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湖南省株洲市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.若 的倒数为2，则 （ ）
A．
B．2
C．
D．－2

2.方程 的解是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.如图所示，四边形 是平行四边形，点 在线段 的延长线上，若 ，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

4.某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）

A．1日—10日，甲的步数逐天增加
B．1日—6日，乙的步数逐天减少
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多

5.计算： （ ）
A．
B．－2
C．
D．

6.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升
B．16升
C．18升
D．50升

7.不等式组 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．无解

8.如图所示，在正六边形 内，以 为边作正五边形 ，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.二次函数 的图像如图所示，点 在 轴的正半轴上，且 ，设 ，则 的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 于点 ， 与水平线 的夹角为 ， ，若 米， 米，车辆的高度为 （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当 时， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当 时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当 时， 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

评卷人 得分

二、填空题

11.计算： __________．

12.因式分解： __________．

13.据报道，2021年全国高考报名人数为1078万．将1078万用科学记数法表示为 ，则 __________．

14.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．

15.如图所示，线段 为等腰 的底边，矩形 的对角线 与 交于点 ，若 ，则 __________．

16.中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：

中药	黄芪	焦山楂	当归
销售单价（单位：元/千克）	80	60	90
销售额（单位：元）	120	120	360

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为___________千克．

17.点 、 是反比例函数 图像上的两点，满足：当 时，均有 ，则 的取值范围是__________．

18.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中 和 为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点 处，点 与点 关于直线 对称，连接 、 ．若 ，则 ___________度．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简，再求值： ，其中 ．

21.如图所示，在矩形 中，点 在线段 上，点 在线段 的延长线上，连接 交线段 于点 ，连接 ，若 ．


（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求线段 的长度．

22.将一物体（视为边长为 米的正方形 ）从地面 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 与斜面 上的点 重合，先将该物体绕点 按逆时针方向旋转至正方形 的位置，再将其沿 方向平移至正方形 的位置（此时点 与点 重合），最后将物体移到车厢平台面 上．已知 ， ，过点 作 于点 ， 米， 米．

（1）求线段 的长度；
（2）求在此过程中点 运动至点 所经过的路程．

23.目前，国际上常用身体质量指数“ ”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式： （ 表示体重，单位：千克； 表示身高，单位：米）．已知某区域成人的 数值标准为： 为瘦弱（不健康）： 为偏瘦； 为正常； 为偏胖； 为肥胖（不健康）．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的 数值后统计如下：

身体属性	人数
瘦弱	2
偏瘦	2
正常	11
偏胖	9
肥胖

（男性身体属性与人数统计表）

（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的 数值；
（3）当 且 （ 、 为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．

24.如图所示，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图像 与函数 的图像（记为 ）交于点A，过点A作 轴于点 ，且 ，点 在线段 上（不含端点），且 ，过点 作直线 轴，交 于点 ，交图像 于点 ．

（1）求 的值，并且用含 的式子表示点 的横坐标；
（2）连接 、 、 ，记 、 的面积分别为 、 ，设 ，求 的最大值．

25.如图所示， 是 的直径，点 、 是 上不同的两点，直线 交线段 于点 ，交过点 的直线 于点 ，若 ，且 ．

（1）求证：直线 是 的切线；
（2）连接 、 、 、 ，若 ．
①求证： ；
②过点 作 ，交线段 于点 ，点 为线段 的中点，若 ，求线段 的长度．

26.已知二次函数 ．

（1）若 ， ，求方程 的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点 、 ，且 ，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ， ．
①求证： ；
②连接BC，过点D作 于点E，点 在y轴的负半轴上，连接AF，且 ，求 的值．

参考答案

1.A

【解析】
结合倒数的定义即可求解．
解： 是2的倒数


故答案是：A．

2.D

【解析】
通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解．
解： ,
,

；
故选：D．

3.B

【解析】
根据补角的定义求 ，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可．
∵
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ．
故选：B．

4.B

【解析】
对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，甲，乙两条线，分开看，注意图例．
A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意；
B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；
C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；
D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确．
题目要求选择错误的结论，B选项错误．
故选B．

5.A

【解析】
将 化简，然后根据乘法法则运算即可．
解：
故选：A．

6.C

【解析】
先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则 ，
∴ ，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．

7.A

【解析】
先解不等式组中的每一个不等式，再利用不等式组解集的口诀“同小取小”得出解集．
解：
由①，得：x≤2，
由②，得：x＜1，
则不等式组的解集为：x＜1，
故选：A．

8.B

【解析】
利用正n边形的外角和定理计算即可
如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠FAO= =60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO= =72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．

9.D

【解析】
由图像可得 ， ，当 ， ，并与 轴交于 之间，得 ，据悉可得 ，据此求解即可．
解：由图像可知，图像开口向下，并与 轴相交于正半轴，
∴ ， ，
当 ， ，
∵ ，并由图像可得，二次函数 与 轴交于 之间，
∴
∴ ，
故选：D．

10.C

【解析】
① 三点共线，直接计算可得；
②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出 ；
③方法同②．
如图过E点作 交 的延长线于点M，


则

①当 时, 三点共线，

小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．
②当 时，

等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．
③当 时，

等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．
综上所述：说法正确的为：①②，共2个．
故选：C．

11. ．

【解析】
根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
解： ．
故答案： ．

12.

【解析】
直接提出公因式 即可完成因式分解．
解： ;
故答案为： ．

13.7．

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：万=10⁴
将1078万用科学记数法表示为1.078×10⁷
∴ =1.078×10⁷
∴n=7．
故答案为：7．

14.

【解析】
试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为 .
故答案为 .
考点：概率公式．

15.4

【解析】
先求出矩形的对角线的长，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值．
解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ，
∴AB=DE，OE=OD，
∴AB=DE=2OD=4，
∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边，
∴AC=AB=4，
故答案为：4．

16.2.5

【解析】
由销售额和销售单价可以求出每种中药的销售量，再根据平均数的求法，即可求解平均销售量．
解：由题意得黄芪销售量： （千克）；
焦山楂的销售量： （千克）；
当归的销售量： （千克）；
所以平均销售量为： （千克）．
故答案是：2.5．

17.k＜0

【解析】
先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可．
解：因为当 时， ，
说明A、B两点同时位于第一或第四象限，
∵当 时，均有 ，
∴在该图像上，y随x的增大而增大，
∴A、B两点同时位于第四象限，
所以k＜0，
故答案为：k＜0．

18.21

【解析】
由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP， ，则有CD=DP，然后可得 ，最后根据等腰三角形的性质可求解．
解：∵ ，且都为等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵点 与点 关于直线 对称， ，
∴ ，AD=DP，
∴CD=DP， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为21．

19.3

【解析】
熟记特殊三角数值、掌握绝对值的代数意义和负整数指数幂的求法，遵循运算法则计算即可．
解：原式

20. ，

【解析】
先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可．
解：原式= ，
把 代入得：原式= ．

21.（1）证明见解析；（2）

【解析】
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；
（2）利用平行四边形的性质得到 ，接着利用锐角三角函数值解直角三角形即可．
解：（1）证明：因为四边形 是矩形 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）由（1）知四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度为 ．

22.（1） 米；（2）4米．

【解析】
（1）利用直角三角形FGH即可求解；
（2）连接A₁A₂，则必过点D₁，分别求出A₁A₂和 的长，即可求出点A经过的路程．
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在 中，
（米）．

（2）连接A₁A₂，则必过点D₁，且四边形A₁BGA₂是矩形．
∴A₁A₂=BG=BF-GF= （米）．
∵四边形ABCD和四边形A₁BC₁D₁都是正方形，
∴AB=A₁B，∠A₁BC₁=∠ABC=90°．
∴∠ABA₁=180°-∠A₁BC₁-∠FBP=180°-90°-30°=60°．
∴ （米）．
∴在整个运动过程中，点A运动至A₂的路程为：
（米）．

23.（1）20；（2）20；（3） 或1．

【解析】
（1）根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，据此求解即可；
（2）根据女性的体重为51.2千克，身高为1.6米， 求解即可；
（3）根据图表可得：男性的人数为： ，女性的人数为： ，样本容量是55，可得 ，再根据 且 可得 或 ，当 时，身体属性为“不健康”的男性人数有5人，身体属性为“不健康”的女性人数有7人，据此求可求得比值；当 时，身体属性为“不健康”的男性人数有6人，身体属性为“不健康”的女性人数有6人，据此求可求得比值．
解：（1）根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，
∴这个样本中身体属性为“正常”的人数是： 人；
（2）∵女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，
∴该女性的 数值 ；
（3）根据图表可得：男性的人数为： ，女性的人数为： ，
∵样本容量是55，
∴ ，
∴ ，
∵ 且
∴ 或
当 时，身体属性为“不健康”的男性人数有3+2=5人，身体属性为“不健康”的女性人数有3+4=7人，
∴比值是 ，
当 时，身体属性为“不健康”的男性人数有4+2=6人，身体属性为“不健康”的女性人数有2+4=6人，
∴比值是
综上所述样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值是 或1．

24.（1） ，D点横坐标为 ；（2）

【解析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出 、 ，得到 关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
解：（1）∵ ，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数 的图像上，
∴ ，
∴ ,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ，
∵ ，直线 轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为 ，
综上可得： ，D点横坐标为 ．
（2）直线 轴，交 于点 ，交图像 于点 ，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为 ，
∴ ，A点到DE的距离为 ，
∴ ，
∵ 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， _最大= ；
∴ 的最大值为 ．

25.（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1

【解析】
（1）先将 转化为 ，再利用勾股定理逆定理证明 即可；
（2）①利用同一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半和同一条弧所对的圆周角相等分别得到 与 ，再利用两角分别相等的两三角形相似即可完成求证；
②分别利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的推论求出AC的长和CG的长，最后利用线段的和差关系求解即可．
解：（1）证：因为 ，且 ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）①∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴． ；
②∵ ，
∴ ，
设圆的半径为r，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∴线段 的长度为1．

26.（1） （2）①证明见解析；② =2

【解析】
（1）根据判别式公式代入求解即可．
（2）①通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等．
②通过分析条件，证明 ，得到 ，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可.
解：（1）当 ， 时，方程为： ，
，
（2）①证明：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
②解： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ , ，
在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴ =2或 =-1（舍），