【327941】2024年内蒙通辽市中考数学试题

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200673-2024年内蒙通辽市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．某地区某日最高气温是零上 ，记作 ，最低气温是零下 ，应该记作（      ）

A． B． C． D．

2．如图，这个几何体的俯视图是（      ）

A． B． C． D．

3．在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位： ）如下：

170　　175　　169　　171　　172　　170　　173

这组数据的中位数是（      ）

A．175　　　　B．172　　　　C．171　　　　D．170

4．下列运算结果正确的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

5．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点 关于对称轴对称的点的坐标为（      ）

A. B. C. D.

6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 （其中 ， ， ， ， 为常数）的图象分别为直线 ， ．下列结论正确的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

7．不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

8．将三角尺 按如图位置摆放，顶点A落在直线 上，顶点B落在直线 上，若 ， ，则 的度数是（      ）

  

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．如图， ▱ 的对角线 ， 交于点 ，以下条件不能证明 ▱ 是菱形的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

10．如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（      ）

A． 或 B． 或 C． D．

11．如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（      ）

（第5题图）

A. B. C. D.

12．如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心， 轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，则 的值为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．3

二、填空题

13．因式分解       ．

14．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度 的合格尺寸（ 的取值范围)         ．

15．分式方程 的解为      ．

16．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为 ，母线长为 的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是          （结果用含 π 的式子表示）．

17．关于抛物线 （ 是常数），下列结论正确的是         （填写所有正确结论的序号）．

①当 时，抛物线的对称轴是 轴；

②若此抛物线与 轴只有一个公共点，则 ；

③若点 ， 在抛物线上，则 ；

④无论 为何值，抛物线的顶点到直线 的距离都等于 ．

三、解答题

18．计算： π ．

19．先化简，再求值： ，其中 ．

20．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是 ， 长6米，在距离C点4米处的 点测得杨树顶端A点的仰角为 ，求杨树 的高度（精确到 米， ， ， 在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据： ．

21．为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．

【收集数据】

调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：

60	61	62	94	73	73	85	85	87	72
63	64	70	66	74	65	67	75	76	71
94	93	84	91	76	82	83	83	92	84
80	80	82	92	91	86	77	86	88	72
70	71	93	90	81	90	74	78	81	75

【整理描述数据】

通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：

组别	成绩分组	频数
		16
		16

（1）频数分布表中         ，         ，并补全频数分布直方图；

（2）扇形统计图中         ， 所对应的扇形的圆心角度数是        ．

【应用数据】

（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．

22．如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心， 为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．

(1)求证： ；

(2)若 ， ，求 的半径．

23．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．

(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；

(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．

24．【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．

【模型建立】

（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图” ． ， ．求证： ．

【模型应用】

（2）如图 ， 中， 的平分线 交 于点 ．请你从以下两个条件：

① ；② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

【拓展提升】

（3）如图 ， 为 的直径， ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．求证： ．

25．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．

(1)求抛物线表示的函数解析式；

(2)若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．

26．数学活动课上，某小组将一个含 的三角尺 和一个正方形纸板 如图1摆放，若 ， ．将三角尺 绕点 逆时针方向旋转 角，观察图形的变化，完成探究活动．

【初步探究】

如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点 交 于点 ．

问题1： 和 的数量关系是        ，位置关系是         ．

【深入探究】

应用问题1的结论解决下面的问题．

问题2：如图3，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ．求证 ．

【尝试应用】

问题3：如图4，请直接写出当旋转角 从 变化到 时，点 经过路线的长度．

参考答案

一、单选题

1. A

解：某日最高气温是零上 ，记作 ，最低气温是零下 ，则记为 ．

故此题答案为A．

2. D

解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是

故此题答案为D．

3. C

解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，

所以这组数据的中位数为171．

故此题答案为C．

4. B

解： ，故A不符合题意；

，故B符合题意；

，故C不符合题意；

，故D不符合题意．

故此题答案为B．

5. C

由所给图形可知，此图形关于 轴对称，所以点 关于对称轴对称的点的坐标为 .故选C.

6. A

解：由一次函数 ： 的图象可得 ， ，

由一次函数 ： 的图象可得 ， ，

∴ ， ， ， ，

正确的结论是A，符合题意，

故此题答案为A．

7. C

解：根据题意，列出表格如下：

	红	白1	白2
红	（红，红）	（白1，红）	（白2，红）
白1	（红，白1）	（白1，白1）	（白2，白1）
白2	（红，白2）	（白1，白2）	（白2，白2）

一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，

所以两次都摸出白球的概率是 ．

故此题答案为C．

8. B

解：如图，∵ ，

  

∴ ，

∵在三角板 中， ，

∴ ，

故此题答案为B．

9. D

解：A．∵ ，∴ ，

∵四边形 是平行四边形，∴ ▱ 是菱形，故本选项不符合题意；

B．∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ▱ 是菱形，故本选项不符合题意；

C．∵ ，∴ ，即 ，

∵四边形 是平行四边形，∴ ▱ 是菱形，故本选项不符合题意；

D．∵ ，∴ ，无法得到 ▱ 是菱形，故本选项符合题意．

故此题答案为D．

10. C

解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，

则平行于墙的一边的长为 ，

由题意得 ，

解得： ， ，

当 时，平行于墙的一边的长为 ；

当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；

∴该矩形场地 长为 米，

故此题答案为C．

11. B

如图，连接 为 的中点，C为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ， ， .设拱门所在圆的半径为 ， . ， .由勾股定理得 ，即 ，解得 ， 拱门所在圆的半径为 .故选B.

12. A

解：如图所示，过点E作 轴于H，连接 ，

∵原点 为正六边形 的中心，

∴ ， ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ， ， ， ，

∵将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，

∴点 ， 在双曲线上，

又∵点E也在双曲线上，

∴ ，解得 或 （舍去），

∴ ，

故此题答案为A．

二、填空题

13.

解：原式 ．

14.

解：由题意得 ， ．

15.

解：

解得：

经检验 是原方程的解

16.

解：∵底面半径为 ，

∴圆锥底面圆的周长为 π ，即扇形纸片的弧长为 ，

∵母线长为 ，∴圆锥的侧面积 ．

17. ①④

解：当 时， ，此时抛物线的对称轴是 轴，故①正确；

∵此抛物线与 轴只有一个公共点，

∴方程 有两个相等的实数根，

∴ ，解得 ，故②错误；

∵ ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，

∵ ，

∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，

∵点 ， 在抛物线上，且 ，

∴ ，故③错误；

∵ ，

∴抛物线的顶点坐标为 ，

∴抛物线的顶点坐标在直线 上，

如图，过点A作 直线 于点B，则点 ， ， ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，即抛物线的顶点到直线 的距离都等于 ，故④正确．

故答案为①④.

三、解答题

18.

解： π ．

19. ，

解： ，

当 时，原式 .

20. 米

解：过点B作 于点E，

，

在 中， ， 米，

∴ 米， 米，

米， 米

在 中， ， 米，

米，

， 米．

答：杨树 的高度约 米．

21. （） ； ，补全图形见解析； （） ； ； （） 人

解：（1）整理数据可得 有60、61、62、63、64、66、65、67；

∴ ；

的有94、94、93、91、92、92、91、93、90、90，∴ ；

补全图形如下：

；

（2）由 ，∴ ；

所对应的扇形的圆心角度数是 ；

（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有 （人）；

22. (1)证明见解析；(2)

（1）证明：如图，连接 ，

∵ 为切线，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ．

（2）解：在 中， ，

∵ ，

在 和 中， ， ，∴ ≌ ，

∴ ，∴ ，

设 的半径为r，则 ， ，

在 中， ，解得 ，∴ 半径的长为3.

23. (1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；(2)购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台．

（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．

由题意得 ，解得 ，

答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；

（2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购 台，

由题意得 ，解得 ，

∵a只能取正整数，∴a的最大值为33，

设总的购买费用为 元，

∴ ，

∵ ，∴当 时，费用最低，

此时的购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台.

24. （1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析.

解：（1）在 和 中，

∵ ， ， ，∴ ≌ ，∴ ；

（2）解：选择②为条件，①为结论：

如图，在 取点N，使 ，连接 ，

∵ 平分 ，∴ ，

在 和 中，

∵ ， ， ，∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ， ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ；

选择①为条件，②为结论：

如图，在 取点N，使 ，连接 ，

∵ 平分 ，∴ ，

在 和 中，

∵ ， ， ，∴ ≌ ，

∴ ， ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ；

（3）如图，连接 ，取 的中点F，连接 ，

∵ 的平分线 ，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ 为 的直径，∴ ，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ≌ ，∴ ，∴ ．

25. (1) ；(2)10

（1）解：把 代入函数 中，得 ，

解得 ，∴ ，

把 代入函数 中，得 ，∴ ，

∵抛物线 为常数）经过点 ，∴ ，解得 ，

∴抛物线表示的函数解析式为 ；

（2）解：∵抛物线的函数解析式为 ，∴顶点P的坐标为 ，

∵ ，∴ 轴， ，

过点D作 于点E，则 ，∴ ；

把 代入函数 中，得 ，解得 ， ，

∴ ， ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ _四边形 ．

26. （） ； ；（2）证明见解析； （）π

解： ； ；理由如下：

如图，∵四边形 是正方形，∴ ， ，

∵ 是等腰直角三角形， ，∴ ， ，

∴ ，∴ ≌ ，∴ ， ，

∵ ，∴ ，∴ ；

（2）如图，∵四边形 是正方形，∴ ，

∵点 是 的中点，∴ ，

∵ ，∴ ，

∵点 是 的中点，∴ ，∴ ；

（3）如图，∵ ， ，

∴ 在以 为圆心， 为半径的 上，

过 作 于 ，

当 时，∴ ， ，

∵ ，∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，

而 ， ，∴四边形 是正方形，

∴当旋转角 从 变化到 时， 在 上运动，

∵ ， ， ，∴ ，

∴点 经过路线的长度为 ππ .