绝密★启用前
200782-2024年江苏省扬州市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．实数2的倒数是（ ）
A．
B．2C．
D．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 |
|
|
|
|
|
|
|
|
人数 |
7 |
4 |
4 |
7 |
11 |
10 |
5 |
3 |
这45名同学视力检查数据的众数是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，点
关于原点的对称点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
（第6题图）
A. 三棱锥B. 圆锥C. 三棱柱D. 长方体
7．在平面直角坐标系中，函数
的图象与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
8．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
二、填空题
9．近年来扬州经济稳步发展,2024年4月26日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元，把18700000这个数用科学记数法表示为 ．
10．分解因式：
．
11．数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 |
50 |
100 |
200 |
300 |
500 |
1 000 |
2 000 |
3 000 |
5 000 |
盖面朝上次数 |
28 |
54 |
106 |
157 |
264 |
527 |
1 056 |
1 587 |
2 650 |
盖面朝上频率 |
0.560 |
0.540 |
0.530 |
0.523 |
0.528 |
0.527 |
0.528 |
0.529 |
0.530 |
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 .（精确到
）
12．若二次根式
有意义，则
的取值范围是 ．
13．若用半径为
的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为
．
14．如图，已知一次函数
的图象分别与
,
轴交于
,
两点，若
,
,则关于
的方程
的解为 .
（第15题图）
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为速度快的人每分钟走
米，速度慢的人每分钟走
米，现在速度慢的人先走
米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）
经小孔
在屏幕（竖直放置）上成像
.设
,
,小孔
到
的距离为
,则小孔
到
的距离为
.
17．如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
在反比例函数
的图象上，
轴于点 ，
，将
沿
翻折，若点
的对应点
落在该反比例函数的图象上，则
的值为 ．
18．如图，已知两条平行线
,
，点
是
上的定点，
于点
，点
分别是
,
上的动点，且满足
，连接
交线段
于点 ，
于点
，则当
最大时，
的值为 ．
三、解答题
19．（1）计算：
π
；
（2）化简：
．
20．解不等式组
，并求出它的所有整数解的和．
21．2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 |
成绩x（分） |
百分比 |
A组 |
|
|
B组 |
|
|
C组 |
|
a |
D组 |
|
|
E组 |
|
|
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的成绩统计表中
%，并补全条形统计图；
(2)这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A,B,C,D或E）；
(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
22．2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热.小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、
）参加公益讲解活动.
（1） 若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是 ;
（2）
小明和小亮在C、D、
三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率.
23．为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾?
24．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形
．
(1)试判断四边形
的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为
，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形
的面积为
，求此时直线
所夹锐角
的度数．
25．如图，已知二次函数
的图象与
轴交于
，
两点．
(1)求
的值；
(2)若点
在该二次函数的图象上，且
的面积为
，求点
的坐标．
26．如图，已知
及
边上一点
.
（1）
用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点
,使得
;
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）
在（1）的条件下，以点
为圆心，以
为半径的圆交射线
于点
,用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点
,使点
到点
的距离与点
到射线
的距离相等；
（保留作图痕迹，不写作法）
（3）
在（1）、（2）的条件下，若
,
,求
的长.
27．如图，点
,
,
,
,
依次在直线
上，点
,
固定不动，且
,分别以
,
为边在直线
同侧作正方形
、正方形
,
,直角边
恒过点
,直角边
恒过点
.
（1）
如图（1）,若
,
,求点
与点
之间的距离；
（2）
如图（1）,若
,当点
在点
,
之间运动时，求
的最大值；
（3）
如图（2）,若
,当点
在点
,
之间运动时，点
随之运动，连接
,点
是
的中点，连接
,
,则
的最小值为 .
28．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知
，
，
是
的外接圆，点
在
上（
），连接
，
，
．
【特殊化感知】
（1）如图1，若
，点
在
延长线上，则
与
的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若
，点
，
在
同侧，判断
与
的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若
，直接写出
，
，
满足的数量关系．（用含
的式子表示）
参考答案
一、单选题
1. D
解：∵
，∴
的倒数为
，故此题答案为D
．
2. C
解：
，，
选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故此题答案为C．
3. B
解：A、
，原选项错误，不符合题意；
B、
，正确，符合题意；
C、
，原选项错误，不符合题意；
D、
，原选项错误，不符合题意.
故此题答案为B ．
4. B
解：这45名同学视力检查数据中，
出现的次数最多，因此众数是
．
故此题答案为B．
5. D
∵点
关于原点的对称点为
，
∴
的坐标为（-1，-2），
故此题答案为D．
6. C
由题图可知该几何体侧面为长方形，则该几何体为棱柱，再由底面为三角形，可得该几何体为三棱柱.故选C.
7. B
当
时，
，
函数
的图象与
轴交于点
；当
时，
，此方程无解，
函数
的图象与
轴无交点，
函数
的图象与坐标轴的交点个数是1.故选B.
【易错警示】
与坐标轴的交点既要考虑与
轴的交点,也要考虑与
轴的交点，不要漏解.
8. D
这一列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于
，即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有
个,
故此题答案为D.
二、填空题
9.
．
10.
解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式
．
11. 0.53
由题中表格可知，“盖面朝上”的频率在0.53附近波动，
可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53.故答案为0.53.
12.
解：根据题意，使二次根式
有意义，即
﹣2≥0，
解得
．
13. 5
解：圆锥的侧面展开图的弧长为
ππ
，
∴圆锥的底面半径为
ππ
．
14.
一次函数
的图象与
轴交于点
，且
，
，
关于
的方程
的解为
，故答案为
.
15.
解：根据题意，设
分钟追上，∴
，解得，
，
∴速度快的人追上速度慢的人需要
分钟．
16. 20
设小孔
到
的距离为
.
，
易得
相似三角形对应高的比等于相似比,
，即
，
，
小孔
到
的距离为
，故答案为20.
17.
解：如图，过点
作
轴于点
，
∵点
的坐标为
，∴
，
∵
，
，
设
，则
，由对称可知
，
，
∴
，∴
，
，∴
，
∵点
的对应点
落在该反比例函数的图象上，∴
，
解得
，∵反比例函数图象在第一象限，∴
．
18.
解：∵两条平行线
,
，点
是
上的定点，
于点
，
∴点
为定点，
的长度为定值，
∵
，
∴
，
，
∵
，
∴ ≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴点
在以
为直径的圆上运动，
如图，取线段
的中点
，以点
为圆心，
为半径画圆，
则点
在
上运动，
∴当
与
相切时
最大，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
．
三、解答题
19.
（）π
；
（）
解：
（）π
π
π
π
；
（）
．
20.
，整数和为6
解：
①②
，
由①得，
，解得
；
由②得，
，移项得，
，解得
，
∴原不等式组的解为
，
∴所有整数解为
，
∴所有整数解的和为
．
21. (1)20，条形统计图见详解;(2)D;(3)300人
（1）
，
C组人数为
，
补全条形统计图如图所示.
（2）
，
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）
（人）,
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
22.
（1）
（2）
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种，
小明和小亮选到相同景区的概率为
.
（1）
【解】小明在这5个景区中随机选择1个景区,共有5种等可能的结果，其中选中东关街的结果有1种，
选中东关街的概率是
.故答案为
.
23.
【解】设B型机器每天处理
吨垃圾，则A型机器每天处理
吨垃圾.根据题意得
,解得
，经检验，
是所列方程的解，且符合题意.答：B型机器每天处理60吨垃圾.
24.
(1)四边形
是菱形，理由见详解；(2)
.
（1）解：四边形
是菱形，理由如下，
如图所示，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
根据题意，四边形
，四边形
是矩形，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴四边形
是平行四边形，
∵宽度相等，即
，且
，
，
∴ ≌
，
∴
，
∴平行四边形
是菱形；
（2）解：如图所示，过点
作
于点
，
根据题意，
，
∵ 四边形
，
∴
，
由（1）可得四边形
是菱形，
∴
，
在
中，
，
∴
．
25.
(1) ，
；(2)
，，，
.
（1）解：二次函数
的图像与
轴交于
，
两点，
∴ ，，
解得
，，
∴ ，
；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为
，
，
，
∴
，
设
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
，无解，不符合题意，舍去；
当
时，
，
；
∴ ，，，
．
26.
（1）
【解】如图,点
即为所求作.
（2）
如图，点
即为所求作.
（3）
由作图可知
，
点
,
,
在以
为圆心,
为半径的圆上，且
为直径,
，
.
，
在
中，
,设
，
，则
.由作图易知
， ≌
，
，
，
,
，
,
，
，
,
,
，
，
，
.
27.
（1）
【解】
四边形
、四边形
都是正方形，
，
，
.
，
，
，
，
，
，
或6，
点
与点
之间的距离是4或6.（2）
设
，
，
.同（1）可得
，
，
.
,
当
时，
取最大值,为
，
的最大值为
.（3）
（3）
，
是
的中点，
，
.如图，作射线
，则
为
的平分线，作
关于
所在直线的对称点
，易知
在
的延长线上,连接
交射线
于点
，则
的位置即为
取最小值时
的位置，
的长度即为
的最小值.过点
作
于点
.
，
四边形
为矩形，
，
.
，
.在
中，
，
的最小值为
.故答案为
.
【归纳总结】
一线三垂直型相似三角形：
如图，点
在
上,
，则
，
，则
，可推出
.
28.
（）
； （）（）
当
在
上时，
；当
在
上时，
解：∵
，
，
∴
是等边三角形，则
∵
是
的外接圆，
∴
是
的角平分线，则
，
∴
∵四边形
是圆内接四边形，
∴
∴
设
交于点
，则
，设
，则
在
中，
∴
∴
，
∵
是直径，则
，在
中，
∴
，
∴
.
（2）如图所示，在
上截取
，
∵
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，则
，
∴
.
∵四边形
是圆内接四边形，
∴
，
∴
；
∵
，
，
∴
是等边三角形，则
，
∴
，
又∵
，
∴
在
中
∴ ≌
∴
，
∴
即
；
（3）解：①如图所示，当
在
上时，
在
上截取
，
∵
，
∴
.
又∵
，
∴
，则
，
∴
即
.
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
.
如图所示，作
于点
，在
中，
，∴
∴
，
∴
，
即
;
②当
在
上时，如图所示，延长
至
，使得
，连接
，
∵四边形
是圆内接四边形，
∴
又∵
，
∴
，则
，
∴
即
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，同①可得
，
∴
，
∴
.
综上所述，当
在
上时，
；
当
在
上时，
．