绝密★启用前
200827-2024年上海市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．如果
，那么下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁选个开花时间最短的并且最平稳的．
种类 |
甲种类 |
乙种类 |
丙种类 |
丁种类 |
平均数 |
2.3 |
2.3 |
2.8 |
3.1 |
方差 |
1.05 |
0.78 |
1.05 |
0.78 |
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
5．四边形
为矩形，过 、
作对角线
的垂线，过 、
作对角线
的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
6．在
中，
，
，
，点
在
内，分别以 ，，
为圆心画，圆
半径为1，圆
半径为2，圆
半径为3，圆
与圆
内切，圆
与圆
的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
二、填空题
7．计算：
．
8．计算
．
9．已知
，则
．
10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为
，一张普通唱片的容量约为
，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
11．若正比例函数
的图像经过点
，则
的值随
的增大而 ．（选填“增大”或“减小”）
12．在菱形
中，
，则
．
13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．
14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是
，
则袋子中至少有 个绿球．
15．如图，在平行四边形
中，
为对角线
上一点，设
，
，若
，则
（结果用含
，
的式子表示）．
16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和
增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷
张，其中
人没有讲解需求，剩余
人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共
万人的参观中，需要
增强讲解的人数约有 人．
17．在平行四边形
中，
是锐角，将
沿直线
翻折至
所在直线，对应点分别为
，
，若
，则
.
18．对于一个二次函数
中存在一点
，使得
，则称
为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线
“开口大小”为 .
三、解答题
19．计算：
．
20．解方程组：
①②
．
21．在平面直角坐标系
中，反比例函数
（k为常数且
）上有一点
，且与直线
交于另一点
．
(1)求
与
的值；
(2)过点
作直线
轴与直线
交于点
，求
的值．
22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为
．
(1)求：
①
两个直角三角形的直角边（结果用
表示）；
②
小平行四边形的底、高和面积（结果用
表示）；
(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：
①
不与给定的图形状相同；
②
画出三角形的边．
23．如图所示，在矩形
中，
为边
上一点，且
.
（1）
求证：
；
（2）
为线段
延长线上一点，且满足
，求证：
.
24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线
后得到的新抛物线经过
和
．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线
（
）与新抛物线交于点
，与原抛物线交于点
．
①如果
小于3，求
的取值范围；
②记点
在原抛物线上的对应点为
，如果四边形
有一组对边平行，求点
的坐标．
25．在梯形
中，
，点
在边
上，且
．
(1)如图1所示，点
在边
上，且
，连接
，求证：
；
(2)已知
；
①如图2所示，连接
，如果
外接圆的心恰好落在
的平分线上，求
的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点
在边
上，连接
，
，
，
与
交于
，如果
，且
，
，求边
的长．
参考答案
一、单选题
1. C
解：A．两边都加上
，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
B．两边都加上
，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；
C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；
D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意，
故此题答案为C．
2. D
解：函数
的定义域是
，
解得
，
故此题答案为D．
3. D
解：A．
，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B．
，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C．
，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D．
，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意.
故此题答案为D．
4. B
解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，
四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，
∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，
故此题答案为B．
5. A
解：如图所示：
四边形
为矩形，
，
，
过
、
作对角线
的垂线，过
、
作对角线
的垂线，
，
如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，
故此题答案为A．
6. B
解：
圆
半径为1，圆
半径为3，圆
与圆
内切，
圆
含在圆
内，即
，
在以
为圆心、
为半径的圆与
边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到
位置时，圆
与圆
圆心距离
最大，为
，
，
圆
与圆
相交，故此题答案为B．
二、填空题
7.
解：
．
8.
解：
．
9. 1
解：根据题意可知
，
∴
，解得
．
10.
解：蓝光唱片的容量是普通唱片的
倍，
11. 减小
解：
正比例函数
的图象经过点
，
，解得
，
又
，
的值随
的增大而减小．
12.
解：∵四边形
是菱形，
∴
，
∴
．
13. 4500
解：设
，把
，
代入，
得
，
解得
，
∴
，
当
时，
，
即投入80万元时，销售量为4500万元．
14. 3
解：设袋子中绿球有
个，
∵摸到绿球的概率是
，
∴球的总数为
个，∴白球的数量为
个，
∵每种球的个数为正整数，∴
，
且
为正整数，∴
，
且
为正整数，
∴
的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球．
15.
解：
四边形
是平行四边形，
，
．
是
上一点，
，
，
，
．
16.
解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，
∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为
，
由条形统计图可知需要
增强讲解的人数为
人，
∴需要
增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为
，
∴在总共
万人的参观中，需要
增强讲解的人数约有
（人）.
17.
或
当
在线段
上时，如图（1），设直线
交
于点
.
根据
，可设
,
,
，由翻折的性质知
沿直线
翻折至
所在直线，
，
,
.过
作
的垂线与
交于
，
，
.
当
在
的延长线上时，如图（2），设直线
交
于点
.
根据
，可设
,
,
，同理可得
.
过
作
的垂线与
交于
，
，
，故答案为
或
.
18. 4
根据抛物线的“开口大小”的定义可知
中存在一点
，使得
，
.
，
中存在一点
，使得
，
，
，
抛物线
“开口大小”为4，故答案为4.
【关键点拨】
理解新定义抛物线的“开口大小”，将
化为顶点式，再按照定义求解即可得到答案.
三、解答题
19.
解：
．
20.
，
或者
，
．
解：
①②
，
由
②
得
,代入
①
中得
，
，
解得
或
，
当
时，
，当
时，
，
∴方程组的解为
或者
．
21.
(1)
，
；(2)
．
（1）解：把
代入
，得
，解得
，
∴
，
把
代入
，得
，
∴
，
把
代入
，得
；
（2）解：由（1）知
，设
与
轴相交于
，
∵
轴，
轴
轴，
∴ ，，
的纵坐标相同，均为
，
，
把
代入
，得
，解得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
22.
(1) ①
等腰直角三角板直角边为
，含
的直角三角形板直角边为
和
； ②
底为
，高为
，面积为
； (2)画图见解析．
（1）解：①如图
①
，
为等腰直角三角板，
，
则
；
如图②，
为含
的直角三角形板，
，
，
，
则
，
；
综上，等腰直角三角板直角边为
，含
的直角三角形板直角边为
和
；
②
由题意可知
，
∴四边形
是矩形，
由图可得，
，
，
∴ 矩形
，
故小平行四边形的底为
，高为
，面积为
.
（2）解：如图，即为所作图形．
23.
（1）
【证明】在矩形
中，
，
，
，
，
，
.
，
，
，即
.
，
.（2）
连接
交
于点
，如图所示.
在矩形
中，
，
，
，
，
.在矩形
中，
，
，
，
，
.在
和
中， ≌
，
.
24.
(1)
；
(2)①
；②
．
（1）解：设平移抛物线
后得到的新抛物线为
，
把
和
代入可得
，
解得
，
∴新抛物线为
；
（2）解：①如图，设
，则
，
∴
，
∵
小于3，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
②∵
，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得,
在
的右边，当
时，
∴
轴，
∴
，
∴
，
由平移的性质可得,
，即
；
如图，当
时，则
，
过
作
于
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
，
，
∴
，解得
（不符合题意舍去）.
综上,
.
25.
(1)见详解；
(2)①
；②
（1）证明：延长
交于点
，
∵
，∴
，
∵
，
，
∴
，
，∴
，∴
；
（2）①解：记点
为
外接圆圆心，过点
作
于点
，连接
，
∵点
为
外接圆圆心，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
≌
，∴
，
∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，
∴
，∴
，∴
外接圆半径为
；
②延长
交于点
，过点
作
，垂足为点
，
∵
，∴
，∴
，
由①知
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
由
，
，得
，∴
，∴
，∴
，
∵
，
∴
，∴
，
设
，则
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴设
，
∵
，
，∴
，∴
，即
，
∴
，解得
，∴
，
在
中，由勾股定理得
，
∴
，∴
，∴
，
而
，
∴在
中，由勾股定理得
，
∵
，∴
．