析式为
，

直线 向上平移 个单位后的解析式为：


图象经过（1，12）

解得：
， ．

19.（1）见解析；（2） ．

【解析】
（1）由AB为直径，可得∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从而∠ODB=90°．由OB=OE得∠OEB=∠OBE，又∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠EBC，得∠P=∠OBD．又∠BOD+∠OBD=90°，从而可得∠BOD+∠P=90°，即∠OBP=90°．则可证PB为⊙O切线；
（2）由（1）可得OD=1，从而PO=7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例 ，解得BP= ，最后由勾股定理可求半径OB．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD= AC，OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，
又∠EBP=∠EBC，
∴∠P=∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠BOD+∠P=90°，
∴∠OBP=90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）解：∵AC=2，
由（1）得OD= AC=1，
又PD=6，
∴PO=PD+OD=6+1=7．
∵∠P=∠P，∠BDP=∠OBP=90°，
∴△BDP～△OBP．
∴ ，
即BP²=OP•DP=7×6=42，
∴BP= ．
∴OB= ．
故⊙O的半径为 ．

20.（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

【解析】
（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：
，
整理得：x²-18x+45=0，
解得：x=15或x=3（舍去），
经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，
∴x-5=15-5=10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：
w=（15-a）（100+20a）=-20a²+200a+1500=-20（a-5）²+2000，
∵a=-20，
当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．

21.（1） ；（2）①丙；②10

【解析】
（1）连接 ，则 为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线 与 所成角的大小；
（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；
②根据对称关系作辅助线即可求得 的最小值．
解：（1）连接 ，


∵ ， 与 相交与点 ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ，
根据正方体性质可得： ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即既不相交也不平行的两条直线 与 所成角为 ；
（2）①根据正方体展开图可以判断，
甲中与原图形中对应点位置不符，
乙图形不能拼成正方体，
故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点 ，
连接 ，与 交于点P，连接MP，
则 ，
过点N作BC垂线，并延长与 交于点E，


∵点M到 的距离是5，点N到 的距离是3，
∴ ，
∵点M到 的距离是2，点N到 的距离是4，
∴ ，
∴ ，
故 最小值为10．

22.（1） ；（2）证明见解析；（3）存在，点P 的横坐标为 或± ．

【解析】
（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得 即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论；
（3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用 ，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答．
解：（1）∵直线 分别交 轴、 轴于点A，B
∴A（3,0），B（0， ），
∵抛物线 经过A（3，0），D（0，3），
∴ ，解得
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB= ，∠A0B=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；

（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴ ，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式为y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∴3x=-x²+2x+3，解得： ；

②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴ ，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m₁x，将M（1，2）代入，得：m₁=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x²+2x+3
∴2x=-x²+2x+3，解得：x=± ．
综上，点P的横坐标为 或± ．