【327955】2024年上海市中考数学试题

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200827-2024年上海市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．如果 ，那么下列正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．函数 的定义域是（      ）

A． B． C． D．

3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

4．科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，从甲、乙、丙、丁选个开花时间最短的并且最平稳的．

种类	甲种类	乙种类	丙种类	丁种类
平均数	2.3	2.3	2.8	3.1
方差	1.05	0.78	1.05	0.78

A．甲种类　　　　B．乙种类　　　　C．丙种类　　　　D．丁种类

5．四边形 为矩形，过 、 作对角线 的垂线，过 、 作对角线 的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（      ）

A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形

6．在 中， ， ， ，点 在 内，分别以 ，， 为圆心画，圆 半径为1，圆 半径为2，圆 半径为3，圆 与圆 内切，圆 与圆 的关系是（      ）

A．内含　　　　B．相交　　　　C．外切　　　　D．相离

二、填空题

7．计算：            ．

8．计算       ．

9．已知 ，则            ．

10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量约为 ，则蓝光唱片的容量是普通唱片的           倍．（用科学记数法表示）

11．若正比例函数 的图像经过点 ，则 的值随 的增大而      ．（选填“增大”或“减小”）

12．在菱形 中， ，则            ．

13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为           万元．

14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是 ， 则袋子中至少有           个绿球．

15．如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，设 ， ，若 ，则            （结果用含 ， 的式子表示）．

16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和 增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷 张，其中 人没有讲解需求，剩余 人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共 万人的参观中，需要 增强讲解的人数约有          人．

  

17．在平行四边形 中， 是锐角，将 沿直线 翻折至 所在直线，对应点分别为 ， ，若 ，则                   .

18．对于一个二次函数 中存在一点 ，使得 ，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为      .

三、解答题

19．计算： ．

20．解方程组： ①② ．

21．在平面直角坐标系 中，反比例函数 （k为常数且 ）上有一点 ，且与直线 交于另一点 ．

(1)求 与 的值；

(2)过点 作直线 轴与直线 交于点 ，求 的值．

22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为 ．

(1)求：

① 两个直角三角形的直角边（结果用 表示）；

② 小平行四边形的底、高和面积（结果用 表示）；

(2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：

① 不与给定的图形状相同；

② 画出三角形的边．

23．如图所示，在矩形 中， 为边 上一点，且 .

（1） 求证： ；

（2） 为线段 延长线上一点，且满足 ，求证： .

24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过 和 ．

(1)求平移后新抛物线的表达式；

(2)直线 （ ）与新抛物线交于点 ，与原抛物线交于点 ．

①如果 小于3，求 的取值范围；

②记点 在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点 的坐标．

25．在梯形 中， ，点 在边 上，且 ．

(1)如图1所示，点 在边 上，且 ，连接 ，求证： ；

(2)已知 ；

①如图2所示，连接 ，如果 外接圆的心恰好落在 的平分线上，求 的外接圆的半径长；

②如图3所示，如果点 在边 上，连接 ， ， ， 与 交于 ，如果 ，且 ， ，求边 的长．

参考答案

一、单选题

1. C

解：A．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；

B．两边都加上 ，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；

C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；

D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意，

故此题答案为C．

2. D

解：函数 的定义域是 ， 解得 ，

故此题答案为D．

3. D

解：A．  ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；

B．  ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；

C．  ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；

D．  ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意.

故此题答案为D．

4. B

解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，

四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，

∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，

故此题答案为B．

5. A

解：如图所示：

四边形 为矩形，

， ，

过 、 作对角线 的垂线，过 、 作对角线 的垂线，

，

如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，

故此题答案为A．

6. B

解： 圆 半径为1，圆 半径为3，圆 与圆 内切，

圆 含在圆 内，即 ，

在以 为圆心、 为半径的圆与 边相交形成的弧上运动，如图所示：

当到 位置时，圆 与圆 圆心距离 最大，为 ，

， 圆 与圆 相交，故此题答案为B．

二、填空题

7.

解： ．

8.

解： ．

9. 1

解：根据题意可知 ，

∴ ，解得 ．

10.

解：蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍，

11. 减小

解： 正比例函数 的图象经过点 ，

，解得 ，

又 ，

的值随 的增大而减小．

12.

解：∵四边形 是菱形，

∴ ，

∴ ．

13. 4500

解：设 ，把 ， 代入，

得 ，

解得 ，

∴ ，

当 时， ，

即投入80万元时，销售量为4500万元．

14. 3

解：设袋子中绿球有 个，

∵摸到绿球的概率是 ， ∴球的总数为 个，∴白球的数量为 个，

∵每种球的个数为正整数，∴ ， 且 为正整数，∴ ， 且 为正整数，

∴ 的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球．

15.

解： 四边形 是平行四边形，

， ．

是 上一点， ，

，

，

．

16.

解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，

∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为 ，

由条形统计图可知需要 增强讲解的人数为 人，

∴需要 增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为 ，

∴在总共 万人的参观中，需要 增强讲解的人数约有 （人）.

17. 或

当 在线段 上时，如图（1），设直线 交 于点 .

根据 ，可设 , , ，由翻折的性质知 沿直线 翻折至 所在直线， ， , .过 作 的垂线与 交于 ， ， .

当 在 的延长线上时，如图（2），设直线 交 于点 .

根据 ，可设 , , ，同理可得 .

过 作 的垂线与 交于 ， ， ，故答案为 或 .

18. 4

根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得 ， . ， 中存在一点 ，使得 ， ， ， 抛物线 “开口大小”为4，故答案为4.

【关键点拨】

理解新定义抛物线的“开口大小”，将 化为顶点式，再按照定义求解即可得到答案.

三、解答题

19.

解：

．

20. ， 或者 ， ．

解： ①② ，

由 ② 得 ,代入 ① 中得 ，

，

解得 或 ，

当 时， ，当 时， ，

∴方程组的解为 或者 ．

21. (1) ， ；(2) ．

（1）解：把 代入 ，得 ，解得 ，

∴ ，

把 代入 ，得 ，

∴ ，

把 代入 ，得 ；

（2）解：由（1）知 ，设 与 轴相交于 ，

  

∵ 轴， 轴 轴，

∴ ，， 的纵坐标相同，均为 ， ，

把 代入 ，得 ，解得 ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ．

22. (1) ① 等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为 和 ； ② 底为 ，高为 ，面积为 ； (2)画图见解析．

（1）解：①如图 ① ， 为等腰直角三角板， ，

则 ；

如图②， 为含 的直角三角形板， ， ， ，

则 ， ；

综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为 和 ；

② 由题意可知 ，

∴四边形 是矩形，

由图可得， ， ，

∴ _矩形 ，

故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 .

（2）解：如图，即为所作图形．

23. （1） 【证明】在矩形 中， ， ， ， ， ， . ， ， ，即 . ， .（2） 连接 交 于点 ，如图所示.

在矩形 中， ， ， ， ， .在矩形 中， ， ， ， ， .在 和 中， ≌ ， .

24. (1) ； (2)① ；② ．

（1）解：设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，

把 和 代入可得

，

解得 ，

∴新抛物线为 ；

（2）解：①如图，设 ，则 ，

∴ ，

∵ 小于3，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

②∵ ，

∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，

由题意可得, 在 的右边，当 时，

∴ 轴，

∴ ，

∴ ，

由平移的性质可得, ，即 ；

如图，当 时，则 ，

过 作 于 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ， ，

∴ ，解得 （不符合题意舍去）.

综上, .

25. (1)见详解； (2)① ；②

（1）证明：延长 交于点 ，

∵ ，∴ ，

∵ ， ，

∴ ， ，∴ ，∴ ；

（2）①解：记点 为 外接圆圆心，过点 作 于点 ，连接 ，

∵点 为 外接圆圆心，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ≌ ，∴ ，

∵ 平分 ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，即 ，

∴ ，∴ ，∴ 外接圆半径为 ；

②延长 交于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，

∵ ，∴ ，∴ ，

由①知 ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

由 ， ，得 ，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ， ∴ ，∴ ，

设 ，则 ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴设 ，

∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，

∴ ，解得 ，∴ ，

在 中，由勾股定理得 ，

∴ ，∴ ，∴ ，

而 ，

∴在 中，由勾股定理得 ，

∵ ，∴ ．