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山东省烟台市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.若x的相反数是3，则x的值是（ ）
A．
B．
C．3
D．

2.下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3.下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4.一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（ ）


A．
B．
C．
D．

5.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万用科学记数法表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.一副三角板如图就置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中 的度数为（ ）

A．45°
B．60°
C．75°
D．85°

7.如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为 ， ，则点D的坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知关于x的一元二次方程 ，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定

10.连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.如图，二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．下列结论：
① ；②当 时，y随x的增大而增大；③ ；④ ．
其中正确的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

12.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示， ．若 ，则 的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

评卷人 得分

二、填空题

13.若 在实数范围内有意义，则 的取值范围为__________．

14.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 与井口的直径 交于点E，如果测得 米， 米， 米，那么 为____________米．

15.幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．

16.数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米，参考数据： ， ）

17.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则 的值是_______________．

18.综合实践活动课上，小亮将一张面积为 ，其中一边 为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 （如图2），则矩形的周长为_____________cm．

评卷人 得分

三、解答题

19.先化简，再求值： ，从 中选出合适的x的整数值代入求值．

20.2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．

（1）按如下分数段整理两班测试成绩

班级	70.5~75.5	75.5~80.5	80.5~85.5	85.5~90.5	90.5~95.5	95.5~100.5
甲	1	2	a	5	1	2
乙	0	3	3	6	2	1

表中 ______________；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；

（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	86		86	44.8
乙	86	88	y	36.7

表中 ______________， ____________．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是_________班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

21.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，过点A作 轴于点B， ，点C在线段 上，且 ．

（1）求k的值及线段 的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当 与 的面积相等时，请求出点P的坐标．

22.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

23.如图，已知 中， ．

（1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
① 的角平分线 ，交 于点D；
②作线段 的垂直平分线 与 相交于点O；
③以点O为圆心，以 长为半径画圆，交边 于点M．
（2）在（1）的条件下求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，求 的半径．

24.有公共顶点A的正方形 与正方形 按如图1所示放置，点E，F分别在边 和 上，连接 ， ，M是 的中点，连接 交 于点N．

(观察猜想)
（1）线段 与 之间的数量关系是____________，位置关系是___________；
(探究证明)
（2）将图1中的正方形 绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边 上，如图2，其他条件不变，线段 与 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

25.如图，抛物线 经过点 ， ，与y轴正半轴交于点C，且 ．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线 经过B，C两点．


（1）求抛物线及直线 的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当 的值最小时，求出点F的坐标及 的最小值；
（3）连接 ，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线 上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.A

【解析】
由于3的相反数是-3，则由题意可求得x的值．
∵3的相反数是-3，x的相反数是3
∴x=－3
故选：A．

2.D

【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的特征进行判断即可．
解：A选项是轴对称图形不是中心对称图形；
B选项是中心对称图形，也不是轴对称图形；
C选项是轴对称图形，不是中心对称图形；
D选项既是轴对称图形又是中心对称图形;
故选：D．

3.C

【解析】
根据幂的运算和合并同类项法则逐项判断即可．
解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故选：C．

4.C

【解析】
根据简单几何体的三视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示可得答案．
解：从左面看该几何体，选项C中的图形符合题意，
故选：C．

5.B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：5500万＝55000000＝5.5×10⁷，
故选：B．

6.C

【解析】
过 顶点M作MN平行于直角三角形的斜边，则根据两直线平行内错角相等即可求得 的度数．
如图，设两块三角板分别为△ABC、△DEF，DE与BC的交点为M，过点M作MN∥AB

则∠BMN=∠B=30゜
∵AB∥CD，MN∥AB
∴MN∥CD
∴∠NME=∠E=45゜
∴∠α=∠BMN+∠NME=30゜+45゜=75゜
故选：C．

7.D

【解析】
过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形， ，可得 ，在 中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标．
解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，

∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD为菱形， ，
∴ ， ，
在 中，
， ，
∴ ， ，
∴菱形ABCD边长为2， ，
∴ ，
点D坐标为： ，
故选：D．

8.C

【解析】
根据每一次的按键顺序列出相应的数学算式，得到结果比较即可．
第一次按键转换的数学式子为： ，即
第二次按键转换的数学式子为： ，即
第三次按键转换的数学式子为： ，即
∴
故选：

9.A

【解析】
先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断．
解：由数轴可知， 且 ，则 ，
∵△= ， ，
∴△＞0，
故选：A．

10.B

【解析】
首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率．
作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图，
设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N,
过点O作OM⊥AB于点M，则 ,

则 为等边三角形，
∴S_{正六边形ABCDEF}=6 ,
∴ ,
∴ ,
,
∴S_{正六边形ABCD}=6 ,
由题可知阴影部分为正六边形，所以
,
∴ ,
∴ 为等腰三角形，
∴ ,
∴ ,
同理可得 为等腰三角形，
∴ , ,
∴ 为等边三角形，
∴
∴ ,
在Rt△AMH中， ,
,
解得 ,
∴ ,
∴S ,
∴S_阴影= = ,
∴ S_阴影：S_{正六边形ABCDEF}= ,
故选：B．

11.B

【解析】
①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a＜0从而判断；
②由对称轴和函数的图像可以判断；
③算出a和c的关系即可；
④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；
∵二次函数的图象经过点A(—1，0)，B(3， 0)
∴对称轴
∴b =-2a，c = -3a
∵二次函数的图象开口向下
∴a ＜ 0
∴2a+b+c = -3a ＞0，∴ac＜0故①错误；
∵二次函数的图象开口向下，对称轴 ，
∴当x ＞1时，y随x的增大而减小；故②错误；
∵c = -3a
∴3a+c=0，故③正确；
由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)
∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=
∴ 故④正确；
故选：B

12.A

【解析】
利用三角函数求出OB、OC，发现它们长度的规律，按规律求解即可．
解：∵ ， ．
∴ ；
；
……
；
故选：A．

13.x≤2

【解析】
二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案为：x≤2．

14.3

【解析】
由已知可知CD与AB平行，所以可利用 解决．
解： （米），

∴AB∥DC．


（米）．
故答案为：3

15.2

【解析】
设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．

16.14．

【解析】
利用无人机所在水平线与旗杆所在竖直线所成的直角三角形，求出BC，再用40去减即可．
解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．

17.

【解析】
根据圆周角定理将 转换到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各边长，即可求得 的值．
解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，
连接AD、BD，根据圆周角定理可得 ，

每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均
在网格交点上，
，
则 ，
，
故答案为： ．

18.

【解析】
根据题意画出示意图，由全等得到边相等，根据三角形面积计算出三角形高长度，找出矩形边与高的关系，即可得到矩形宽长度，然后根据周长公式计算即可.
解：根据题意，相关的示意图如下：

由题意知，只有当点G、点H分别是三角形AB、AC边中点时，可拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ，过点A作 ,交GH于点F
此时：
∴ ,
又∵四边形 为矩形，且 ，
∴
∴四边形 为矩形
∴
∴
∵ ，且
∴
∴
所以矩形 的周长为：
故答案为：22

19.

【解析】
根据分式化简求值的步骤和方法进行即可
解：原式=


根据分式有意义的条件可知，
∴当x取 范围内的整数时，只有x=0．
∴当x=0时，原式=

20.（1）4；（2）见详解；（3）87；88；（4）乙；（5）

【解析】
（1）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得a的值；
（2）根据（1）中数据补全直方图即可；
（3）根据众数和中位数的定义取值即可；
（4）从中位数及方差的数据分析即可；
（5）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合题意的情况数，再用概率公式求解即可．
解：（1） (人)，
故答案为：4，
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：

（3）甲班出现次数的最多的为87，所以众数为87；
乙班15名学员测试成绩从小到大排列为：
，
所以中位数为88，
故答案为：87，88；
（4）从中位数看，乙班整体成绩偏高，
从方差看，乙班方差小于甲班，则乙班成绩较为稳定，
综上，乙班成绩较好，
故答案为：乙；
（5）设甲班两位同学分别为A₁、A₂，乙班学员为B，
画树状图如下：

共有6种等可能的情况出现，其中甲、乙两班各一人的
情况有4种，故甲、乙两班各一人参加全市党史知识
竞赛的概率为 ．

21.（1） ， 的长为3；（2）（0，10）．

【解析】
（1）根据 ，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解；
（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．
解：（1）∵ ， ，
∴A点纵坐标为4，代入 ，得 ，解得 ，
则A点坐标为（8,4），代入 ，得 ，解得 ，
设BC为a，则 ，
，
解得， ，则 的长为3；
（2）设P点坐标为（0，m），
的面积= ， 的面积= ，
由题意得， ，
解得， ，
P点坐标为（0，10）．

22.（1）50元；（2）八折

【解析】
（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，
根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．

23.（1）见解析，（2）见解析，（3）6．

【解析】
（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可；
（2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可；
（3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解．
（1）作图如图所示：

（2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∵∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴ 是 的切线；
（3）由（2）可知，OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．

24.（1） ， ；（2）成立，证明见解析；

【解析】
（1）证明△ABF≌△ADE，得出DE=BF，根据斜边中线等于斜边一半得出数量关系，再导角证垂直；
（2）延长AM至点H，使MH=AM，证△ABH≌△ADE，类比（1）推导即可．
解：（1）∵AB=AD，AF=AE，∠BAF=∠DAE=90°，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF=DE，∠ABF=∠EDA，
∵M是 的中点，
∴ ，即 ；
∴∠FBA=∠BAM，
∴∠BAM=∠EDA，
∵∠BAM+∠DAN=90°，
∴∠EDA +∠DAN=90°，
∴∠AND=90°，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）延长AM至点H，使MH=AM，
∵BM=FM，∠AMF=∠BMH，
∴△AMF≌△HMB，
∴AF=BH，∠AFM=∠HBM，
∵AE=AF，
∴AE=BH，
∵∠AFM+∠ABF=180°-45°=135°，
∴∠ABH=∠HBM+∠ABF=135°，
∵∠EAD=∠EAB+∠GAE=135°，
∴∠EAD =∠ABH，
∵AB=AD，
∴△ABH≌△ADE，
∴AH=DE，∠BAH=∠EDA，
∴ ；
∵∠BAM+∠DAN=90°，
∴∠EDA +∠DAN=90°，
∴∠AND=90°，
∴ ；

25.（1） ， ；（2）F点坐标为（1，3）； 的最小值为 ；（3）P点坐标为 或 ；

【解析】
（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时， 的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入 即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，C点坐标为（0,4），
∵抛物线 经过点 ， ，可设解析式为 ，
把（0,4）代入，得 ，
解得， ，
抛物线解析式为 ，即 ，
设BC的解析式为 ，把 ，（0,4）代入，
得 ，解得 ，
∴BC的解析式为 ；
（2）∵点F是抛物线对称轴上一点，
∴FA=FB，当B、F、C三点共线时， 的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点，
抛物线 的对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
则F点坐标为（1，3）；
，即 的最小值为 ；

（3）由（1）得， ，即 ，
作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，
∵∠QEP=90°，
∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，
∴∠MQE=∠PEN，
∴△MQE∽△NEP，
∴ ，
如图1，设P点坐标为 ，
则PN= ，EN= ，EM= ，MQ= ，
则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；

如图2，设P点坐标为 ，
则PN= ，EN= ，EM= ，MQ= ，
则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；
综上，P点坐标为 或 ；