【327944】2024年山东省滨州市中考数学试题

绝密★启用前

200825-2024年山东省滨州市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1． 的绝对值是（      ）

A．2　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

3．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（      ）

A． B．

C． D．

4．下列运算正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

5．若点 在第二象限，那么 的取值范围是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.

成绩/m	1.50	1.60	1.65	1.70	1.75	1.80
人数	2	3	2	3	4	1

某同学分析上表后得出如下结论：

①这些运动员成绩的平均数是1.65；

②这些运动员成绩的中位数是1.70；

③这些运动员成绩的众数是1.75．

上述结论中正确的是（      ）

A．②③　　　　B．①③　　　　C．①②　　　　D．①②③

7．点 和点 在反比例函数 （ 为常数）的图象上，若 ，则 ，， 的大小关系为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

8．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图， 中， ， ， ， 的长分别为 ， ， ．则可以用含 ， ， 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（      ）

A. B.

C. D.

二、填空题

9．若分式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是     ．

10．写出一个比 大且比 小的整数是           ．

11．将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为            .

12．一副三角板如图（1）摆放，把三角板 绕公共顶点 顺时针旋转至图（2），即 时， 的大小为   ．

    

图（1）     图（2）

13．如图，在 中，点 ， 分别在边 上．添加一个条件使 ， 则这个条件可以是            ．（写出一种情况即可）

  

14．如图，四边形 内接于⊙ ，若四边形 是菱形 ， 的度数是      ．

15．如图，四边形 四个顶点的坐标分别是 ， ， ， ，在该平面内找一点 ，使它到四个顶点的距离之和 最小，则 点坐标为            ．

16．如图，在边长为1的正方形网格中，点 ， 均在格点上．

（） 的长为            ；

（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以 为边的矩形 ， 使其面积为 ， 并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不用证明）：                                                                          ．

三、解答题

17．计算： ．

18．解方程：

(1) ；

(2) ．

19．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设 ， ， 为两两不同的数，称 为欧拉分式.

（1） 写出 对应的表达式；

（2） 化简 对应的表达式.

20．某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，请回答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；

(2)若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；

(3)小兰同学从 ，， 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从 ，， 三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．

21．【问题背景】

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现

①如图，在 中，若 ， ，则有 ；

②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得 ，即知 ，若把①中的 替换为 ，还能推出 吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出 ，并分别提供了不同的证明方法．

小军

证明：分别延长 至 ， 两点， 使得……

小民

证明：∵ ． ∴ 与 均为直角三角形、根据勾股定理，得……

【问题解决】

(1)完成①的证明；

(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．

22．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系（ ，且 是整数），部分数据如下表所示：

电影票售价 （元/张）	40	50
售出电影票数量 （张）	164	124

（1） 请求出 与 之间的函数关系式；

（2） 设该影院每天的利润（利润 票房收入-运营成本）为 （单位：元），求 与 之间的函数关系式；

（3） 该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

23．（1）如图 ， 中，点 ，， 分别在三边 ，， 上，且满足 ， ．

①求证：四边形 为平行四边形；

②若 ，求证：四边形 为菱形；

（2）把一块三角形余料 （如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与 的顶点 重合，另外三个顶点分别在三边 ，， 上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）

24．【教材呈现】

现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：

14．如图，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关系．（提示：分别作 和 边上的高．）

【得出结论】

．

【基础应用】

在 中， ， ， ，利用以上结论求 的长；

【推广证明】

进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 （R为 外接圆的半径）．

请利用图1证明： ．

【拓展应用】

如图2，四边形 中， ， ， ， ，

求过 ，， 三点的圆的半径．

参考答案

一、单选题

1. B

解：∵ ，

∴ 的绝对值是 ，

故此题答案为B．

2. A

解：∵三棱柱的表面由 个三角形 ， 个正方形 ， 个矩形构成，

∴其主视图可能是三角形或正方形或矩形，不可能是圆，

故此题答案为 ．

3. B

解： ，， 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．

故此题答案为B．

4. D

解：A． ，本选项不符合题意；

B． ，本选项不符合题意；

C． ，本选项不符合题意；

D． ，本选项符合题意．

故此题答案为D．

5. A

解：∵点 在第二象限，

∴ ，

解得 ．

故此题答案为A．

6. A

解：①这些运动员成绩的平均数是 ，原说法不正确；

②这些运动员成绩的中位数是从小到大排列第8个数为1.70，原说法正确；

③这些运动员成绩出现最多的是1.75，则的众数是1.75，原说法正确．

故此题答案为A．

7. C

解：∵ ，

∴反比例函数的图象分布在一、三象限， 时， ， 时， ，

∵ ，

∴ ，

故此题答案为 ．

8. D

如图，设 ， ， 与 的切点分别为 ， ， ，连接 ， ， , , , , ， ， ．易证四边形 是正方形，设 ，则 ， ， ， ， ， ,故选项A正确 ． ， ， ， ，即 ，故选项B正确 ． ， ， ， ，故选项C正确．选项D无法得出，故选项D错误．故选D.

【思路分析】

（1）利用圆周角定理的推论得到 ，再根据三角形的内角和定理求出 ，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；

（2）连接 ，先由三角形的内心性质得到 ， ，然后得到 ， ，再利用等角代换得 ，最后利用等角对等边可得结论；

（3）过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ， .根据内切圆的性质和切线长定理得到 ， ， ，再根据解直角三角形求得 ，由勾股定理求得 ，进而可求解.

二、填空题

9.

∵分式 在实数范围内有意义，∴ −1≠0，解得 ．

10. 2或3

∵ ， ，∴ ，

即比 大且比 小的整数为2或3.

11.

将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线表达式为 ， 顶点坐标为 .

12. 75

由已知可得， ， ， ， .故答案为75.

13. 或 或

解： ，

∴当 时 ， ．

当 时 ， ．

当 时 ， ．

故这个条件可以是 或 或 ．

14. 60°

解：∵四边形 内接于⊙ ，∴ ，

∵四边形 是菱形，∴ ，

由圆周角定理得 ，， ∴ ，

解得 ．

15.

解：连接 ， 相交于点 ，根据“两点之间线段最短”知 最小，

设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，

∴直线 的解析式为 ，

设直线 的解析式为 ，则有 ，解得 ，

∴直线 的解析式为 ，

联立得 ，解得 ，则 ，∴ 点坐标为 ．

16. ；取点 ， 得到正方形 ， 交格线于点 ， 交格线于点 ， 连接 ， 得到矩形 ， 即为所求．

（） ；

（2）取点 ， 则 ， 得到正方形 ，

∴正方形 的面积为 ，

交格线于点 ， 交格线于点 ，

连接 ， 得到矩形 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴矩形 的面积为 ，

如图，矩形 ， 即为所求．

．

三、解答题

17.

解：原式 ．

18. (1) ；(2) ， ．

（1）解： ，

去分母得 ，

去括号得 ，

移项、合并同类项得 .

（2）解： ，

分解因式得 ，

∴ 或 ，

解得 ，   ．

19. （1） 【解】由题意可得， .（2） 由题意可得， .

20. (1)补充条形统计图见解析；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为 ； (2)估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人； (3)甲乙两位同学选择相同课程的概率为 ．

（1）解：参与调查的总人数为 （人），

“D”的人数为 （人），

“A”的人数为 （人），

“手工制作”对应的扇形圆心角度数为 ，

补充条形统计图如图：

（2）解： （人），

因此估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；

（3）解：画树状图如下：

  

由图可知，共有9种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有2种，

因此甲乙两位同学选择相同课程的概率为 ．

21. 见详解

（1）证明：∵ ，

∴ ，

在 与 中，

，

∴ ≌ ，

∴ ；

（2）小军证明：分别延长 至 ， 两点，使得 ，如图所示,

∵ ，

∴ 即 ，

∵ ，

∴ ，

在 与 中，

，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

小民

证明 ∵ ．

∴ 与 均为直角三角形，

根据勾股定理， ， ，

∵ ①，

∴ ②，

①② 得 ，

∴ ．

22. （1） 【解】设 与 之间的函数关系式是 .由表格可得 解得 即 与 之间的函数关系式是 （ ，且 是整数）.（2） 由题意可得， ，即 与 之间的函数关系式是 （ ，且 是整数）.（3） 由（2）知 ， ，且 是整数， 当 或41时， 取得最大值，此时 .答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4 560元.

23. （1）见详解;（2）见详解

（1）①证明： ， ， 四边形 为平行四边形；

② ， ，即 ,

， ，即 ，

又 ， ， ，

由①知四边形 为平行四边形， 四边形 为菱形.

（2）如图，菱形 即为所求．

∵ 平分 ，∴ ，

∵ 是 的垂直平分线，∴ ， ，

∴ ， ，∴ ， ，

∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，

∵ ，∴平行四边形 是菱形．

24. 教材呈现：见解析；基础应用： ；推广证明：见解析；拓展应用： ．

解：教材呈现：如图，分别作 ，垂足分别为 ，

  

在 中， ， ，

在 中， ， ，

， ，

在 中， ， ，

在 中， ， ， ，

， ，

基础应用：∵ 中， ， ，∴ ，

由题意得 ，∴ ，解得 ；

推广证明：作直径 ，连接 ，

  

∵直径 ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

同理 ， ，∴ ；

拓展应用：连接 ，作 于点 ，

  

∵ ，∴四边形 是矩形，

∵ ， ， ，∴ ， ， ，

∴ .

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ，即 ，∴ ．