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福建省2021年中考数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.在实数 ， ，0， 中，最小的数是（ ）
A．
B．0
C．
D．

2.如图所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 ．据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5.某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：

项目 作品	甲	乙	丙	丁
创新性	90	95	90	90
实用性	90	90	95	85

如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

6.某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，点F在正五边形 的内部， 为等边三角形，则 等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式 的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D．若 ，则 等于（ ）


A．
B．
C．
D．

10.二次函数 的图象过 四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则

评卷人 得分

二、填空题

11.若反比例函数 的图象过点 ，则k的值等于_________．

12.写出一个无理数x，使得 ，则x可以是_________（只要写出一个满足条件的x即可）

13.某校共有1000名学生．为了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图．根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________．

14.如图， 是 的角平分线．若 ，则点D到 的距离是_________．

15.已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于_________．

16.如图，在矩形 中， ，点E，F分别是边 上的动点，点E不与A，B重合，且 ，G是五边形 内满足 且 的点．现给出以下结论：
① 与 一定互补；
②点G到边 的距离一定相等；
③点G到边 的距离可能相等；
④点G到边 的距离的最大值为 ．
其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）

评卷人 得分

三、解答题

17.计算： ．

18.如图，在 中，D是边 上的点， ，垂足分别为E，F，且 ．求证： ．

19.解不等式组：

20.某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？

21.如图，在 中， ．线段 是由线段 平移得到的，点F在边 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在 的延长线上．

（1）求证： ；
（2）求证： ．

22.如图，已知线段 ，垂足为a．

（1）求作四边形 ，使得点B，D分别在射线 上，且 ， ， ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形 的边 的中点，求证：直线 相交于同一点．

23.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 ，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．

24.如图，在正方形 中，E，F为边 上的两个三等分点，点A关于 的对称点为 ， 的延长线交 于点G．

（1）求证： ；
（2）求 的大小；
（3）求证： ．

25.已知抛物线 与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点 ，求 的最小值；
（2）已知点 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l： 与抛物线交于M，N两点，点A在直线 上，且 ，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证： 与 的面积相等．

参考答案

1.A

【解析】
根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
解：在实数 ， ，0， 中，
， 为正数大于0，
为负数小于0，
最小的数是： ．
故选：A．

2.A

【解析】
根据从上面看到的图形即可得到答案．
从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，
故选：A．

3.D

【解析】
解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．

，
．
故选D．

4.D

【解析】
根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．
解：A： ，故 A错误；
B： ，故 B错误；
C： ，故C错误；
D： ．
故选：D

5.B

【解析】
利用加权平均数计算总成绩,比较判断即可
根据题意,得:
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
故选B

6.B

【解析】
设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘 ，据此即可列方程求解．
解：设年平均增长率为x，由题意得：
，
故选：B．

7.C

【解析】
根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
∵ 是正五边形，
∴∠ABC= =108°，AB=BC，
∵ 为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC= =66°，
∴ =∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．

8.C

【解析】
先平移该一次函数图像，得到一次函数 的图像，再由图像即可以判断出 的解集．
解：如图所示，将直线 向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y＞0，
因此，当x＞0时， ，
故选：C．

9.D

【解析】
连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出 即可．
解：连接OC，


CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5．
∴ = =
故选：D．

10.C

【解析】
求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
解： 二次函数 的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若 ，所以 ，则 一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若 ，则 不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．

11.1

【解析】
结合题意，将点 代入到 ，通过计算即可得到答案．
∵反比例函数 的图象过点
∴ ，即
故答案为：1．

12.答案不唯一（如 等）

【解析】
从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，
根据无理数的定义写一个无理数，满足 即可；
所以可以写：
①开方开不尽的数：
②无限不循环小数， ，
③含有π的数 等．只要写出一个满足条件的x即可．
故答案为：答案不唯一（如 等）

13.

【解析】
利用样本中的优秀率来估计整体中的优秀率，从而得出总体中的中长跑成绩优秀的学生人数．
解：由图知：样本中优秀学生的比例为： ，
该校中长跑成绩优秀的学生人数是： （人）
故答案是： ．

14.

【解析】
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
如图，过D作 ，则D到 的距离为DE


平分 ， ，

点D到 的距离为 ．
故答案为 ．

15.4

【解析】
由条件 变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4

16.①②④

【解析】
①利用四边形内角和为 即可求证；
②过 作 ，证明 即可得结论；
③分别求出G到边 的距离的范围，再进行判断；
④点G到边 的距离的最大值为当 时，GE即为所求．


① 四边形 是矩形

,四边形内角和为

①正确．
②如图：过 作


，

又


即点G到边 的距离一定相等
②正确．
③如图：过 作






而
所以点G到边 的距离不可能相等
③不正确．
④如图：

当 时，点G到边 的距离的最大

④正确．
综上所述：①②④正确．
故答案为①②④．

17.

【解析】
先化简二次根式，绝对值，负整式指数幂，然后计算即可得答案．



．

18.见解析

【解析】
由 得出 ，由SAS证明 ，得出对应角相等即可．
证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．

19.

【解析】
分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可．
解：解不等式 ，
，
解得: ．
解不等式 ，
，
解得： ．
所以原不等式组的解集是： ．

20.（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元

【解析】
（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到 ，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
解：（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．
依题意，得
解得
所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为 箱，
∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%
∴
依题意，得 ．
因为 ，所以w随着m的增大而增大，
所以 时，取得最大值49000元，
此时 ．
所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．

21.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
（1）通过两角和等于 ，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
证明：（1）在等腰直角三角形 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ．

由平移的性质得 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ．
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．

22.（1）作图见解析；（2）证明见解析

【解析】
（1）根据 ，点B在射线 上，过点A作 ；根据等边三角形性质，得 ，分别过点A、B， 为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；
（2）设直线 与 相交于点S、直线 与 相交于点 ，根据平行线和相似三角形的性质，得 ，从而得 ，即可完成证明．
（1）作图如下：


四边形 是所求作的四边形；
（2）设直线 与 相交于点S，


∵ ，
∴ ，
∴
设直线 与 相交于点 ，
同理 ．
∵P，Q分别为 的中点，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点S与 重合，即三条直线 相交于同一点．

23.（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜， ；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是 ， ， ， ， ， ，

【解析】
（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：
， ，
， ，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
， ，共两种，
故此时田忌获胜的概率为 ．
（2）不是．
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
， ， ，
， ， ．
齐王的出马顺序为 时，比赛的所有可能对阵是
， ， ，
， ， ，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率 ．

24.（1）见解析；（2）45°；（3）见解析

【解析】
（1）设直线 与 相交于点T，证明 是 的中位线即可；
（2）连接 ，取 的中点O，连接 ，证明点 ，F，B，G四点共圆即可；
（3）设 ，则 ，设 ，则 ，根据勾股定理找到k与a的关系，根据 列比例求解即可．
解：（1）设直线 与 相交于点T，


∵点A与 关于 对称，
∴ 垂直平分 ，即 ．
∵E，F为 边上的两个三等分点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ．
（2）连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
取 的中点O，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴点 ，F，B，G都在以 为直径的 上，
∴ ．


（3）设 ，则 ．
由（2）得 ，
∴ ，即 ，∴ ．
设 ，则 ，在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
由（2）知， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．

25.（1）-1；（2）① ；②见解析

【解析】
（1）先求得c=1，根据抛物线 与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；
（2）①根据抛物线 与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
解：因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
以方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 ．
（1）因为抛物线过点 ，所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
当 时， 取到最小值 ．
（2）①因为抛物线 与x轴只有一个公共点，
所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点 中恰有两点在抛物线的图象上，
所以只能是 在抛物线的图象上，
由对称性可得抛物线的对称轴为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ．
又点 在抛物线的图象上，所以 ，
故抛物线的解析式为 ．
②由题意设 ，则 ．
记直线 为m，分别过M，N作 ，垂足分别为E，F，
即 ，
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，

即 ．①
把 代入 ，得 ，
解得 ，
所以 ．②
将②代入①，得 ，
即 ，解得 ，即 ．
所以过点A且与x轴垂直的直线为 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
将 代入 ，得 ，
即 ，
所以 ，因此 ，
所以 与 的面积相等．