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辽宁省锦州市2021年中考真题数学试卷

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1. 的相反数是（ ）
A．
B．2
C．
D．

2.据相关研究，经过40min完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×10³
B．2.5×10⁴
C．0.25×10⁵
D．0.25×10⁶

3.如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.某班50名学生一周阅读课外书籍时间如下表所示：

时间/h	6	7	8	9
人数	7	18	15	10

那么该班50名学生一周阅读课外书籍时间的众数、中位数分别是（ ）
A．18，16.5
B．18，7.5
C．7，8
D．7，7.5

5.如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）

A．35°
B．45°
C．55°
D．65°

6.二元一次方程组 的解是（ ）
A．
B．
C．
D．

7.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6 ，CE＝2DE，则CE的长为（ ）

A．2
B．4
C．3
D．4

8.如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

9.若二次根式 有意义，则x的取值范围是___

10.甲、乙两名射击运动员参加预选赛，他们每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是s²_甲＝1.2，s²_乙＝2.4，如果从这两名运动员中选取成绩稳定的一人参赛，那么应选____（填“甲”或“乙”）．

11.一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了300次球，发现有120次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为____．

12.关于x的一元二次方程x²＋2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是________．

13.如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________．

14.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于 CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．

15.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝ （x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为______．

16.如图，∠MON＝30°，点A₁在射线OM上，过点A₁作A₁B₁⊥OM交射线ON于点B₁，将△A₁OB₁沿A₁B₁折叠得到△A₁A₂B₁，点A₂落在射线OM上；过点A₂作A₂B₂⊥OM交射线ON于点B₂，将△A₂OB₂沿A₂B₂折叠得到△A₂A₃B₂，点A₂落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃，…，A_nB_n交于点P₁，P₂，P₃，…P_n，又分别与A₂B₁，A₃B₂，A₄B₃，…，A_n＋1B_n，交于点Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n．若点P₁为线段A₁B₁的中点，OA₁＝ ，则四边形A_nP_nQ_nA_n＋1的面积为___________________（用含有n的式子表示）．

评卷人 得分

三、解答题

17.先化简，再求值：（x﹣1﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣2．

18.教育部下发的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》要求，初中生每天睡眠时间应达到9h．某初中为了解学生每天的睡眠时间，随机调查了部分学生，将学生睡眠时间分为A，B，C，D四组（每名学生必须选择且只能选择一种情况）：
A组：睡眠时间＜8h
B组：8h≤睡眠时间＜9h
C组：9h≤睡眠时间＜10h
D组：睡眠时间≥10h
如图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生有 　　人；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）请估计全校1200名学生中睡眠时间不足9h的人数．

19.为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．

（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　；
（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．

20.小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本．

21.如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．

（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．

23.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．

24.在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝ ，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转 得到DE，连接CE，BE．

（1）如图1，当 ＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝ 时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．

25.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋1分别与x轴、y轴交于点A，C，经过点C的抛物线y＝ x²＋bx＋c与直线y＝ x＋1的另一个交点为点D，点D的横坐标为6．

（1）求抛物线的表达式．
（2）M为抛物线上的动点．
①N为x轴上一点，当四边形CDMN为平行四边形时，求点M的坐标；
②如图2，点M在直线CD下方，直线OM（OM∥CD的情况除外）交直线CD于点B，作直线BD关于直线OM对称的直线B ，当直线B 与坐标轴平行时，直接写出点M的横坐标．

参考答案

1.B

【解析】
根据相反数的性质可得结果.
因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．

2.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
解：将数据25000用科学记数法表示为2.5×10⁴，
故选：B．

3.A

【解析】
根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．

4.D

【解析】
根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可．
解：由统计表给出的数据可知阅读课外书籍的时间为7小时的有18人，出现的次数最多，所以众数是7，
因为有50个学生，所以第25、26个数的和的平均数是中位数，又因为25、26个数分别是7，8，所以中位数是7.5
故选：D．

5.C

【解析】
过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．
解：过C点作CF∥AM，

∵AM∥BN，
∴AM∥CF∥BN，
∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，
∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，
∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．

6.C

【解析】
方程组利用代入消元法求出解即可．
解： ，
把②代入①得：4y＋y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解集为 ．
故选：C．

7.D

【解析】
连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，因为CE＝2DE，构造△DGE∽△COE，求出DG＝3，设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，则AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解决．
解：连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，

∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6 ，
∴AB＝ BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴ ＝ ，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG²＝AG•BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴OE＝2 ，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝ ，
故选：D．

8.B

【解析】
根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项．
解：过点D作DH⊥EF，

∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，
∴EH＝2，DH＝EF＝2，
当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴y＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向上，
当1＜x＜2时，如图，

设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M，
则S重叠＝S_△GMC'﹣S_△GNB'，
设B'K＝a，则NK＝2a，
∵GC'＝x，B'C'＝1，
∴GB'＝x﹣1，
∵△GKN是等腰直角三角形，
∴GK＝NK，
∴x﹣1＋a＝2a，
∴a＝x﹣1，
∴NK＝2x﹣2，
∴ ，
∵ ，
∴S_重叠＝ ﹣（x²﹣2x＋1）＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向下，
当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S_△ABC，是固定值，
∴该部分图象是平行x轴的线段，
故选：B．

9.x≥

【解析】
根据二次根式的被开方数为非负数列式求值．
∵二次根式 有意义，
∴2x-3≥0,
∴x≥ .
故答案是：x≥ .

10.甲

【解析】
根据方差的意义求解即可．
解：∵s²_甲＝1.2，s²_乙＝2.4，
∴s²_甲＜s²_乙，
则甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲．

11.8

【解析】
估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.4，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．
解：因为共摸了300次球，发现有120次摸到红球，
所以估计摸到红球的概率为0.4，
所以估计这个口袋中红球的数量为20×0.4＝8（个）．
故答案为：8．

12.k≥﹣1

【解析】
利用判别式的意义得到Δ＝2²﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝2²﹣4×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1．
故答案为k≥﹣1．

13.2＋2

【解析】
根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝ AC＝2，
由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝2 ，
∴DB＝DC＝2 ，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2 ，
故答案为：2＋2 ．

14.

【解析】
根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长．
解：如图，连接EG，

根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝ ＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG²﹣DE²＝DG²
∴CG²﹣2²＝（6﹣CG）²，
解得CG＝ ．
故答案为： ．

15.18

【解析】
过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，可得 ，设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，根据▱OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，

∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴ ，即 ，
设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，
∵▱OABC的面积为15，
∴BM＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴ ，
∴ND＝ BM＝ ，
∴A，D点坐标分别为（ ，3b），（ ，a＋2b），
∴ •3b＝ （a＋2b），
∴b＝ a，
∴k＝ •3b＝ •3× a＝18，
故答案为：18．

16.

【解析】
先证明△OA₁P₁∽△OA₂P₂，△OP₁B₁∽△OP₂B₂，又点P₁为线段A₁B₁的中点，从而可得P₂为线段A₂B₂的中点，同理可证P₃、P₄、P_n依次为线段A₃B₃、A₄B₄、⋯A_nB_n的中点．结合相似三角形的性质可得△P₁B₁Q₁的P₁B₁上的高与△P₂A₂O₁的A₂P₂上的高之比为1∶2，所以△P₁B₁Q₁的P₁B₁上的高为 ，同理可得△P₂B₂Q₂的P₂B₂上的高为 ⋯，从而 ＝ ﹣ ，以此类推来求 ，从而找到 的面积规律．
解：由折叠可知，OA₁＝A₁A₂＝ ，
由题意得：A₁B₁//A₂B₂，
∴△OA₁P₁∽△OA₂P₂，△OP₁B₁∽△OP₂B₂，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
又∵点P₁为线段A₁B₁的中点，
∴A₁P₁＝P₁B₁，
∴A₂P₂＝P₂B₂，
则点P₂为线段A₂B₂的中点，
同理可证，P₃、P₄、⋯P_n依次为线段A₃B₃、A₄B₄、⋯A_nB_n的中点．
∵A₁B₁//A₂B₂，
∴△P₁B₁Q₁∽△P₂A₂O₁，
∴ ＝ ＝ ，
则△P₁B₁Q₁的P₁B₁上的高与△P₂A₂O₁的A₂P₂上的高之比为1∶2，
∴△P₁B₁Q₁的P₁B₁上的高为 ，
同理可得△P₂B₂Q₂的P₂B₂上的高为 ， ，
由折叠可知A₂A₃＝ ，A₃A₄＝ ，
∵∠MON＝30°，
∴A₁B₁＝tan30°×OA₁＝1，
∴A₂B₂＝2，A₃B₃＝4， ，
∴ ＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ，
同理， ＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ，

＝ ﹣
＝
＝
＝ ．
故答案为： ．

17.x（x＋2），3﹣2

【解析】
先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
解：原式＝ ×
＝ ×
＝x（x＋2）．
把x＝ ﹣2代入，原式＝（ ﹣2）（ ﹣2＋2）＝3﹣2 ．

18.（1）200；（2）见解析；（3）480

【解析】
（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生；
（2）根据（1）中的结果可以计算出B组的人数，然后即可补全条形统计图；
（3）根据统计图图中的数据，可以计算出该校学生平均每天睡眠时间不足9h的人数．
解：（1）本次共调查了90÷45%＝200（人），
故答案为：200；
（2）B组学生有：200﹣20﹣90﹣30＝60（人），
补全的条形统计图如图2所示：

（3）1200× ＝480（人），
即估计该校学生平均每天睡眠时间不足9h的有480人．

19.（1） ；（2）图表见解析，

【解析】
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果，
所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为 ＝ ．

20.小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本

【解析】
设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量．
解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，
依题意得： ﹣ ＝5，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝1.25×12＝15．
答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本．

21.约为5.7m

【解析】
先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝ ＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．

22.（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5

【解析】
（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得 ，再根据等量代换和直角三角形的性质可得 ，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作 于G，连接OC，OD，则 ，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
（1）证明：如图1，连接OC，

∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作 于G，连接OC，OD，则 ，
∵ ，
∴四边形OGEC是矩形，
∴ ，

设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中， ，
∴ ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得： ，
∴⊙O的半径是4.5．

23.（1） ；（2） ；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 万元

【解析】
（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为 ，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）设销售收入为P（万元），
∴ ，
∴P与x之间的函数关系式为 ；
（3）设销售总利润为W，
∴ ，
整理，可得： ，
∵﹣ ＜0，
∴当 时，W有最大值为 ，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是 万元．

24.（1）见解析；（2）① ＝ ，理由见解析；②存在，

【解析】
（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论： ＝ ．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝ ，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论．
（1）证明：如图1中，

∵ ＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转 得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论： ＝ ．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝ ＝ ，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝ ＝ k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝ ，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴ ＝ ＝ （全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝ ，
∴点E的运动轨迹是射线BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝ ，
∵BJ＝ ＝ ＝ ，
∵S_△CBR＝ •CR•BJ＝ •CB•RT，
∴RT＝ ＝ ，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥ ，
∴EC＋EH的最小值为 ．

25.（1）y＝ ；（2）①点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；②点M的横坐标为3或 或

【解析】
（1）先由直线解析式求出A，C，D的坐标，再由C，D坐标求出抛物线解析式；
（2）①设N（n，0），由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直线B 与坐标轴平行，所以B ∥x轴和B ∥y轴分类讨论，以B ∥x轴为例，画出草图，由于BM平分∠DB ，又∠AOB＝∠ BM，等量代换，可以证得△AOB是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A和D点坐标，求出∠DAO的三角函数值，过B作BH⊥x轴于H，在直角△ABH中，利用AB的长度，和∠BAH的三角函数值，求出AH和BH的长度，得到B点坐标，进一步得到直线OB的解析式，联立直线OB和抛物线解析式，求得交点M点坐标，当B ∥y轴，用同样的方法解决．
解：（1）令x＝0，则y＝ x＋1＝1，
∴C点坐标为（0，1），
令y＝0，则 ，①
∴ ，
∴A点坐标为（ ，0），
令x＝6，则y＝ ，
∴D点坐标为（ ），
将C，D两点坐标代入到抛物线解析式中得，
，
解得 ，
∴抛物线的表达式为：y＝ ；
（2）①设N（n，0），
∵四边形CDMN为平行四边形，
∴ ，
∴由平移与坐标关系可得M（n＋6， ），
∵点M在抛物线上，
∴ ，
∴n²＋9n+4＝0，
∴ ，
∴点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
②第一种情况：如图1，当B ∥x轴时，分别过B，D作x轴的垂线，垂足分别为H，Q，

在直角△ADQ中，AQ＝6＋ ＝ ，DQ＝ ，
∴由勾股定理得： ，
∴tan∠DAQ＝ ＝ ，
∴cos∠DAQ＝ ，
∵∠BAH＝∠DAQ，
∴cos∠BAH＝ ，
∵直线BD与直线B 关于直线OM对称，
∴∠DBM＝∠ BM，
∵B ∥x轴，
∴∠HOB＝∠ BM＝∠DBM，
∴AB＝AO＝ ，
∴ ，
∴AH＝ ，
∴OH＝AH＋AO＝ ，
令x＝﹣ ，则y＝ ＝ ，
∴B点坐标为（﹣ ， ），
设直线OB的解析式为y＝kx，代入点B得，k＝ ，
∴直线OB的解析式为y＝ x，
联立 ，
解得 ， ，
∴点M的横坐标为3或 ，
第二种情况，如图2，当B ∥y轴时，设B 交x轴于G，

∴∠COB＝∠OBG，
∵直线BD与直线B 关于直线OM对称，
∴∠CBO＝∠OBG＝∠COB，
∴CB＝CO＝1，
过C作CE⊥BG于E，
∴CE//x轴，
∴∠BCE＝∠CAO，
∵tan∠CAO＝ ＝ ，
∴cos∠CAO＝ ，
∴cos∠BCE＝ ＝ ，
∴CE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵CE⊥BG，BG⊥x轴，
∴∠CEG＝∠BGO＝∠COG＝90°，
∴四边形CEGO为矩形，
∴EG＝CO＝1，CE＝OG＝ ，
∴BG＝BE＋EG＝ ，
∴点B的坐标为（ ），
∴直线OB的解析式为y＝2x，
联立 ，
化简得，x²－11x＋4＝0，
∴ ，
∵点M在直线CD下方，
∴x＜6，
∴x＝ ，
∴点M的横坐标为 ，
即点M的横坐标为3或 或 ．