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广西贵港市2021年中考数学真题

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得分

一、选择题

1.﹣3的绝对值是（　　）
A．﹣3
B．3
C．-
D．

2.若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠－5
B．x≠0
C．x≠5
D．x＞－5

3.下列计算正确的是（ ）
A．
B．2a－a＝1
C．
D．

4.一组数据8，7，8，6，4，9的中位数和平均数分别是（ ）
A．7和8
B．7.5和7
C．7和7
D．7和7.5

5.在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6.不等式1＜2x－3＜x＋1的解集是（ ）
A．1＜x＜2
B．2＜x＜3
C．2＜x＜4
D．4＜x＜5

7.已知关于x的一元二次方程x²－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（ ）
A．－2
B．2
C．－1
D．1

8.下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似

9.某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10.如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是 的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（ ）

A．
B．2
C．
D．1

11.如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）

A．
B．
C．1
D．

12.如图，在 ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

评卷人 得分

二、填空题

13.甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为 ，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．

14.第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000人，将数据1411780000用科学记数法表示为________．

15.如图，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1的度数是________．

16.如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是________．（结果保留 ）

17.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若 ，则tan∠DEC的值是________．

18.我们规定：若 ，则 ．例如 ，则 ．已知 ，且 ，则 的最大值是________．

评卷人 得分

三、解答题

19.（1）计算： ；
（2）解分式方程： ．

20.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知 ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使 ADE∽ ACB．

21.如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．

22.某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．请根统计图表提供的信息，解答下列问题：

组别	锻炼时间（分）	频数（人）	百分比
A	0≤x≤20	12	20%
B	20＜x≤40	a	35%
C	40＜x≤60	18	b
D	60＜x≤80	6	10%
E	80＜x≤100	3	5%

（1）本次调查的样本容量是 ；表中a＝ ，b＝ ；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ；
（4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？

23.某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱，计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？

24.如图，⊙O是 ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝ ，AD＝2，求FD的长．

25.如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使 ，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

26.已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

参考答案

1.B

【解析】
根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.
根据绝对值的性质得：|-3|=3．
故选B．

2.A

【解析】
根据分式有意义的条件列不等式求解．
解：根据分式有意义的条件，可得： ，
，
故选：A．

3.C

【解析】
根据合并同类项的运算法则、单项式乘单项式和幂的乘方的运算法则解答即可．
解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．

4.B

【解析】
根据中位数、平均数的定义分别列出算式，再进行计算即可．
解：把这些数从小到大排列为4，6，7，8，8，9，
则中位数是 ；
平均数是： ．
故选：B．

5.C

【解析】
直接利用关于 轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出 ， 的值，进而得出答案．
解： 点 与点 关于 轴对称，
， ，
， ，
则 ．
故选：C．

6.C

【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可．
解：不等式组化为 ，
由不等式①，得 ，
由不等式②，得 ，
故原不等式组的解集是 ，
故选：C．

7.D

【解析】
利用根与系数的关系得出 ， ，进而得出关于 的一元二次方程求出即可．
解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
，
整理得出： ，
解得： ，
故选：D．

8.D

【解析】
利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．

9.B

【解析】
根据该种植基地2018年及2020年的蔬菜产量，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得： ．
故选：B．

10.A

【解析】
连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，根据圆内接四边形的性质得 ，根据对称以及圆周角定理可得 ，由点 是 的中点可得 ， ，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接 、 、 、 、 ，过点 作 于点 ，

，
，
点 关于 对称的点为 ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
， ，
， ，
直径 ，
，
，
．
故选：A．

11.A

【解析】
设 ，首先证明 ，再利用平行线分线段成比例定理求出 ，推出 ， ，可得结论．
解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故选：A．

12.B

【解析】
如图，取 的中点 ，连接 ， ．首先证明 ，求出 ， ，根据 ，可得结论．
解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．

，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
的最小值为4，
故选：B．

13.乙

【解析】
根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案．
解： ， ，
，
两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．

14.

【解析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
解： ，
故答案是： ．

15.

【解析】
根据平行线的性质得出 ，根据角平分线定义求出 ，再根据平行线的性质即可得解．
解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
故答案为： ．

16.

【解析】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，根据题意得： ，解得： ，然后根据高为4，利用勾股定理得 ，从而求得底面半径和母线长，利用侧面积公式求得答案即可．
解：设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
高为4，
，
解得： ，
母线长为 ，
圆锥的侧面积为 ，
故答案为： ．

17.

【解析】
过点 作 于点 ，易证 ，从而可求出 ， ，设AB＝a，则AD＝2a，根据三角形的面积可求出AE，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：如图，过点 作 于点 ，设 ，
在 与 中，
，
，
， ，
，tan∠ADB＝ ＝ ，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝ a，
∵S_△ABD＝ BD•AE＝ AB•AD，
∴AE＝CF＝ a，
∴BE＝FD＝ a，
∴EF＝BD﹣2BE＝ a﹣ a＝ a，
∴tan∠DEC＝ ＝ ，
故答案为： ．

18.8

【解析】
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于 的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
解：根据题意知： ．
因为 ，
所以当 时， ．
即 的最大值是8．
故答案是：8．

19.（1） ；（2）

【解析】
（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，然后再计算；
（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
解：（1）原式

；
（2）整理，得： ，
方程两边同时乘以 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原分式方程的解．

20.（1）见解析；（2）见解析

【解析】
（1）作线段 的垂直平分线交 于点 ，连接 即可．
（2）作 ，射线 交 于点 ，点 即为所求．
解：（1）如图，点 即为所求．
（2）如图，点 即为所求．

21.（1）3；（2）

【解析】
（1）将 代入 ，故其中交点的坐标为 ，将 代入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数 的图象向下平移4个单位得到 ，一次函数和反比例函数解析式联立，解方程组求得 、 的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
解：（1）将 代入 ，
交点的坐标为 ，
将 代入 ，
解得： ；
（2）将一次函数 的图象向下平移4个单位长度得到 ，
由 ，
解得： 或 ，
， ，
．

22.（1）60，21，30%；（2）见解析；（3） ；（4）330人

【解析】
（1）由 的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题；
（2）将频数分布直方图补充完整即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比即可．
解：（1）本次调查的样本容量是： ，
则 ， ，
故答案为：60，21， ；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：

（3）画树状图如图：

共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 ，
故答案为： ；
（4） （人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．

23.（1）甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；（2）见解析

【解析】
（1）设甲型货车每辆可装载 箱材料，乙型货车每辆可装载 箱材料，根据“若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用 辆甲型货车，则租用 辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，结合 为整数，即可得出各租车方案．
解：（1）设甲型货车每辆可装载 箱材料，乙型货车每辆可装载 箱材料，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用 辆甲型货车，则租用 辆乙型货车，
依题意得： ，
解得： ．
又 为整数，
可以取18，19，
该公司共有2种租车方案，
方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；
方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．

24.（1）见解析；（2）

【解析】
（1）根据切线的判定，连接 ，证明出 即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由 ，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得 ，再根据相似三角形的性质可求出答案．
解：（1）连接 ，
是 的直径，
，
，
又 ，
，
又 ．
，
即 ，
是 的切线；
（2） ， ，
，
在 中，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
又 ，
即 ，
解得 （取正值），
．

25.（1） ；（2） 或 ；（3） 或 或

【解析】
（1）先根据对称轴得出 ，再由点 的坐标求出 ，最后将点 的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点 在 轴上方时，先判断出 ，进而得出点 在直线 上，再求出点 的坐标，最后用待定系数法求出直线 的解析式；Ⅱ、当点 在 轴下方时，判断出 ，即可得出结论；
（3）先求出点 的坐标，进而求出 的面积，得出 的面积，设 ， ，过 作 轴的平行线交直线 于 ，得出 ，进而表示出 ，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
解：（1） 抛物线的对称轴为 ，
，
，
点 的坐标为 ，
，
抛物线的解析式为 ，
点 在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）Ⅰ、当点 在 轴上方时，如图1，

记 与 的交点为点 ，
，
，
直线 垂直平分 ，
点 在直线 上，
点 ， ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 ，
点 点 关于 对称，
，
直线 的解析式为 ，
即直线 的解析式为 ；
Ⅱ、当点 在 轴下方时，如图2，

，
，
由Ⅰ知，直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
即直线 的解析式为 ；
综上，直线 的解析式为 或 ；
（3）由（2）知，直线 的解析式为 ①，
抛物线的解析式为 ②，
或 ，
，
，
，
，
点 在 轴左侧的抛物线上，
设 ， ，
过 作 轴的平行线交直线 于 ，

，
，
，
或 （舍）或 或 ，
或 或 ．

26.（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）

【解析】
（1）结论 ．证明 ，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明 ，再利用相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 即可．
解：（1）结论： ．
理由：如图1中，

， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，

， ，
，
，
，
， ，
，
．
（3）如图3中，

由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
．