绝密·启用前

湖南省邵阳市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（ ）
A．
B．0
C．3
D．

2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为 的形式，则 的值是（ ）

A．0.192
B．1.92
C．19.2
D．192

4.如图，若数轴上两点 ， 所对应的实数分别为 ， ，则 的值可能是（ ）


A．2
B．1
C．
D．

5.如图，在 中， ， ．将 绕点 逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ．则线段 的长为（ ）


A．1
B．
C．
D．

6.其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格．

接种疫苗针数	0	1	2	3
人数	2100	2280	1320	300

小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：
①计算各部分扇形的圆心角分别为 ， ， ， ．
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%．
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）


A．②①③
B．①③②
C．①②③
D．③①②

7.不等式组 的整数解的和为（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2

8.某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s

9.如图，点 ， ， 是 上的三点．若 ， ，则 的大小为（ ）


A．
B．
C．
D．

10.在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于 的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个

评卷人 得分

二、填空题

11.16的算术平方根是___________．

12.因式分解： ______．

13.如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为_______________．

14.已知点 ， 为反比例函数 图象上的两点，则 与 的大小关系是 ______ ．（填“＞”“=”或“＜”）

15.如图，已知线段 长为4．现按照以下步骤作图：①分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别相交于点 ， ；②过 ， 两点作直线，与线段 相交于点 ．则 的长为______．

16.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱．

17.如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．若 ， ，则 的长为______．

评卷人 得分

三、解答题

18.计算： ．

19.先化简，再从 ，0，1，2， 中选择一个合适的 的值代入求值．
．

20.如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 是对角线 上的两点，且 ．连接 ， ， ， ．
（1）证明： ．
（2）若 ， ，求四边形 的周长．

21.为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．

22.为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．

周学习时间	频数	频率
	5	0.05
	20	0.20
		0.35
	25
	15	0.15

（1）求统计表中 ， 的值．
（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．
（3）已知该校学生约有20000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．

23.某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 与母线 长之比为 ．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ， ．将扇形 围成圆锥时， ， 恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角 的大小
（2）若圆锥底面圆的直径 为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 ）

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 经过点 和 ．
（1）求抛物线 的对称轴．
（2）当 时，将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 ．
①求抛物线 的解析式．
②设抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，连接 ．点 为第一象限内抛物线 上一动点，过点 作 于点 ．设点 的横坐标为 ．是否存在点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

25.如图，在 中，点 为斜边 上一动点，将 沿直线 折叠，使得点 的对应点为 ，连接 ， ， ， ．
（1）如图①，若 ，证明： ．
（2）如图②，若 ， ，求 的值．
（3）如图③，若 ，是否存在点 ，使得 ．若存在，求此时 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.C

【解析】
根据相反数的概念求解即可．
-（-3）=3，即-3的相反数是3，
故选：C．

2.C

【解析】
根据中心对称图形的定义就可以选出答案．
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．

3.B

【解析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数，形如 为正整数．
解：用科学记数法将192000000表示为 ，
故选：B．

4.D

【解析】
根据数轴确定 和 的范围，再根据有理数的加法法则即可做出选择．
解：根据数轴可得-3＜ ＜-2，0＜ ＜1，则-3＜ ＜-1．
故选：D．

5.B

【解析】
根据旋转性质可知 ， ，再由勾股定理即可求出线段 的长．
解：∵旋转性质可知 ， ，
∴ ，
故选：B．

6.A

【解析】
直接根据制作扇形统计图的步骤进行分析排序即可得到结论．
解：制作扇形统计图的步骤为：
第一步：首先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%．
第二步：再计算各部分扇形的圆心角分别为 ， ， ， ．
第三步：在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．
所以，制作扇形统计图的步骤排序为：②①③．
故选：A．

7.B

【解析】
先求出不等式组的解集，再从中找出整数求和即可.
，
解①得
，
解②得
x≤1,
∴ ,
∴整数解有：-1，0，1，
∴-1+0+1=0.
故选B.

8.A

【解析】
根据函数图像进行分析计算即可判断．
解：根据图像7:05-7:20为修车时间20-5=15分钟，故A正确；
小明家距离学校2100m，故B错误；
小明修好车后花了30-20=10分钟到达学校，故C错误；
小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000）÷600= m/s，故D错误；
故选：A．

9.B

【解析】
首先根据圆周角定理求得 的度数，根据 的度数求 即可．
解：∵
∴∠BOC=2 ，
∵ ，
，
故选：B．

10.D

【解析】
直线 不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．

11.4

【解析】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4

12.

【解析】
提公因式与平方差公式相结合解题．
解： ，
故答案为： ．

13.5

【解析】
解：根据三角形的中位线定理可得DE= AC，EF= AB，DF= BC
所以△DEF的周长为△ABC的周长的一半，即△DEF的周长为5
故答案为：5．

14.＞

【解析】
根据反比例函数的性质，当反比例系数k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小可得答案．
∵ 反比例函数的解析式为 ，k＞0，
∴ 在每个象限内y随x的增大而减小，
∵ 1＜2，
∴ ＞ ．
故答案为：＞．

15.2

【解析】
根据作图得出 是线段 的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质即可得出结论．
解： 分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和点 ，

， ，
是线段 的垂直平分线，
．
故答案为2．

16.53

【解析】
设人数为 ，再根据两种付费的总钱数一样即可求解．
解：设一共有 人
由题意得：
解得：
所以价值为： （钱）
故答案是：53．

17.3

【解析】
在 中，由正弦定义解得 ，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到 ，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
解：在 中，









在矩形 中，

故答案为：3．

18.﹣1．

【解析】
根据零指数幂运算法则、绝对值符号化简、特殊角的三角函数值代入计算，然后根据同类二次根式合并求解即可．
解：
＝
＝
＝﹣1．

19. （答案不唯一）

【解析】
小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简，再结合分式有意义的条件和除数不为0，即可代值计算．
解：原式
代数式有意义，分母和除数不为0
即
当 时，原式= （答案不唯一）．

20.（1）证明见解析（2）四边形 的周长=

【解析】
（1）根据正方形的性质可得AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，再根据SAS证明两三角形全等即可
（2）先根据正方形的性质得出∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD，再根据勾股定理计算出BE，再证明四边形DEBF是菱形，即可得出四边形 的周长
（1）证明：∵四边形 是正方形
∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°
在△ADE和△CBF中
∴ (SAS)
（2）∵四边形 是正方形
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又
∴OA=OB=sin∠OABAB=
∵
∴OE=2
在Rt△EOB中，
∵四边形 是正方形
∴AO=CO，DO=BO
又∵
∴EO=FO，又DO=BO
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵AC⊥BD，即BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形
∴BE=DE=DF=BF=
∴四边形 的周长=4× =

21.购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

【解析】
根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可
解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本
根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个
钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元
则有
解得：
则购置笔记本金额为：35×5=175元
购置钢笔金额为：15×15=225元
答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

22.（1） =35，m=0.25，（2）甲同学的周学习时间在 范围内．（3）8000人．

【解析】
（1）先求抽样调查学生人数，利用频数之和100，求 ，利用频率=频数除以抽样总数关系求m；
（2）根据中位数定义确定中位数在 内即可；
（3）根据抽样参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数占抽样人数的百分比40%×该校学生约有20000人参加“青年大学习”计算即可．
解：（1）抽样调查学生人数为5÷0.05=100人，
∴ =100-5-20-25-15=35，
∴m=25÷100=0.25，
（2）频率分布直方图进行按时间长短排序，一共有100人次，
根据中位数定义位于 ，51两个位置的时间平均数，
∵5+20=25 50,5+25+35=65 51，
∴中位数在 内，
∴甲同学的周学习时间在 范围内；
（3）抽样参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为25+15=40人，
占抽样人数的百分比为40÷100×100%=40%，
该校学生约有20000人参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为20000×40%=8000人．

23.（1） =90°；（2）S_阴影=（100- ）cm²．

【解析】
（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求 即可；
（2）由 ， =90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由 可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S_△BAC= ，利用扇形面积公式求 ，利用面积差求S_阴影即可．
解：（1）设ED=x，则AD=2x，
∴ 弧长 ，
∴ ，
∴ =90°；
（2）∵ED=5cm，
∴AD=2ED=10cm，
∵ ， =90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵ ，
∴BD=CD=AD=10cm，
∴BC=BD+CD=20cm，
∴S_△BAC= cm²，
∴ ，
∴S_阴影= S_△BAC- =（100- ）cm²．

24.（1）x=2.5；（2）① ；②1或

【解析】
（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴；
（2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式；
②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值．
解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，
这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,；
（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1，
根据交点式可求出C₁二次函数表达式为 ；
②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m， ），且m＞0
由图像可知∠BOC=∠DEO=90°，
则以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似有两种情况，
（i）当△ODE∽△BCO时，
则 ，即 ，
解得m=1或-2（舍），
（ii）当△ODE∽△CBO时，
则 ，即 ，
解得
所以满足条件的m的值为1或 ．

25.（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， 的值为 或 ．

【解析】
（1）先根据平行线的判定与性质可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，然后根据平行线的判定可得 ，最后根据菱形的判定与性质即可得证；
（2）设 与 的交点为点 ，过点 作 于点 ，设 ，从而可得 ，先证出 ，从而可得 ，设 ，根据线段的和差可得 ，代入可求出 ，从而可得 ，再在 中，解直角三角形可得 ，由此可得 ，然后在 中，根据余弦三角函数的定义即可得；
（3）如图（见解析），设 ，从而可得 ，分①点 在直线 的左侧；②点 在直线 的右侧两种情况，再分别利用等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得．
（1）证明： ， ，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
；
（2）如图，设 与 的交点为点 ，过点 作 于点 ，


，
是等腰三角形， ，
设 ，则 ，
，
，
由折叠的性质得： ，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，
解得 ，
，
在 中， ，
，
则 ；
（3） ，
，
设 ，则 ，
由折叠的性质得： ，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 在直线 的左侧时，过点 作 于点 ，


（等腰三角形的三线合一），
，
在 中， ，
，
又 ，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，当点 在直线 的右侧时，过点 作 于点 ，


同理可得： ，
，
点 在 上，
由折叠的性质得： ，
在 中， ，
，
，
综上，存在点 ，使得 ，此时 的值为 或 ．