2021年辽宁省营口市中考数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）

1．（3分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．下列四个剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】中心对称图形

【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．

【难度】1

2．（3分）中央财政下达2021年支持学前教育发展资金预算为19840000000元．数据19840000000用科学记数法表示为（　　）

A．0.1984×10¹¹

B．1.984×10¹⁰

C．1.984×10⁹

D．19.84×10⁹

【考点】科学记数法—表示较大的数

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：19840000000＝1.984×10¹⁰．故选：B．

【难度】1

3．（3分）估计 的值在（　　）

A．3和4之间

B．4和5之间

C．5和6之间

D．6和7之间

【答案】B

【考点】估算无理数的大小

【分析】先写出21的范围，再写出 的范围．

【解答】解：∵16＜21＜25，∴4 5，故选：B．

【难度】1

4．（3分）某班15名男生引体向上成绩如表：

个数	17	12	10	7	2
人数	2	3	4	5	1

则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．10，7

B．10，10

C．7，10

D．7，12

【答案】C

【考点】众数；中位数

【分析】根据中位数与众数的定义，众数是出现次数最多的一个，从小到大排列后，中位数是第8个数，解答即可．

【解答】解：7出现的次数最多，出现了5次，所以众数为7；第8个数是10，所以中位数为10．故选：C．

【难度】3

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．2a+3b＝5ab

B．5a³b÷ab＝5a²b

C．（2a+b）²＝4a²+b²

D．（﹣2a²b³）³＝﹣8a⁶b⁹

【答案】D

【考点】整式的混合运算

【分析】A．直接利用合并同类项法则计算判断即可；

B．直接利用单项式除以单项式计算得出答案；

C．直接利用完全平方公式计算得出答案；

D．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．

【解答】解：A．2a和3b，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．5a³b÷ab＝5a²，故此选项不合题意；C．（2a+b）²＝4a²+4ab+b²，故此选项不合题意；D．（﹣2a²b³）³＝﹣8a⁶b⁹，故此选项符合题意；故选：D．

【难度】3

6．（3分）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（　　）

A．41°

B．51°

C．42°

D．49°

【答案】A

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角

【分析】方法一，过点C作MC∥AB，则MC∥PH，由正六边形的内角和及三角形的内角和求得∠3＝41°，根据平行线的性质得到∠BCM＝41°，∠MCD＝79°，∠PHD＝79°，由四边形的内角和即可求解．

方法二，由正六边形的每个外角都相等得出∠AFH＝∠FAH＝60°，根据三角形的外角和得出∠AHF＝60°，即可根据三角形的外角定理求解．

【解答】解：方法一，如图，过点C作MC∥AN，则MC∥PH， ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠D＝∠DEF 120°，∵∠1＝19°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠B＝41°，∵MC∥AN，∴∠BCM＝∠3＝41°，∴∠MCD＝∠BCD﹣∠BCM＝79°，∵MC∥PH，∴∠PHD＝∠MCD＝79°，四边形PHDE的内角和是360°，∴∠2＝360°﹣∠PHD﹣∠D﹣∠DEF＝41°，方法二，如图，延长BA交GE于点H， ∴∠GAH＝∠1＝19°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴其每个外角都相等，∴∠AFH＝∠FAH＝60°，∴∠AHF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠2＝∠G＝∠AHF﹣∠GAH＝41°，故选：A．

【难度】5

7．（3分）如图，EF与AB，BC，CD分别交于点E，G，F，且∠1＝∠2＝30°，EF⊥AB，则下列结论错误的是（　　）

A．AB∥CD

B．∠3＝60°

C．FG FC

D．GF⊥CD

【答案】C

【考点】对顶角、邻补角；平行线的判定与性质；含30度角的直角三角形

【分析】先根据平行线的判定可得AB∥CD，根据直角三角形的性质可得∠3，根据含30°的直角三角形的性质可得FG GC，再由平行线的性质得到GF⊥CD，即可得出结论．

【解答】解：∵∠1＝∠2＝30°，∴AB∥CD，故A不符合题意；∵EF⊥AB，∴∠BEG＝90°，∴∠3＝90°﹣30°＝60°，故B不符合题意；∵∠2＝30°，∴FG GC，故C符合题意；∵AB∥CD，EF⊥AB，∴GF⊥CD，故D不符合题意．故选：C．

【难度】3

8．（3分）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是 上任意一点，则∠ADB度数为（　　）

A．112°

B．124°

C．122°

D．134°

【答案】B

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【分析】作 所对的圆周角∠APB，如图，先利用等腰三角形的性质得到OC平分∠AOB，则∠AOC＝∠BOC＝56°，再根据圆周角定理得到∠APB＝56°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ADB的度数．

【解答】解：作 所对的圆周角∠APB，如图，∵C为AB的中点，OA＝OB，∴OC⊥AB，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB ∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．

【难度】3

9．（3分）已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）

A．y随x增大而增大

B．k＝2

C．直线过点（1，0）

D．与坐标轴围成的三角形面积为2

【答案】C

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质

【分析】把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，求得k的值，根据一次函数图象与性质的关系对A、B、C进行判断；根据题意求得直线与坐标轴的交点，然后算出三角形的面积，即可对D进行判断．

【解答】解：把点（﹣1，4）代入一次函数y＝kx﹣k，得，4＝﹣k﹣k，解得k＝﹣2，∴y＝﹣2x+2，A、k＝﹣2＜0，y随x增大而减小，选项A不符合题意；B、k＝﹣2，选项B不符合题意；C、当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴的交点为（1，0），选项C符合题意；D、当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，与坐标轴围成的三角形面积为 1，选项D不符合题意．故选：C．

【难度】3

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y 经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8

B．﹣2

C．﹣8

D．﹣6

【答案】A

【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质

【分析】方法一：根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积＝BC×（y_A﹣y_B）＝8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．

方法二：过点A作AE⊥BC于点E，根据面积求出BC，根据勾股定理求出BE，设出A点和B点坐标，在利用反比例函数过A点和B点求出k值即可．

【解答】解：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y 经过A、B两点，∴x_B ，x_A ，即A（ ，4），B（ ，2），∴AB²＝（ ）²+（4﹣2）² 4，∴BC＝AB ，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（y_A﹣y_B）＝8，即 （4﹣2）＝8，整理得 4，解得k＝±8 ，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8 ，方法二：过点A作AE⊥BC于点E， ∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，∴AE＝4﹣2＝2，∵菱形ABCD的面积为8，∴BC•AE＝8，∴BC＝4，∴AB＝BC＝4，∴BE 2 ，设A点坐标为（a，4），则B点的坐标为（a﹣2 ，2），∵反比例函数y 经过A、B两点，∴ ，解得 ，故选：A．

【难度】5

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）若代数式 有意义，则x的取值范围是 　 　．

【答案】x

【考点】二次根式有意义的条件

【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．

【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，解得：x ，故答案为：x ．

【难度】1

12．（3分）若∠A＝34°，则∠A的补角为　 　．

【答案】146°

【考点】余角和补角

【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∠A的补角＝180°﹣∠A＝180°﹣34°＝146°．故答案为：146°．

【难度】1

13．（3分）已知关于x的一元二次方程x²+2x﹣1+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　 　．

【答案】m≤2．

【考点】根的判别式

【分析】利用判别式的意义得到Δ＝2²﹣4（﹣1+m）≥0，然后解不等式即可．

【解答】解：根据题意得Δ＝2²﹣4（﹣1+m）≥0，解得m≤2．故答案为m≤2．

【难度】1

14．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S_△EFG＝1，则S_△ABC＝　 　．

【答案】24．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理

【分析】方法一：取AG的中点M，连接DM，根据AAS证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S_△ADM S_△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S_△BDE S_△ABC，即可得出△ABC的面积．

方法二：连接AE，根据线段比例关系得出 ，再由 ，得出S_△AEG S_△ACG＝4，推出S_△ACE＝S_△ACG﹣S_△AEG＝12，即可得出S_△ABC＝2S_△ACE＝24，

【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中， ，∴△DMF≌△EGF（AAS），∴S_△DMF＝S_△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM AM，∴S_△ADM＝2S_△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴ ，∴S_△ABG＝4S_△ADM＝4×2＝8，∴S_梯形DMGB＝S_△ABG﹣S_△ADM＝8﹣2＝6，∴S_△BDE＝S_梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S_△ABC＝4S_△BDE＝4×6＝24，方法二：连接AE， ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE AC，∵F是DE的中点，∴ ，∴ ，∵S_△EFG＝1，∴S_△ACG＝16，∵EF∥AC，∴ ，∴ ，∴S_△AEG S_△ACG＝4，∴S_△ACE＝S_△ACG﹣S_△AEG＝12，∴S_△ABC＝2S_△ACE＝24，故答案为：24．

【难度】5

15．（3分）如图，∠MON＝40°，以O为圆心，4为半径作弧交OM于点A，交ON于点B，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C，画射线OC交 于点D，E为OA上一动点，连接BE，DE，则阴影部分周长的最小值为 　 　．

【答案】4 π．

【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；弧长的计算

【分析】利用作图得到OA＝OB＝OD＝4，∠BOD＝∠AOD＝20°，则根据弧长公式可计算出 的长度为 π，作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，证明△ODF为等边三角形得到DF＝4，接着利用两点之间线段最短可判断此时E′B+E′D的值最小，从而得到阴影部分周长的最小值．

【解答】解：由作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝OD＝4，∴∠BOD＝∠AOD ∠MON 40°＝20°，∴ 的长度为 π，作B点关于OM的对称点F，连接DF交OM于E′，连接OF，如图，∴OF＝OB，∠FOA＝∠BOA＝40°，∴OD＝OF，∴△ODF为等边三角形，∴DF＝OD＝4，∵E′B＝E′F，∴E′B+E′D＝E′F+E′D＝DF＝4，∴此时E′B+E′D的值最小，∴阴影部分周长的最小值为4 π．故答案为4 π．

【难度】3

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F ∠EDC，则CF＝　 　．

【答案】6

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质

【分析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．

【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE 5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F ∠EDC，∠CDH ∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴ ，∴ ，∴CF＝6，故答案为：6．

【难度】3

三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）

17．（10分）先化简，再求值： ，其中x |﹣2|﹣3tan60°．

【答案】 ， ．

【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值；实数的运算

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由二次根式的性质、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值得出x的值，继而代入计算即可．

【解答】解：原式＝[ ]• ＝（ ）• • ，当x |﹣2|﹣3tan60°＝3 2﹣3 2时，原式 ．

【难度】3

18．（10分）为加强交通安全教育，某中学对全体学生进行“交通知识”测试，学校随机抽取了部分学生的测试成绩，并根据测试成绩绘制两种统计图表（不完整），请结合图中信息解答下列问题：

学生测试成绩频数分布表

组别	成绩x分	人数
A	60≤x＜70	8
B	70≤x＜80	m
C	80≤x＜90	24
D	90≤x≤100	n

（1）表中的m值为 　 　，n值为 　 　；

（2）求扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数；

（3）若测试成绩80分以上（含80分）为优秀，根据调查结果请估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数．

【答案】（1）12，36；（2）108°；（3）1500人．

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表

【分析】（1）用60≤x＜70的频数和百分比先求出总人数，再根据频数＝总数×百分比求出n的值，然后用总数减去A、C、D的人数即可求出m的值；

（2）先求得C部分所占的比例，然后乘以360度，即可求得C部分所对应的圆心角的度数；

（3）用全校的总人数乘以测试成绩80分以上（含80分）的人数所占的比即可．

【解答】解：（1）根据题意得：抽取学生的总数：8÷10%＝80（人），n＝80×45%＝36（人），m＝80﹣8﹣24﹣36＝12（人），故答案为：12，36；（2）扇形统计图中C部分所在扇形的圆心角度数是：360° 108°；（3）2000 1500（人）．答：估计全校2000名学生中测试成绩为优秀的人数为1500人．

【难度】3

四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）

19．（10分）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．

（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 　 　；

（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．

【答案】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ，故答案为： ；（2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为

【考点】列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；概率公式

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ，故答案为： ；（2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为 ．

【难度】3

20．（10分）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．

（1）求这两种图书的单价分别是多少元？

（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？

【答案】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，依题意： 20 ，解之得：x＝15．经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，所以（1+20%）x＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，解之得：a ．因为a是正整数，所以a_最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用

【分析】（1）首先设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，根据题意可得等量关系：3600元购买的科普类图书的本数﹣20＝用2700元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．

（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，根据“费用不超过1600元”列出不等式并解答．

【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x元/本，依题意： 20 ，解之得：x＝15．经检验，x＝15是所列方程的根，且符合题意，所以（1+20%）x＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购a本，则“文学类”书购（100﹣a）本，依题意：18a+15（100﹣a）≤1600，解之得：a ．因为a是正整数，所以a_最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本．

【难度】3

五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）

21．（10分）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）

（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0， 1.4， 1.7， 2.4）

【答案】580m．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AE于N，设MD＝x m，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AD的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与NE，即可求得DN，从而求得DE．

【解答】解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x m，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x m，∴AD x m，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x m，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400（m），∴MD＝400m，∴AD MD＝400 m，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600m，∴BN＝AN AB＝300 m，∴DN＝AD﹣AN＝400 300 100 （m），在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE BN 300 300 （m），∴DE＝NE﹣DN＝300 100 580（m），即D处学校和E处图书馆之间的距离约是580m．

【难度】5

22．（12分）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且 ，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．

（1）求证：AF＝AE；

（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

【答案】（1）证明见解答过程；（2） ．

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质

【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用 得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；

（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到 ，求得CE AF AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．

【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵ ，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC 2 ，∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴ ，即 ，∴CE AF，∵AF＝AE，∴CE AE，∵AE+CE＝AC＝2 ，∴AE ，∴AF＝AE ．

【难度】5

六、解答题（本题满分12分）

23．（12分）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．

（1）直接写出y与x的函数关系式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

【答案】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得： ，解得： ，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得： ，解得： ，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y ；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）²+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）²+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大值，最大值为：5（70﹣50）²+2500＝4500（元），综上，当售价为70元/件时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元

【考点】二次函数的应用

【分析】（1）先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60＜x≤70两种情况用待定系数法分别求出函数解析式即可；

（2）设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60＜x≤70时两种情况分别求出函数解析式，然后根据自变量的取值范围和函数的性质求函数的最大值．

【解答】解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得： ，解得： ，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得： ，解得： ，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y ；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）²+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）²+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大值，最大值为：5（70﹣50）²+2500＝4500（元），综上，当售价为70元/件时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．

【难度】5

七、解答题（本题满分14分）

24．（14分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．

（1）求证：AF＝CE；

（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；

（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

【答案】（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE²+BF² BC²．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE²+CE²＝AC²，∴BF²+CE² BC²．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴ 2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH²＝EH²+CE²，∴2²＝m²+（m+1）²，∴2m²+2m﹣3＝0，∴m 或 （舍弃），∴AE＝AH+EH ，∴AD＝1 ，∴AC AD ．

【考点】三角形综合题

【分析】（1）连接AD，证明△ADF≌△CDE（SAS），可得AF＝CE．

（2）结论：CE²+BF² BC²，利用全等三角形的性质证明BF＝AE，再证明∠AEC＝90°，可得结论．

（3）设EH＝m．证明△ADH∽△CEH，可得 2，推出DH＝2m，推出AD＝CD＝2m+2，EC＝m+1，在Rt△CEH中，根据CH²＝EH²+CE²，构建方程求出m即可解决问题．

【解答】（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE²+BF² BC²．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE²+CE²＝AC²，∴BF²+CE² BC²．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴ 2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH²＝EH²+CE²，∴2²＝m²+（m+1）²，∴2m²+2m﹣3＝0，∴m 或 （舍弃），∴AE＝AH+EH ，∴AD＝1 ，∴AC AD ．

【难度】5

八、解答题（本题满分14分）

25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x²+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC＝2．

（1）求点C坐标；

（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若S＝3S_△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．

【答案】（1）C（﹣1，6）．（2）S ．（3）m的值为1或﹣2 ．

【考点】二次函数综合题

【分析】（1）如图1中，设BC交y轴于D．利用待定系数法求出b，c，解直角三角形求出点D的坐标，求出直线BD的解析式，构建方程组确定点C的坐标即可．

（2）分两种情形：当0＜m＜2时，当 m≤0时，分别求出MN，根据S •BB′•MN，构建关系式即可．

（3）分两种情形：根据S＝3S_△ACB′，构建方程求出m即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝3x²+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴ ，解得 ，∴抛物线的解析式为y＝3x²﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2 ，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得 ，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由 ，解得 （即点B）或 ，∴C（﹣1，6）．（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，∴E（ ，0），当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S •BB′•MN 2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m²﹣12m+12．当 m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S •BB′•MN 2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m²+6m+12．综上所述，S ．（3）∵直线AC交x轴于E（ ，0），B′（2m﹣2，0），当﹣6m²+6m+12＝3 |2m﹣2 |×8，解得m 或 （都不符合题意舍弃），当3m²﹣12m+12＝3 |2m﹣2 |×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2 或﹣2 （舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2 ．

【难度】5