绝密·启用前

甘肃省武威市、定西市、平凉市、酒泉市、庆阳市2021年中考数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.3的倒数是（ ）
A．
B．
C．
D．

2.2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛，创新发展拓荒牛，艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．

5.将直线 向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

6.如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）

A．
B．
C．
D．

7.如图，点 在 上， ，则 （ ）


A．
B．
C．
D．

8.我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有 人， 辆车，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．

9.对于任意的有理数 ，如果满足 ，那么我们称这一对数 为“相随数对”，记为 ．若 是“相随数对”，则 （ ）
A．
B．
C．2
D．3

10.如图1，在 中， 于点 ．动点 从 点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 的面积为 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）


A．3
B．6
C．8
D．9

评卷人 得分

二、填空题

11.因式分解： ___________．

12.关于 的不等式 的解集是___________．

13.已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是_____.．

14.开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：

体温（ ）	36.3	36.4	36.5	36.6	36.7	36.8
天数（天）	2	3	3	4	1	1

这14天中，小芸体温的众数是____________ ．

15.如图，在矩形 中， 是 边上一点， 是 边的中点， ，则 ________ ．

16.若点 在反比例函数 的图象上，则 ____ （填“＞”或“＜”或“=”）

17.如图，从一块直径为 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 的扇形，则此扇形的面积为_____ ．

18.一组按规律排列的代数式： ，…，则第 个式子是___________．

评卷人 得分

三、解答题

19.计算： ．

20.先化简，再求值： ，其中 ．

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 是弦 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 于点 ，连接 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （ 两点不重合），连接 ．
（2）直接写出引理的结论：线段 的数量关系．

22.如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（ 在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

23.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：

等级	成绩

（1）本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中 __________；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在________等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人?

25.如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离 与他所用的时间 的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为___________ ，小刚骑自行车的速度为________ ；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中， 与 的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?

26.如图， 内接于 是 的直径 的延长线上一点， ．过圆心 作 的平行线交 的延长线于点 ．

（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径及 的值；

27.问题解决：如图1，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 ．

（1）求证：四边形 是正方形；
（2）延长 到点 ，使得 ，判断 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 中，点 分别在 边上， 与 相交于点 ， ，求 的长．

28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 两点，直线 交 轴于点 ．点 为直线 下方抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 分别交直线 于点 ．


（1）求抛物线 的表达式；
（2）当 ，连接 ，求 的面积；
（3）① 是 轴上一点，当四边形 是矩形时，求点 的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点 ，满足 ，求 周长的最小值．

参考答案

1.C

【解析】
根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是 ．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2.B

【解析】
结合轴对称图形的定义即可求解．
解：A：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
B：符合轴对称图形的定义，符合题意；
C：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
D：不符合轴对称图形的定义，不合题意；
故答案是：B．

3.C

【解析】
直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．
，故A错；
，故B错；
，C正确；
，故D错．
故选：C．

4.B

【解析】
结合科学计数法的表示方法即可求解．
解：50亿即5000000000，故用科学计数法表示为 ，
故答案是：B．

5.A

【解析】
只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
解：直线 向下平移2个单位后所得直线的解析式为
故选:A

6.A

【解析】
先求出 的余角∠ABF，利用平行线性质可求∠ADE．
解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°．
故选择A．

7.D

【解析】
先证明 再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
解： 点 在 上， ，


故选：

8.C

【解析】
设共有 人， 辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
解：设共有 人， 辆车，则

故选：

9.A

【解析】
先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式 去括号合并同类项化简得 ，然后整体代入计算即可．
解：∵ 是“相随数对”，
∴ ，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．

10.B

【解析】
从图象可知， ，点M运动到点 B位置时， 的面积达到最大值y=3，结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得 AC的长．
解：根据函数图象可知，点M的运动路程 ，点 M运动到点B的位置时， 的面积y达到最大值3，即 的面积为3．
∵
∴
∴ ．
∴ ，即： ，
，即： ．

∵ ，
∴ ．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B

11.

【解析】
先确定 的公因式为 ，再利用提公因式分解因式即可得到答案．
解：
故答案为：

12.

【解析】
先去分母，再移项，最后把未知数的系数化“ ”，即可得到不等式的解集．
解：
去分母得： ＞
移项得：

故答案为：

13.1

【解析】
试题分析：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，∴△=0，∴4﹣4m=0，∴m=1，故答案为1．
考点：根的判别式．

14.36.6

【解析】
根据众数的定义就可解决问题．
根据表格数据可知众数是36.6℃，
故答案为：36.6．

15.6

【解析】
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解 即可得到答案．
解： 是 边的中点， ，



矩形 ，



故答案为：

16.

【解析】
先确定 的图像在一，三象限，且在每一象限内， 随 的增大而减小，再利用反比例函数的性质可得答案．
解： ＞
的图像在一，三象限，且在每一象限内， 随 的增大而减小，
＞
＜
故答案为：

17.

【解析】
如图，连接 证明 为圆的直径，再利用勾股定理求解 再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
解：如图，连接

为圆的直径，




故答案为：

18.

【解析】
根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
解：∵当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ，
∴第n个式子是： ．

故答案为：

19.

【解析】
先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可．
解： ，
，
．

20.

【解析】
小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可．
解：原式


当 时，原式 ．

21.（1）①见解析；②见解析；（2）

【解析】
（1）①分别 为圆心，大于 为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线 即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论．
解：（1）作出线段 的垂直平分线 ，连接 ；
以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，连接 ，如图示：

（2）结论： ．理由如下：
由作图可得： 是 的垂直平分线，



四边形 是圆的内接四边形，

22.

【解析】
设 ，再利用锐角三角函数用含 的代数式表示 再列方程，解方程可得答案．
解： 设 ，
在 中， ，
在 中， ，

，

解得， ．
答：宝塔的高度约为 ．

23.（1）1个；（2）

【解析】
（1）先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75，再利用概率公式列方程，解方程可得答案；
（2）利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
解：（1）∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
∴估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有 个，依题意得
解得， ．
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
所以箱子里可能有1个白球；
（2）列表如下：

	红	红	红	白
红	（红 ，红 ）	（红 ，红 ）	（红 ，红）	（红 ，白）
红	（红 ，红 ）	（红 ，红 ）	（红 ，红）	（红 ，白）
红	（红 ，红 ）	（红 ，红 ）	（红 ，红 ）	（红 ，白）
白	（白，红 ）	（白，红 ）	（白，红）	（白，白）

或画树状图如下：

∵一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：
（红 ，白）、（红 ，白）、（红 ，白）、（白，红 ）、（白，红 ）、（白，红 ）共6种．
∴两次摸出的小球恰好颜色不同的概率 ．

24.（1）200，16；（2）见解析；（3） ；（4）940人

【解析】
（1）B等级人数40人÷B等级的百分比为20%， 利用抽查人数-其它各组人数即可；
（2） C等级200×25%=50人，m=16即可补全频率分布直方图：
（3）根据中位数定义即可求即；
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数占抽样的百分比47%乘以学生总数即可．
解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%，
∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，C等级200×25%=50人
∴m=200-40-50-70-24=16
故答案为：200，16；
（2） C等级200×25%=50人，m=16,
补全频率分布直方图如图所示：


（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56 100，16+40+50=106 101,
∴中位数在 等级内；
故答案为：C
（4）成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%，
全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有 （人）．
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人．

25.（1）3000，200；（2） ；（3）

【解析】
（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可；
（2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；
（3）小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当 时，函数值即可．
解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，
∴小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m，
行驶的路程为5000-3000=2000m，
骑自行车的速度为2000÷10=200m/min，
故答案为：3000，200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间： ．
总时间： ．
设返回时 与 的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得， ，
．
（3）小刚出发35分钟，即当 时，
，
答：此时他离家 ．

26.（1）见解析；（2）半径为3，

【解析】
（1）证明 是 的半径，即证明 ，结合直径所对圆周角是 、等腰△OAC和已知 即可求解；
（2）由（1）中结论和 可知， ，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用 三边的勾股定理即可求解．
（1）证明：如图，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线．
（2）
，即 ，
∴设 ，则 ，


，解得， ，
．即 的半径为3，

，
在 中， ，
．

27.问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8

【解析】
问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合 和 可知 ，再利用矩形的边角性质即可证明 ，即 ，即可求解；
（2）由（1）中结论可知 ，再结合已知 ，即可证明 ，从而求得 是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长 到点 ，使得 ，结合菱形的性质，可以得到 ，再结合已知 可得等边 ，最后利用线段BF长度即可求解．
解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形 是矩形，
．
．
．
．

又 ．
∴矩形 是正方形．
（2） 是等腰三角形．理由如下：
，
．
又 ，即 是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长 到点 ，使得 ，连接 ．
∵四边形 是菱形，
．
．
．

又 ．
是等边三角形，
，
．

28.（1） ；（2） ；（3）① ；②

【解析】
（1）直接利用待定系数法即可求出答案．
（2）由题意可求出 ， ．利用三角函数可知在 和 中， ，由此即可求出 ，从而可求出 ．即可求出D点坐标，继而求出 ．再根据 ，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案．
（3）①连接 ，交 于点 ．根据矩形的性质可知 ， ．由 可推出 ．由 ，可推出 ．再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标．
②在 中，利用勾股定理可求出 的长，再根据 结合 可推出 ，即要使 最小，就要 最小，由题意可知当点 在 上时， 为最小．即求出BC长即可．在 中，利用勾股定理求出 的长，即得出 周长的最小值为 ．
解：（1）∵抛物线 过 两点，
，
解得， ，
．
（2）
．
同理， ．
又 轴， 轴，
∴在 和 中， ，即 ，

．
当 时， ，
，即 ．
，
．
（3）①如图，连接 ，交 于点 ．
∵四边形 是矩形，
．
又 ，
∴ ，
．
∵四边形 是矩形，
．
，
∵当x=0时， ，
∴ ，
，
，
，
．
②在 中， ，
．

∴要使 最小，就要 最小．
，
∴当点 在 上时， 为最小．
在 中， ．
周长的最小值是 ．