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200673-2024年内蒙通辽市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．某地区某日最高气温是零上
，记作
，最低气温是零下
，应该记作（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：
）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A．175 B．172 C．171 D．170
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点
关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
与
（其中
，
，
，
，
为常数）的图象分别为直线
，
．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．将三角尺
按如图位置摆放，顶点A落在直线
上，顶点B落在直线
上，若
，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，
▱
的对角线
，
交于点
，以下条件不能证明 ▱
是菱形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，小程的爸爸用一段
长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长
）的矩形鸭舍，其面积为
，在鸭舍侧面中间位置留一个
宽的门（由其它材料制成），则
长为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
11．如图，圆形拱门最下端
在地面上，
为
的中点，
为拱门最高点，线段
经过拱门所在圆的圆心，若
，
，则拱门所在圆的半径为（ ）
（第5题图）
A.
B.
C.
D.
12．如图，平面直角坐标系中，原点
为正六边形
的中心，
轴，点
在双曲线
为常数，
上，将正六边形
向上平移
个单位长度，点
恰好落在双曲线上，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题
13．因式分解
．
14．如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度
的合格尺寸（
的取值范围) ．
15．分式方程
的解为 ．
16．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为
，母线长为
的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是
（结果用含 π
的式子表示）．
17．关于抛物线
（
是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当
时，抛物线的对称轴是
轴；
②若此抛物线与
轴只有一个公共点，则
；
③若点
，
在抛物线上，则
；
④无论
为何值，抛物线的顶点到直线
的距离都等于
．
三、解答题
18．计算：
π
．
19．先化简，再求值：
，其中
．
20．在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是
，
长6米，在距离C点4米处的
点测得杨树顶端A点的仰角为
，求杨树
的高度（精确到
米，
，
，
在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：
．
21．为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
60 |
61 |
62 |
94 |
73 |
73 |
85 |
85 |
87 |
72 |
63 |
64 |
70 |
66 |
74 |
65 |
67 |
75 |
76 |
71 |
94 |
93 |
84 |
91 |
76 |
82 |
83 |
83 |
92 |
84 |
80 |
80 |
82 |
92 |
91 |
86 |
77 |
86 |
88 |
72 |
70 |
71 |
93 |
90 |
81 |
90 |
74 |
78 |
81 |
75 |
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组别 |
成绩分组 |
频数 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
（1）频数分布表中
，
，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中
，
所对应的扇形的圆心角度数是 ．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
22．如图，
中，
，点
为
边上一点，以点
为圆心，
为半径作圆与
相切于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的半径．
23．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
(1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
(2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
24．【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”
．
，
．求证：
．
【模型应用】
（2）如图
，
中，
的平分线
交
于点
．请你从以下两个条件：
①
；②
中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图
，
为
的直径，
，
的平分线
交
于点
，交
于点
，连接
．求证：
．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴，
轴分别交于点
，
，抛物线
为常数）经过点
且交
轴于
两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点
为抛物线的顶点，连接
，
，
．求四边形
的面积．
26．数学活动课上，某小组将一个含
的三角尺
和一个正方形纸板
如图1摆放，若
，
．将三角尺
绕点
逆时针方向旋转
角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接
，
并延长，延长线相交于点
交
于点
．
问题1：
和
的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2：如图3，连接
，点
是
的中点，连接
，
．求证
．
【尝试应用】
问题3：如图4，请直接写出当旋转角
从
变化到
时，点
经过路线的长度．
参考答案
一、单选题
1. A
解：某日最高气温是零上
，记作
，最低气温是零下
，则记为
．
故此题答案为A．
2. D
解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是
故此题答案为D．
3. C
解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，
所以这组数据的中位数为171．
故此题答案为C．
4. B
解：
，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意．
故此题答案为B．
5. C
由所给图形可知，此图形关于
轴对称，所以点
关于对称轴对称的点的坐标为
.故选C.
6. A
解：由一次函数
：
的图象可得
，
，
由一次函数
：
的图象可得
，
，
∴
，
，
，
，
正确的结论是A，符合题意，
故此题答案为A．
7. C
解：根据题意，列出表格如下：
|
红 |
白1 |
白2 |
红 |
（红，红） |
（白1，红） |
（白2，红） |
白1 |
（红，白1） |
（白1，白1） |
（白2，白1） |
白2 |
（红，白2） |
（白1，白2） |
（白2，白2） |
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
所以两次都摸出白球的概率是
．
故此题答案为C．
8. B
解：如图，∵
，
∴
，
∵在三角板
中，
，
∴
，
故此题答案为B．
9. D
解：A．∵
，∴
，
∵四边形
是平行四边形，∴
▱
是菱形，故本选项不符合题意；
B．∵四边形
是平行四边形，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴ ▱
是菱形，故本选项不符合题意；
C．∵
，∴
，即
，
∵四边形
是平行四边形，∴
▱
是菱形，故本选项不符合题意；
D．∵
，∴
，无法得到
▱
是菱形，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
10. C
解：设矩形场地垂直于墙一边长为
，
则平行于墙的一边的长为
，
由题意得
，
解得：
，
，
当
时，平行于墙的一边的长为
；
当
时，平行于墙的一边的长为
，不符合题意；
∴该矩形场地
长为
米，
故此题答案为C．
11. B
如图，连接
为
的中点，C为拱门最高点，线段
经过拱门所在圆的圆心，
，
，
.设拱门所在圆的半径为
，
.
，
.由勾股定理得
，即
，解得
，
拱门所在圆的半径为
.故选B.
12. A
解：如图所示，过点E作
轴于H，连接
，
∵原点
为正六边形
的中心，
∴ ，
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
，则
，
，
∴ ，
，
，
，
∵将正六边形
向上平移
个单位长度，点
恰好落在双曲线上，
∴点
，
在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴
，解得
或
（舍去），
∴
，
故此题答案为A．
二、填空题
13.
解：原式
．
14.
解：由题意得
，
．
15.
解：
解得：
经检验
是原方程的解
16.
解：∵底面半径为
，
∴圆锥底面圆的周长为
π
，即扇形纸片的弧长为
，
∵母线长为
，∴圆锥的侧面积
．
17. ①④
解：当
时，
，此时抛物线的对称轴是
轴，故①正确；
∵此抛物线与
轴只有一个公共点，
∴方程
有两个相等的实数根，
∴
，解得
，故②错误；
∵
，
∴抛物线的对称轴为直线
，
∵
，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点
，
在抛物线上，且
，
∴
，故③错误；
∵
，
∴抛物线的顶点坐标为
，
∴抛物线的顶点坐标在直线
上，
如图，过点A作
直线
于点B，则点
，
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，即抛物线的顶点到直线
的距离都等于
，故④正确．
故答案为①④.
三、解答题
18.
解：
π
．
19.
，
解：
，
当
时，原式
.
20.
米
解：过点B作
于点E，
，
在
中，
，
米，
∴
米，
米，
米，
米
在
中，
，
米，
米，
，
米．
答：杨树
的高度约
米．
21.
（）
；
，补全图形见解析； （）
；
； （）
人
解：（1）整理数据可得
有60、61、62、63、64、66、65、67；
∴
；
的有94、94、93、91、92、92、91、93、90、90，∴
；
补全图形如下：
；
（2）由
，∴
；
所对应的扇形的圆心角度数是
；
（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有
（人）；
22.
(1)证明见解析；(2)
（1）证明：如图，连接
，
∵
为切线，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
（2）解：在
中，
，
∵
，
在
和
中，
，
，∴
≌
，
∴
，∴
，
设
的半径为r，则
，
，
在
中，
，解得
，∴
半径的长为3.
23. (1)煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；(2)购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台．
（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．
由题意得
，解得
，
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购
台，
由题意得
，解得
，
∵a只能取正整数，∴a的最大值为33，
设总的购买费用为
元，
∴
，
∵
，∴当
时，费用最低，
此时的购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台.
24. （1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析.
解：（1）在
和
中，
∵
，
，
，∴
≌
，∴
；
（2）解：选择②为条件，①为结论：
如图，在
取点N，使
，连接
，
∵
平分
，∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，∴
≌
，
∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
；
选择①为条件，②为结论：
如图，在
取点N，使
，连接
，
∵
平分
，∴
，
在
和
中，
∵
，
，
，∴
≌
，
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
；
（3）如图，连接
，取
的中点F，连接
，
∵
的平分线
，∴
，∴
，∴
，
∵
为
的直径，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
≌
，∴
，∴
．
25.
(1)
；(2)10
（1）解：把
代入函数
中，得
，
解得
，∴
，
把
代入函数
中，得
，∴
，
∵抛物线
为常数）经过点
，∴
，解得
，
∴抛物线表示的函数解析式为
；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为
，∴顶点P的坐标为
，
∵
，∴
轴，
，
过点D作
于点E，则
，∴
；
把
代入函数
中，得
，解得
，
，
∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴ 四边形
．
26.
（）
；
；（2）证明见解析；
（）π
解：
；
；理由如下：
如图，∵四边形
是正方形，∴
，
，
∵
是等腰直角三角形，
，∴
，
，
∴
，∴
≌
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
；
（2）如图，∵四边形
是正方形，∴
，
∵点
是
的中点，∴
，
∵
，∴
，
∵点
是
的中点，∴
，∴
；
（3）如图，∵
，
，
∴
在以
为圆心，
为半径的
上，
过
作
于
，
当
时，∴
，
，
∵
，∴
，
，
∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，
而
，
，∴四边形
是正方形，
∴当旋转角
从
变化到
时，
在
上运动，
∵
，
，
，∴
，
∴点
经过路线的长度为
ππ
.