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200647-2024年江苏省常州市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．
的绝对值是（ ）．
A．
B．
C．2024
D．
2．若二次根式
有意义，则
可取的值是（ ）
A．
B．0 C．1 D．2
3．计算
的结果是（ ）
A．2B．
C．
D．
4．下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在纸上画有
，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在
的平分线上，则（ ）
A．
与
一定相等 B．
与
一定不相等
C．
与
一定相等 D．
与
一定不相等
6．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．
光年 B．
光年 C．
光年 D．
光年
7．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力
、
，则
的力臂
大于
的力臂
．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进
所用的时间，即“配速”（单位：
）．小华参加
的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第
所用的时间最长
B．第
的平均速度最大
C．第
和第
的平均速度相同
D．前
的平均速度大于最后
的平均速度
二、填空题
9．16的算术平方根是 ．
10．分解因式:
．
11．计算：
．
12．若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
13．如图，在平面直角坐标系
中，正方形
的对角线 ，
相交于原点O．若点A的坐标是
，则点C的坐标是 ．
14．如图，
是
的直径，
是
的弦，连接 ，，
．若
，则
．
15．如图，在矩形
中，对角线
的垂直平分线分别交边 ，
于点E，F．若
，
，则
．
16．如图，在
中，
，
， ，
是边
的中点，E是边
上一点，连接 ，
．将
沿
翻折，点C落在
上的点F处，则
．
17．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是
，方差是
．若第10次投掷标枪的落点恰好在
线上，且投掷结束后这组成绩的方差是
，则
（填“
”、“
”或“
”）．
18．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速
的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于
的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（
）的取值范围是 ．
三、解答题
19．解方程组和不等式组：
(1)
；
(2)
.
20．先化简，再求值：
，其中
．
21．某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t |
|
|
|
|
充电宝数量/个 |
2 |
3 |
10 |
5 |
(1)本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
(2)根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足
；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足
．
(3)估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
22．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
23．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，
，
相交于点 ，
，
，
．
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)连接
，则
与l的位置关系是 ．
24．如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
的图像与反比例函数
的图像相交于点
，
．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接
，求
的面积．
25．书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是
，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后
与
的比是
，且
，
，
，求四周边衬的宽度．
26．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
(1)如图1，B，C，D是线段AE的四等分点．若
，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 ，
（写出符合条件的一种情况即可）；
(2)如图2，等边三角形
的边长是2．用直尺和圆规作出
的一个“平移关联图形”，且满足
（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(3)如图3，在平面直角坐标系
中，点D，E，G的坐标分别是
、
、
，以点G为圆心，r为半径画圆．若对
上的任意点F，连接
所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足
，直接写出r的取值范围．
27．将边长均为
的等边三角形纸片 ，
叠放在一起，使点E，B分别在边
，
上（端点除外），边 ，
相交于点G，边
，
相交于点H．
(1)如图1，当E是边
的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
(2)如图2，若
，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当
，
时，
与
有怎样的数量关系？试说明理由．
28．在平面直角坐标系
中，二次函数
的图像与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C．
（1）
；
（2）如图，已知点A的坐标是
．
①当
，且
时，y的最大值和最小值分别是
，，
，求m的值；
②连接
，
是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作
轴，垂足为D．作
，射线
交y轴于点Q，连接
，
．若
，求点P的横坐标．
参考答案
一、单选题
1. C
解：
的绝对值是
．
故此题答案为C．
2. D
解：若二次根式
有意义，则
，解得
，
在四个选项中符合
的是2，
故此题答案为D．
3. B
解：
，故此题答案为B．
4. B
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
．
故此题答案为B．
5. A
解：如图所示，过点P分别作
的垂线，垂足分别为E，F，
∵点P在
的平分线上，∴
，
由平行线间间距相等可知
，
，∴
，
由于
和
的长度未知，故二者不一定相等，故此题答案为A，
6. C
解：50亿光年
光年，故此题答案为C．
7. A
解：
过点
有
，
，
即得到
的力臂
大于
的力臂
，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故此题答案为A．
8. D
解：“配速”是每行进
所用的时间，故从图中可知，第
所用的时间最长，故选项A不符合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程
时间，由图可知，配速最小，故第
所用时间最短，故第
的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第
所用的时间与第
所用的时间一致，故第
的和第
的平均速度相同，故选项C不符合题意；
由于前
的的时间大于最后
的时间，故前
的平均速度小于最后
的平均速度，故选项D符合题意，
故此题答案为D．
二、填空题
9. 4
解：∵
∴16的平方根为4和−4，
∴16的算术平方根为4
10.
．
11.
解：
．
12.
解：由题意得
．
13.
解：∵正方形
的对角线
，
相交于原点O，
∴
，∴
关于原点对称，
∵点A的坐标是
，∴点C的坐标是
．
14.
解：∵
是
的直径，
，
，
∴
，
∴
．
15.
解：
的垂直平分线分别交边
，
于点E，F．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，令
，
，
解得
或
（舍去），
．
16.
解：∵
，
，
，
是边
的中点，
∴
，∴
，
∵将
沿
翻折，点C落在
上的点F处，
∴
，
，
∴
，
设
，则
，
在
中，由勾股定理，得，
，解得，
；∴
．
17.
＞
解：设这组数据为前9个数分别为
，，，
，
由题意可知，
，
，
.
根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，
＞
．
18.
解：
．
根据题意得，
，
解得，
，
车速
的取值范围是
．
三、解答题
19.
(1)
；(2)
（1）解：
①②
①②
，得，
，解得，
；
把
代入①，得，
，解得，
；
∴方程组的解为
．
（2）解：
①②
，
由①，得，
；
由②，得，
；
∴不等式组的解集为
．
20.
，
解：
，
当
时，原式
．
21. (1)见解析；(2)①②；(3)500个
（1）解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式．
（2）解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确；
将数据排序后，第10个和第11个数据均位于
，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足
；故②正确；
由统计表的中的数据可知，
的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误；
（3）解：
（个）．
22.
(1)
；(2)
（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是
；
（2）解：设分别用A，B，C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
甲乙 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有
，
，
，共3种，∴甲获胜的概率为
．
23.
(1)见解析；(2)
（1）证明：
在
和
中
，
∴ ≌
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰三角形；
（2）∵
，
，
∴
，∴
，
∴
，
∵
，
∵
，∴
，
∴
．
24.
(1)
，
；(2)
（1）解：∵一次函数
的图像与反比例函数
的图像相交于点
，
，∴
，∴
，
∴反比例函数的解析式为
，
，
∴
，解得，
，
∴一次函数的解析式为
；
（2）解：设直线
与
轴交于点
，
∵
，∴当
时，
，∴
，
∴
的面积
．
25.
上、下、左、右边衬的宽度分别是
，，，
解：由题意得
，
，
∵
与
的比是
，
∴
，解得
，经检验
是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是
，，，
．
26.
(1)
，
； (2)图见解析（答案不唯一）；
(3)
或
（1）解：∵B，C，D是线段AE的四等分点
．
，
∴
，∴
，
∴线段
的平移图形是
，
；
（2）解：如图：
即为所求；
由作图可知：
，
∴四边形
为菱形，∴
，
∵
，∴四边形
为菱形，
∴
，
∴
即为所求；
（3）∵点D，E，G的坐标分别是
、
、
，
∴
，∴
，
∵对
上的任意点F，连接
所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足
，且
，∴
，
当
在圆外时，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
．
当
在圆内时，则
，∴
，∴
；
综上，
或
．
27.
(1)菱形；(2)
；(3)
，理由见解析
（1）解：如图所示，连接
，
∵ ，
都是等边三角形，∴
，∴
，，，
四点共圆，
∵点E是
的中点，∴
，
∴
为过
，，，
的圆的直径，
又∵
，∴
为过
，，，
的圆的直径，
∴点H为圆心，∴
，∴
，
∴
，∴
，
，
∴四边形
是平行四边形，
又∵
，∴四边形
是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵
，
都是等边三角形，
∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴四边形
是平行四边形，
∵
，∴
是等边三角形，
过点E作
，∴设
，则
，
，
∴
，
∴ 重叠四边形
，
∵
，∴当
时，
重叠
有最大值，最大值为
；
（3）解：
，理由如下：
如图所示，过点B作
于M，过点E作
于N，连接
，
∵ ，
都是边长为
的等边三角形，
∴
，
，
，
∴由勾股定理可得
，
，
∴
，
又∵
，∴
≌
，∴
，
∴
，即
．
28.
（1）3；
（2）①
；②1或
或
（1）解：当
时，
，即
；
（2）解：①将点A代入
得，
，解得
，
∴解析式为
，
而
，∴对称轴为直线
，
当
，且
时，∴y随着x的增大而减小，
∴当
，
，当
时，
，
由
得，
，解得
或
（舍），∴
；
②在
中，
，由题意得，
，
，
∴四边形
为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形
为平行四边形时，则
，
∵
轴，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴设
，则
，
∴
，∴
，∴
，
将点
代入
，得
，
解得
或
（舍），∴
；
当四边形
为等腰梯形时，则
，过点P作
轴于点E，
∵
轴，∴
，
∴ ≌
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴设
，则
，
∴
，∴
，即
；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形
为平行四边形，则
，
∵
，∴
，
设
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
将点P代入
，得
，
解得
或
，
而当
时，
，故舍，
∴
．
综上：点P的横坐标为1或
或
．