绝密★启用前
200683-2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JAVA.
在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．央视新闻
年
月
日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超
度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据
用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1 000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合普查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D.
甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差
甲
， 乙
，则发挥稳定的是甲
6．解不等式组
①②
时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，是正
边形纸片的一部分，其中
，
是正
边形两条边的一部分，若
，
所在的直线相交形成的锐角为
，则
的值是（ ）
（第1题图）
A. 5B. 6C. 8D. 10
8．某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表.根据抽样调查结果，估计该市16 000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
视力 |
4.7以下 |
4.7 |
4.8 |
4.9 |
4.9以上 |
人数 |
39 |
41 |
33 |
40 |
47 |
A. 120B. 200C. 6 960D. 9 600
9．等腰三角形的两边长分别是方程
的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 17或13B. 13或21C. 17D. 13
10．如图，
是
的直径，
是
的弦，半径
，连接
，交
于点 ，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板
块，用B型钢板
块，则可列方程组为（ ）
A.
B.
C.
D.
12．如图，
中，
，
．将
绕点
顺时针旋转得到
，点
与点
是对应点，点
与点
是对应点．若点
恰好落在
边上，下列结论：①点
在旋转过程中经过的路径长是 π
；②
；③
；④
．其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
13．如图，数轴上点
，，
分别表示数 ，，
，若
，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，正方形
的顶点
，
在抛物线
上，点
在
轴上．若
，
两点的横坐标分别为
，
，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
15．请写出一个比
小的整数 .
16．因式分解：
．
17．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树
的高度．如图，点
处与古树底部
处在同一水平面上，且
米，无人机从
处竖直上升到达
处，测得古树顶部
的俯角为
，古树底部
的俯角为
，则古树
的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：
，
，
）．
18．编号为
，，，，
的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
收割机编号 |
， |
， |
， |
， |
， |
所需时间（小时） |
23 |
19 |
20 |
22 |
18 |
则收割最快的一台收割机编号是 ．
三、解答题
19．（
）计算： π
；
（
）已知
，求代数式
的值．
20．如图，在
中，
是
中点．
(1)求作：
的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若
交
于点
，连接
并延长至点
，使
，连接 ，
．补全图形，并证明四边形
是平行四边形．
21．某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 |
77 |
78 |
76 |
72 |
84 |
75 |
91 |
85 |
78 |
79 |
|
82 |
78 |
76 |
79 |
91 |
91 |
76 |
74 |
75 |
85 |
|
75 |
91 |
80 |
77 |
75 |
75 |
87 |
85 |
76 |
77 |
整理、描述数据
成绩/分 |
72 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
82 |
84 |
85 |
87 |
91 |
人数/人 |
1 |
1 |
|
4 |
3 |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
4 |
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 |
众数 |
中位数 |
80 |
|
78 |
解决问题
(1)表格中的
；
；
；
(2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 分；
(3)学校要从91分的
，，，
四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求
，
两名队员恰好同时被选中的概率．
22．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
23．在平面直角坐标系中，对于点
，给出如下定义：当点
，满足
时，称点
是点
的等和点．
（1）
已知点
，在
，
，
中，是点
等和点的有 ；
（2）
若点
的等和点
在直线
上，求
的值；
（3）
已知，双曲线
和直线
，满足
的
取值范围是
或
．若点
在双曲线
上，点
的等和点
在直线
上，求点
的坐标．
24．如图，
中，
，
，
经过 ，
两点，与斜边
交于点
，连接
并延长交
于点
，交
于点
，过点
作
，交
于点
．
(1)求证：
是
的切线；
(2)若
，
，求
的长．
25．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点
处沿水滑道下滑至点
处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为
轴，过腾空点
与
轴垂直的直线为
轴，
为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点
与地面的距离为2米，水滑道最低点
与地面的距离为
米，点
到点
的水平距离为3米，则水滑道
所在抛物线的解析式为 ；
(2)如图1，腾空点
与对面水池边缘的水平距离
米，人腾空后的落点
与水池边缘的安全距离
不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线
恰好与抛物线
关于点
成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线
的解析式；
②此人腾空飞出后的落点
是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点
处竖直支撑的钢架
，另一条是点
与点
之间连接支撑的钢架
，现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与
平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架
上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
26．数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在
中，
，点
是
上的一个动点，过点
作
于点
，延长
交
延长线于点
．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：
；
(2)探究
与
的关系；
某小组探究发现，当
时，
；当
时，
．
请你继续探究：
①当
时，直接写出
的值；
②当
时，猜想
的值（用含 ，
的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点
作
，垂足为点
，连接
，得到图2，当点
运动到使
时，若
，直接写出
的值（用含 ，
的式子表示）．
参考答案
一、单选题
1. A
A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故此题答案为A．
2. D
解：
，
故此题答案为
．
3. B
解：如图所示：
由题意得：
∴
故此题答案为B．
4. D
解：A、
与
不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、
，故此选项不符合题意；
C、
，故此选项不符合题意；
D、
，故此选项符合题意．故此题答案为D．
5. D
为了解1
000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，A选项不符合题意；了解某校一个班级学生的身高情况，适合普查，说法正确，B选项不符合题意；了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，C选项不符合题意；甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差
甲
，
乙
，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，D选项符合题意.故选D.
6. C
解：
①②
解不等式①得，
，解不等式②得，
，
所以，不等式组的解集为
，
在数轴上表示为.
故此题答案为C．
7. B
如图，设直线
，
的交点为A，则
正多边形的每个内角相等，
正多边形的每个外角也相等，
，
．故选B.
8. D
估计该市16
000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是
.故选D.
9. C
，
，解得
，
，当等腰三角形的边长是3，3，7时，
，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是7，7，3时，符合三角形的三边关系，这个三角形的周长是
．故选C．
【易错警示】
等腰三角形的底边长和腰长不确定时，需要分类讨论，同时要注意三边长需要满足三角形的三边关系.
10. B
解：∵半径
，∴
，
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
故此题答案为B．
11. C
根据题意，可列方程组为
故选C．
12. A
解：∵
，
，∴
，
，
由旋转的性质得
，
，
，
，
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
由旋转的性质得
，∴
，
①点
在旋转过程中经过的路径长是
ππ
；①说法正确；
②∵
，∴
；②说法正确；
③∵
，∴
，∴
；③说法正确；
④∵
，
，∴
，
∴
．④说法正确.综上，①②③④都是正确的.
故此题答案为A．
13. A
解：数轴上点
，，
分别表示数
，，
,
∴
，
，
∵
，∴原点在
，
之间，由它们的位置可得
，
且
，
∴
，
，
，
，故运算结果一定是正数的是
．
故此题答案为A．
14. B
如图，连接
，
交于点
，过点A作
轴于点
，
过点B作
于点
四边形
是正方形，
，
互相平分，
，
，
，
．
，
，
≌
，
，
．
点A,C的横坐标分别为
,
,且点A，C在抛物线
上，
，
，
，
，
.设
，则
，
，
，
，
，
．又
，
，
，
，
，
，
．
点A，C在
轴的同侧，且点A在点C的右侧，
，
．故选B．
二、填空题
15. 1（或2）
，
∴满足条件的数为小于或等于2的整数均可.
16.
解：
．
17.
解：如图，过点
作
，交
的延长线于点
，
∴四边形
是矩形，∴
米，
∵
，
，
，∴
是等腰直角三角形，
∴
米，
在
中，
（米），
∴
（米），
∴古树
的高度约为
米．
18. C
解：同时启动
，
两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为19小时，得到C比A快；
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为19小时，
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为20小时，得到B比D快；
同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为18小时，得到E比B快；
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为20小时，
同时启动
，
两台收割机，所需的时间为22小时，得到C比E快．
综上，收割最快的一台收割机编号是C．
三、解答题
19.
（
）
；（
）
．
解：（
）原式
；
（
）∵
，∴
，
∴
．
20. 见详解
（1）解：直线
如图所示.
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，
为
的中点，
∵ ，
分别为
，
的中点，∴
，
，
∵
，即：
，∴
，
∵
，∴
四边形
是平行四边形．
21.
(1)5；2；75
(2)78；80
(3) ，
两名队员恰好同时被选中的概率为
．
（1）解：根据收集的数据知
；
；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则
；
（2）解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
（3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有
种等可能结果，
，
两名队员恰好同时被选中的情况有
种，
∴ ，
两名队员恰好同时被选中的概率为
，
答：
，
两名队员恰好同时被选中的概率为
．
22.
(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
(2)15天的工期，两队最多能修复公路
千米．
（1）解：设甲队平均每天修复公路
千米，则乙队平均每天修复公路
千米，
由题意得
，解得
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）解：设甲队的工作时间为
天，则乙队的工作时间为
天，15天的工期，两队能修复公路
千米，由题意得
，
，解得
，
∵
，
∴
随
的增加而减少，
∴当
时，
有最大值，最大值为
，
答：15天的工期，两队最多能修复公路
千米．
23.
（1）
，
（2）
由题意，设点
的横坐标为
.
点
是点
的等和点，
点
的纵坐标为
,
点
的坐标为
．又
点
在直线
上，
,
．（3）
由题意得
，则双曲线
位于第一、三象限．设直线
与双曲线
的交点分别为点
，
，如图.由满足
的
取值范围是
或
，得
的横坐标为4，
的横坐标为
．把
代入
，得
，
．把
代入
，得
，
，
反比例函数的表达式为
．设
，
，点
的横坐标为
.
点
是点
的等和点，
点
的纵坐标为
,
，
．
点
在直线
上，
,
,解得
，
,经检验，
，
是方程
的解,
点
的坐标为
或
．
（1）
【解】由
，
，得
，
点
是点
的等和点．由
，
，得
，
，
，
点
不是点
的等和点．由
，
，得
，
点
是点
的等和点．故答案为
，
．
【思路分析】
（3）根据“满足
的
取值范围是
或
”可得到双曲线
和直线
的交点的横坐标，把其中一个交点的横坐标代入
可得其纵坐标，进而可得双曲线
的表达式，再根据等和点的定义求解即可.
24.
(1)见解析
(2)
（1）证明：连接
，延长
，交
于点
，连接
如图，
∵
∴
是等腰直角三角形，
∴
∵
是
的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
即
∵
是
的半径，∴
是
的切线；
（2）解：∵
，
，
∴
，
∵
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
在等腰直角三角形
中，
,
∴
，解得
，
∴
，
∴
在
中，
∴
，
又
，∴
∴
∴
,∴
.
25.
(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是
米，解析式为
； ②此人腾空飞出后的落点
在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为
米
（1）解：根据题意得到水滑道
所在抛物线的顶点坐标为
，且过点
，
设水滑道
所在抛物线的解析式为
，
将
代入，得
，即
，
，
水滑道
所在抛物线的解析式为
；
（2）解：①
人腾空后的路径形成的抛物线
恰好与抛物线
关于点
成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为
，
人腾空后的路径形成的抛物线
的顶点坐标与抛物线
的顶点坐标
关于点
成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线
的顶点坐标为
，即
，
∴此人腾空后的最大高度是
米，
人腾空后的路径形成的抛物线
的解析式为
；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线
的解析式为
，
令
，则
，即
，
或
（舍去，不符合题意），
点
，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点
在安全范围内；
（3）解：根据题意可得
点的纵坐标为4，
令
，即
，
（舍去，不符合题意）或
，
，
设
所在直线的解析式为
，
将
代入得
，解得
，
所在直线的解析式为
，
如图，设这条钢架为
，与
交于点
，与地面交于
，
这条钢架与
平行，
设该钢架
所在直线的解析式为
，
联立
，即
，
整理得
，
该钢架
与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为
，
点
与点
重合，
，
，
，
，
这条钢架的长度为
米．
26.
(1)见解析
(2)①
②
，证明见解析
(3)
（1）证明：∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，
，且
，
∴
，∴
；
（2）解：①当
时，
；当
时，
，
∴总结规律得
是
的2倍，∴当
时，
；
②当
时，猜想
，
证明：作
于点
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
由（1）知
，又
，∴
，即
，∴
；
（）
，理由如下：
过点
作
，
∵
，
，∴
，
由（2）知，当
时，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，由（1）知
，∴
．