绝密★启用前
200687-2024年内蒙古包头市中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．计算
所得结果是（ ）
A．3 B．
C．
D．
2．若
互为倒数，且满足
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2D．4
3．如图，正方形
边长为2，以
所在直线为轴，将正方形
旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（ ）
A．8 B．4 C．
π
D．
π
4．如图，直线
，点
在直线
上，射线
交直线
于点
，则图中与
互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将抛物线
向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A.
B.
C.
D.
7．若
，
，
这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在扇形
中，
，半径
，
是
上一点，连接
，
是
上一点，且
，连接
．若
，则
的长为（ ）
A．
π
B．
π
C．
π
D．
π
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形
各顶点的坐标分别是
，
，
，
，则四边形
的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
10．如图，在矩形
中，
是边
上两点，且
，连接
与
相交于点
，连接
．若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．计算：
．
12．已知一个
边形的内角和是
，则
．
13．=在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
14．如图，四边形
是
的内接四边形，点
在四边形
内部，过点
作
的切线交
的延长线于点
，连接
．若
，
，则
的度数为 ．
15．若反比例函数
，
，当
时，函数
的最大值是
，函数
的最大值是
，则
.
16．如图，在菱形
中，
，
，
是一条对角线，
是
上一点，过点
作
，垂足为
，连接
．若
，则
的长为 ．
三、解答题
17．（1）先化简，再求值：
，其中
．
（2）解方程：
．
18．《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（
），良好（
），及格（
），不及格（
），其中
表示测试成绩（单位：
）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下,
．本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 |
优秀 |
良好 |
及格 |
不及格 |
频数（人数） |
40 |
70 |
60 |
30 |
．本校测试成绩统计表：
平均数 |
中位数 |
优秀率 |
及格率 |
222.5 |
228 |
|
|
．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 |
中位数 |
优秀率 |
及格率 |
218.7 |
223 |
|
|
请根据所给信息，解答下列问题,
(1)求出
的值；
(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是
，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？
(3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
19．如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼
的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼
的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用
等表示，测出的角用
等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼
的高度（用字母表示）．
20．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度
（单位：
）随着碗的数量
（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的
与
之间的对应数据.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
8.4 |
10.8 |
13.2 |
(1)依据小亮测量的数据，写出
与
之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过
，求此时碗的数量最多为多少个？
21．如图，
是
的直径，
是
的两条弦，点
与点
在
的两侧，
是
上一点（
），连接
，且
．
(1)如图1，若
，
，求
的半径；
(2)如图2，若
，求证：
．（请用两种证法解答）
22．如图，在
▱
中，
为锐角，点
在边
上，连接
，且
．
(1)如图1，若
是边
的中点，连接
，对角线
分别与
相交于点
．
①求证：
是
的中点；
②求
；
(2)如图
，
的延长线与
的延长线相交于点
，连接
的延长线与
相交于点
．试探究线段
与线段
之间的数量关系，并证明你的结论．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴相交于
，
两点（点
在点
左侧），顶点为
，连接
．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若
是
轴正半轴上一点，连接
．当点
的坐标为
时，求证：
；
(3)如图2，连接
，将
沿
轴折叠，折叠后点
落在第四象限的点
处，过点
的直线与线段
相交于点
，与
轴负半轴相交于点
．当
时，
与
是否相等？请说明理由．
参考答案
一、单选题
1. C
解：
，故此题答案为C．
2.
解：∵
互为倒数，∴
，
∵
，∴
，则
，
故此题答案为B．
3. A
解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形，
∴面积为
.
故此题答案为A．
4. C
解∶∵
，∴
，
∵
，∴
，
又
，
∴图中与
互补的角有
，
，
，共3个．
故此题答案为C．
5. D
解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为
，，，
，
画树状图如下.
一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能，
∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是
，
故此题答案为D．
6. A
，
将抛物线
向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
，故选A．
7. B
解：由题意得
，
解得
.
故此题答案为B．
8. B
解：连接
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
ππ
，
故此题答案为B．
9. D
解∶过
作
于
，过
作
于
，
∵
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴四边形
的面积为
梯形
，
故此题答案为D．
10. A
解：∵矩形
，
，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
过点
作
，则
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
.
故此题答案为A．
二、填空题
11. 3
解：原式
．
12. 7
解：根据题意，得
，
解得
．
13.
（答案不唯一）
设一次函数的表达式为
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
,
，
符合该条件的一次函数的表达式可以是
．故答案为
（答案不唯一）．
14.
解∶连接
，
∵
，
，
∴
，
，
∵
是切线，∴
，即
，
∵
，∴
，∴
，
∵四边形
是
的内接四边形，∴
．
15.
对于函数
，当
时，
随
的增大而减小，
时，
.对于函数
，当
时，
随
的增大而减大，
时，
，
.
16.
解∶过
作
于
，
∵菱形
中，
，
，
∴
，
，
∴
，
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
三、解答题
17.
（），
； （）
.
解：
（）
，
当
时，原式
；
（）
，
去分母得
，
解得
，把
代入
，
∴
是原方程的解．
18.
(1)
(2)乙同学的测试成绩是
(3)见解析
（1）解：本次测试的总人数为
（人），
成绩为优秀的人数为40人，则优秀率为
；
（2）解：
第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228，
则
，
答：乙同学的测试成绩是
；
（3）解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7，
本校测试成绩的优秀率为
，本校所在区县测试成绩优秀率为
，
，
从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；
从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平.
建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．
19.
(1)见解析；(2)
（1）解：如图，将测角仪放在
处，用皮尺测量出
到
的距离为
，用测角仪测出
的仰角为
，测出
的俯角为
；
（2）解：如图，过
作
于
，
则四边形
是矩形，
，
，
∴
，
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
答：教学楼
的高度为
．
20.
(1)
；(2)10个
（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加
，
∴
，
检验∶当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
.
∴
.
（2）解：根据题意，得
，
解得
，∴碗的数量最多为10个．
21. (1)3；(2)见详解.
（1）解∶∵
，∴
，
∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，∴
，解得
，
即
的半径为3；
（2）证明：法一：过
作
于
，
∴
，
∵
∴
，
又∵
，
，∴
≌
，
∴
，∴
；
法二：连接
，
∵
是直径，∴
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
．
22.
(1)①见解析；②
(2)
，理由见解析
（1）解：①
，
为
的中点，
，
是边
的中点，
，
，
在
▱
中，
，
≌
，
，
是
的中点；
②
，
四边形
为平行四边形，
，
，
，
∵ ≌
，
，
，
，
，
；
（2）解：线段
与线段
之间的数量关系为
，理由如下,
连接
交
于点
，如下图
由题意，
的延长线与
的延长线相交于点
，连接
的延长线与
相交于点
，
，
又
，
，
，
≌
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，
，
为
的中点，
，
，
为
的中点，
为
的中位线，
，
，
≌
，
，
，
，
，
．
23.
(1)
(2)见解析
(3)相等，理由见解析
（1）解：
该抛物线的顶点为
，即该抛物线的对称轴为
，
，
，
将
代入解析式
，则
，
，
抛物线的解析式表达式为
；
（2）证明：如图1，延长
交
轴与点
，
由（1）知抛物线的解析式表达式为
，则
，
，
点
的坐标为
，设直线
的解析式为
，
则
，解得
直线
的解析式为
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点
作
轴，交
轴与点
，
令
，即
，解得
，
根据题意得
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
点
的横坐标为
，
由折叠的性质得到
，设直线
的解析式为
，
则
，解得
，
直线
的解析式为
，
，
，
，
，
，
，
，
．