2021年辽宁省抚顺市、铁岭市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）下列各数中，比﹣1大的数是（　　）

A．﹣3

B．﹣2

C．﹣1

D．0

【答案】D

【考点】有理数大小比较

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，∴所给的各数中，比﹣1大的数是0．故选：D．

【难度】1

2．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．

【解答】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：A．

【难度】1

3．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为（　　）

A．100°

B．120°

C．130°

D．150°

【答案】C

【考点】平行线的性质

【分析】根据“直线a∥b，∠1＝50°”得到∠3的度数，再根据∠2+∠3＝180°即可得到∠2的度数．

【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠3＝∠1＝50°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°，故选：C．

【难度】1

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．x⁵+x⁵＝x¹⁰

B．（x³y²）²＝x⁵y⁴

C．x⁶÷x²＝x³

D．x²•x³＝x⁵

【答案】D

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方

【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．

【解答】解：A、x⁵+x⁵＝2x⁵，故此选项不符合题意；B、（x³y²）²＝x⁶y⁴，故此选项不符合题意；C、x⁶÷x²＝x⁴，故此选项不符合题意；D、x²•x³＝x⁵，正确，故此选项符合题意；故选：D．

【难度】3

5．（3分）某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：

成绩（分）	90	91	95	96	97	99
人数（人）	2	3	2	4	3	1

则这组数据的中位数和众数分别为（　　）

A．95，95

B．95，96

C．96，96

D．96，97

【答案】C

【考点】众数；中位数

【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．

【解答】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第8个数是96，因此中位数是96，这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96，故选：C．

【难度】3

6．（3分）某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（　　）

A．83分

B．84分

C．85分

D．86分

【答案】D

【考点】加权平均数

【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．

【解答】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分），故选：D．

【难度】1

7．（3分）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　）

A．x

B．x＝1

C．x＝2

D．x＝4

【答案】B

【考点】一次函数与一元一次方程；函数的图象

【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．

【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故选：B．

【难度】3

8．（3分）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（　　）

A．80°

B．100°

C．120°

D．140°

【答案】C

【考点】圆周角定理；三角形的外角性质

【分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D COB，求出∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．

【解答】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°，∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°，∴∠COB＝2∠D＝120°，故选：C．

【难度】3

9．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，依题意得： ．故选：A．

【难度】3

10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【考点】动点问题的函数图象

【分析】先证明△ADE≌△FCE得到，BF＝8，由勾股定理求出AF＝10．当点M在AB上时，根据三角函数求出NM ，

从而得到△AMN的面积S x×x x²；当点M在BF上时，先利用三角函数求出MN，再求出此时S关于x的函数关系式，即可得到答案．

【解答】解：如图， ∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF ，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM ，∴NM x x，∴△AMN的面积S x×x x²，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F ，∴ ，∴△AMN的面积S ，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．

【难度】5

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．（3分）在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为 　 　．

【答案】9.899×10⁷．

【考点】科学记数法—表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：98990000＝9.899×10⁷，故答案为：9.899×10⁷．

【难度】1

12．（3分）27的立方根为　 　．

【答案】3

【考点】立方根

【分析】找到立方等于27的数即可．

【解答】解：∵3³＝27，∴27的立方根是3，故答案为：3．

【难度】1

13．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是 　 　．

【答案】（2，﹣4）

【考点】关于原点对称的点的坐标

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

【解答】解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．

【难度】1

14．（3分）在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ，则袋中黄球的个数为 　 　．

【答案】7．

【考点】概率公式

【分析】设有黄球x个，根据概率公式得： ，解得x的值即可．

【解答】解：设有黄球x个，根据题意得： ，解得：x＝7，经检验x＝7是原方程的解，故答案为：7．

【难度】1

15．（3分）如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线CE，交AB于点F，FH⊥AC于点H．若FH ，则BF的长为 　 　．

【答案】2 ．

【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形

【分析】过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质得到FG＝FH ，根据直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，∵FH⊥AC于点H．FH ，∴FG＝FH ，∵∠FGB＝90°，∠B＝30°．∴BF＝2FG＝2 ，故答案为：2 ．

【难度】3

16．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 　 　．

【答案】2

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质

【分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF 3，BC＝BF+CF＝8，根据折叠可知OH是△ABC的中位线，故BH BC＝4，OH AB＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2 ．

【解答】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图： ∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，∴AF＝CF＝5，OA＝OC，在Rt△ABF中，BF 3，∴BC＝BF+CF＝8，∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，∴O为AC中点，OH∥AB，∴OH是△ABC的中位线，∴BH＝CH BC＝4，OH AB＝2，在Rt△BOH中，OB 2 ，故答案为：2 ．

【难度】3

17．（3分）如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y （x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是 　 　．

【答案】4．

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；三角形中位线定理

【分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S_△AOE＝S_△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．

【解答】解： 如图：连接AD，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，∴AD⊥OB，AO∥CD，∴S_△AOE＝S_△AOD＝2，∴k＝4．故答案为：4．

【难度】1

18．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2 2）cm².其中正确的是 　 　.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④．

【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质

【分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（ 1）cm，即可求得△ABD面积的最大值为 （2 2）cm²，故可判断④．

【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，∴tan∠BAC ，tan∠BAC ，∴BC＝2 cm，CE cm，∴ 2，∴△ACD∽△BCE，故①正确；∵△ACD∽△BCE，∴∠EBC＝∠DAC，如图，记BE与AD、AC分别交于F、G， ∵∠AGF＝∠BGC，∴∠BCG＝∠BFA＝90°，∴AD⊥BE，故②正确；∵∠EBC＝∠DAC，∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误；如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠ABC＝30°，∴CH BC cm，∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（ 1）cm，∴△ABD面积的最大值为 （2 2）cm²，故④正确．故答案为：①②④．

【难度】3

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．（10分）先化简，再求值： ，其中m ．

【答案】 ， ．

【考点】分式的化简求值；负整数指数幂

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解： • ，当m 4时，原式 ．

【难度】1

20．（12分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

图中信息解答下列问题

（1）本次被调查的学生有 　 　人；

（2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 　 　，请补充条形统计图．

（3）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．

【答案】（1）20÷40%＝50（人），所以本次被调查的学生有50人；故答案为：50；（2）“散文”类所对应的圆心角的度数为360° 72°；最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人），条形统计图补充为： 故答案为：72°；（3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，所以所选的两人恰好都是男生的概率

【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图

【分析】（1）用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度数，然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图；

（3）通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），所以本次被调查的学生有50人；故答案为：50；（2）“散文”类所对应的圆心角的度数为360° 72°；最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人），条形统计图补充为： 故答案为：72°；（3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，所以所选的两人恰好都是男生的概率 ．

【难度】3

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．（12分）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．

（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？

（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？

【答案】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意得： ，解得： ，答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意得：45m≤60（140﹣m），解得：m≤80，答：该公司最多购买80辆A型公交车

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用

【分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意：购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意得： ，解得： ，答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意得：45m≤60（140﹣m），解得：m≤80，答：该公司最多购买80辆A型公交车．

【难度】3

22．（12分）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．

（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）

（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据： 1.414， 1.732）

【答案】（1）300 m；（2）205m．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；

（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．

【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，∴CD AC＝300（m），AD AC＝300 （m），∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，∴CD＝BD＝300（m），BC CD＝300 （m），答：景点B和C处之间的距离为300 m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300 ）m，AB＝AD+BD＝（300+300 ）m，AC+BC﹣AB＝（600+300 ）﹣（300+300 ）≈204.6≈205（m），答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．

【难度】3

五、解答满分12分

23．（12分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销售量为240个．

（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）y＝﹣10x+540；（2）当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；

（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．

【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由题意可得： ，解得： ，∴函数关系式为y＝﹣10x+540；（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）²+2890，∵﹣10＜0，∴当x＝37时，w有最大值为2890，答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售利润最大，最大利润是2890元．

【难度】3

六、解答题（满分12分）

24．（12分）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°， ，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

【答案】（1）详见解答；（2） ．

【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质

【分析】（1）由 ，可得AC＝BC，进而可证出△OAC≌△OBC，从而得出四边形OACB是菱形，由OA∥BD，AD⊥BD，可得出OA⊥DE，得出DE是切线；

（2）根据特殊锐角的三角函数值，可求出CD、AD，进而在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD，再根据△CFD∽△AFO，可得 ，进而得到DF OD即可．

【解答】解：（1）如图，连接OC，∵ ，∴AC＝BC，又∵OA＝OB，OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC ∠AOB＝60°，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴OA＝AC＝CB＝OB，∴四边形OACB是菱形，∴OA∥BD，又∵AD⊥BD，∴OA⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2，∴DC AC＝1，AD AC ，在Rt△AOD中，由勾股定理得，OD ，∵OA∥BD，∴△CFD∽△AFO，∴ ，又∵ sin30° ，AC＝OA＝2，∴ ，∴ ，即DF OD ．

【难度】3

七、解答题（满分12分）

25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．

（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；

（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．

【答案】（1）EF＝EB．（2）结论：AF²+BE²＝EF²，证明见解析部分．（3）AF的长为 或1．

【考点】三角形综合题

【分析】（1）结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．

（2）结论：AF²+BE²＝EF²如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．

（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可．

【解答】解：（1）结论：EF＝BE．理由：如图1中， ∵AD＝DB，DE⊥AB，∴EF＝EB．（2）结论：AF²+BE²＝EF²．理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ． ∵AJ⊥AC，EC⊥AC，∴AJ∥BE，∴∠AJD＝∠DEB，在△AJD和△BED中， ，∴△AJD≌△BED（AAS），∴AJ＝BE，DJ＝DE，∵DF⊥EJ，∴FJ＝EF，∵∠FAJ＝90°，∴AF²+AJ²＝FJ²，∴AF²+BE²＝EF²．（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x． ∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝2，∵EF²＝AF²+BE²＝CF²+CE²，∴x²+2²＝（5﹣x）²+1²，∴x ，∴AF ．如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x． ∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝4，∵EF²＝AF²+BE²＝CF²+CE²，∴x²+4²＝（5﹣x）²+1²，∴x＝1，∴AF＝1，综上所述，满足条件的AF的长为 或1．

【难度】5

八、解答题（满分14分）

26．（14分）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x²+2x+3；（2）（2，3）；（5，2）或（1，2 ）或（1，2 ）．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入抛物线y＝ax²+2x+c即可求解；

（2）设D（m，﹣m²+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m²+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）；

（3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M（1，2），分四种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1 ，2）或H（1 ，2），当H（1 ，2）时，P（1，2 ）；当H（1 ，2）时，P（1，2 ）．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝ax²+2x+c经过点A，B，∴ ，∴ ，∴抛物线解析式为y＝﹣x²+2x+3；（2）设D（m，﹣m²+2m+3），∵DE∥y轴交AB于点E，∴E（m，﹣m+3），∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴AG＝FG，∵DE＝FG，∴DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，∴四边形FGED是平行四边形，∵DF⊥AB，∴EG⊥AB，∴△AEG为等腰直角三角形，∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，∴AG＝FG＝6﹣2m，∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，∴F点横坐标为2m﹣3，∴FG＝﹣2m+6，∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，∴﹣m²+2m+3＝﹣3m+9，解得m＝2或m＝3（舍），∴D（2，3）；（3）令y＝0，则﹣x²+2x+3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，∴ ，∴ ，∴y＝x+1，∴∠ACM＝45°，∴CM⊥AM，联立x+1＝﹣x+3，解得x＝1，∴M（1，2），∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上， ∵H点在抛物线上，∴H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，MH＝2 ，∴KH＝4，∴K（3，4）∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），∴P（5，2）；当H（0，3）时，MH ，∴KH＝2，∴K（0，1），∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），∴P（﹣1，2），此时HK与y轴重合，∴P（﹣1，2）不符合题意；②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴， ∴H（1 ，2）或H（1 ，2），当H（1 ，2）时，MH ，∴P（1，2 ）；当H（1 ，2）时，MH ，∴P（1，2 ）；综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2 ）或（1，2 ）．

【难度】5