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200698-2024年吉林省中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若
的运算结果为正数，则
内的数字可以为（ ）
A．2B．1C．0D．
2．长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达
，数据
用科学记数法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 主视图、左视图与俯视图都相同
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
的坐标为
．以 ，
为边作矩形
，若将矩形
绕点
顺时针旋转
，得到矩形
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，四边形
内接于
，过点
作
，交
于点
．若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．当分式
的值为正数时，写出一个满足条件的
的值为 ．
8．因式分解：
﹣
．
9．不等式组
的解集为 ．
10．如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
11．正六边形的每个内角等于 °．
12．如图，正方形
的对角线 ，
相交于点
，点
是
的中点，点
是
上一点．连接
．若
，则
的值为 ．
13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中
，
于点 ，
尺，
尺．设
的长度为
尺，可列方程为 ．
14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由
和扇形
组成，
分别与
交于点 ，，
，
，
，则阴影部分的面积为
（结果保留 π
）．
三、解答题
15．先化简，再求值：
，其中
．
16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
17．如图，在
▱
中，点
是
的中点，连接
并延长，交
的延长线于点
，求证：
．
18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
19．图①、图②均是
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点
，，，，，
均在格点上．图①中已画出四边形
，图②中已画出以
为半径的
，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，面出四边形
的一条对称轴．
(2)在图②中，画出经过点
的
的切线．
20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量
的取值范围）．
(2)当电阻
为
时，求此时的电流
．
21．中华人民共和国
年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
(1)
年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
(2)直接写出
年全国居民人均可支配收入的中位数．
(3)下列判断合理的是 （填序号）．
①
年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．
②
年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
22．图（1）中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中
处探测到吉塔，此时飞行高度
，如图（2）．从直升飞机上看塔尖
的俯角
，看塔底
的俯角
，求吉塔的高度
（结果精确到
）.（参考数据：
，
，
）
图（1） 图（2）
23．综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为
，凳面的宽度为
，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
|
16.5 |
19.8 |
23.1 |
26.4 |
29.7 |
凳面的宽度
|
115.5 |
132 |
148.5 |
165 |
181.5 |
【分析数据】
如图③，小组根据表中
，
的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为
时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在
中，
，
，垂足为点
．若
，
，则
．
（2）如图②，在菱形
中，
，
，则 菱形
．
（3）如图③，在四边形
中，
，垂足为点
．若
，
，则 四边形
；若
，
，猜想 四边形
与 ，
的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在
中，
，
，
，点
为边
上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交边
，
于点 ，
；
（ⅱ）以点
为圆心，
长为半径画弧，交线段
于点
；
（ⅲ）以点
为圆心，
长为半径画弧，交前一条弧于点
，点 ，
在
同侧；
（ⅳ）过点
画射线
，在射线
上截取
，连接
，
，
．
请你直接写出
四边形
的值．
25．如图，在
中，
，
，
，
是
的角平分线．动点
从点
出发，以
的速度沿折线
向终点
运动．过点
作
，交
于点
，以
为边作等边三角形
，且点 ，
在
同侧，设点
的运动时间为
，
与
重合部分图形的面积为
．
(1)当点
在线段
上运动时，判断
的形状（不必证明），并直接写出
的长（用含
的代数式表示）．
(2)当点
与点
重合时，求
的值．
(3)求
关于
的函数解析式，并写出自变量
的取值范围．
26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入
的值为
时，输出
的值为1；输入
的值为2时，输出
的值为3；输入
的值为3时，输出
的值为6．
图（1） 图（2）
（1）
直接写出
，
，
的值．
（2）
小明在平面直角坐标系中画出了关于
的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．．当
随
的增大而增大时，求
的取值范围．
Ⅱ．．若关于
的方程
为实数
，在
时无解，求
的取值范围．
参考答案
一、单选题
1. D
解：
，
，
，
，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故此题答案为D．
2. B
解：
，
故此题答案为B．
3. A
这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同.故选A．
4. B
解：A、
，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、
，解得
，故本选项符合题意；
C、
，
，解得
，故本选项不符合题意；
D、
，
，解得
，故本选项不符合题意，
故此题答案为B．
5. C
解：∵点
的坐标为
，点
的坐标为
，
∴ ，
，
∵四边形
是矩形，
∴ ，
，
∵将矩形
绕点
顺时针旋转
，得到矩形
，
∴ ，
，
，
∴
轴，
∴点
的坐标为
，
故此题答案为C．
6. C
解：∵
，
，∴
，
∵四边形
内接于
，∴
，∴
,
故此题答案为C．
二、填空题
7. 0（答案不唯一）
的值为正数，
，
，
，则满足条件的
的值可以为0．故答案为0（答案不唯一）．
8. a（a﹣3）
解：
﹣3a=a（a﹣3）．
9.
解：
①②
，
解不等式①得
，解不等式②得
，
∴原不等式组的解集为
．
10. 两点之间，线段最短
由题意可知，其蕴含的数学道理是两点之间，线段最短.故答案为两点之间，线段最短．
11. 120
解：六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为
.
12.
解：∵正方形
的对角线
，
相交于点
，
∴
，
，
∵点
是
的中点，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，即
．
13.
解：设
的长度为
尺，则
，
∵
，由勾股定理得
，∴
．
14.
π
解：由题意得
阴影ππ
．
三、解答题
15.
，
解：原式
，
当
时，原式
．
16.
解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件
，，
，可画树状图如下.
由树状图可知共有9种等可能的结果数，
小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率
．
17. 见详解
证明：∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∴ ，
，
∵点
是
的中点，
∴
，
∴ ≌
，
∴
．
18. 白色琴键52个，黑色琴键36个
解：设黑色琴键
个，则白色琴键
个，
由题意得
，
解得
，
∴白色琴键有
（个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
19. 见详解
（1）解：如图所示，取格点
，
，作直线
，则直线
即为所求；
易证明四边形
是矩形，且
，
分别为
，
的中点.
（2）解：如图所示，取格点
，
，作直线
，则直线
即为所求；
易证明四边形
是正方形，点
为正方形
的中心，则
．
20.
(1)
（1）解：设这个反比例函数的解析式为
，
把
，
代入
中得
，解得
，
∴这个反比例函数的解析式为
；
（2）解：在
中，当
时，
，∴此时的电流
为
．
21.
(1)
元；(2)
元；(3)①
（1）解：
元，
答：
年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多
元．
（2）解：
年这五年的全国居民人均可支配收入分别为
元，
元，
元，
元，
元，
∴
年全国居民人均可支配收入的中位数为
元；
（3）解：由统计图可知
年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；
由统计图可知
年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误．
22.
过点
作
，垂足为
．
，
，
，
，
,
四边形
是矩形，
，
．由题意得
,
,
,
,
.
,
.
，
,
．在
中，
，
,
．答：吉塔的高度
约为
．【思路分析】过点
作
，先说明四边形
是矩形，再在
、
中，利用直角三角形的边角间关系求出
的长，最后利用线段的和差关系得结论．
23.
(1)在同一条直线上，函数解析式为
；(2)
（1）解：设函数解析式为，
，
∵当
，
，
∴
，解得
，
∴函数解析式为
，经检验其余点均在直线
上，
∴函数解析式为
，这些点在同一条直线上；
（2）解：把
代入
得
，解得
，
∴当凳面宽度为
时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为
．
24.
（1）2；（2）4；
（）
； 四边形
，证明见详解；（4）10
（1）∵在
中，
，
，
，
∴
，∴
，∴
；
（2）∵在菱形
中，
，
，∴
菱形
；
（3）∵
，∴
，
，
∵ 四边形
，
∴ 四边形
，
∴ 四边形
，
∵
，
，∴
四边形
；
猜想：
四边形
，
证明：∵
，∴
，
，
∵ 四边形
，
∴ 四边形
，
∴ 四边形
，
∵
，
，∴
四边形
；
（4）根据尺规作图可知：
，
∵在
中，
，
，
，∴
，
∴
是直角三角形，且
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，
，
∴根据（3）的结论得出
四边形
．
25.
(1)等腰三角形，
；(2)
；(3)
（1）解：过点
作
于点
，由题意得
，
∵
，
，∴
，
∵
平分
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
为等腰三角形，
∵
，∴
，∴在
中，
；
（2）解：如图，
∵
为等边三角形，∴
，
由（1）得
，∴
，即
，∴
；
（3）解：当点
在
上，点
在
上，重合部分为
，过点
作
于点
，
∵
，
∴
，
∵
是等边三角形，∴
，∴
，
由（2）知当点
与点
重合时，
，∴
；
当点
在
上，点
在
延长线上时，记
与
交于点
，此时重合部分为四边形
，如图，
∵
是等边三角形，∴
，
而
，∴
，
∴
，
∴
，
当点
与点
重合时，在
中，
，∴
，
∴
；
当点
在
上，重合部分为
，如图，
∵
，由上知
，∴
，∴此时
，
∴
，
∵
是等边三角形，∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∴当点
与点
重合时，
，解得
，
∴
，
综上所述
．
26.
（1）
【解】
,
,
的值分别为1,1,
，
将
，
代入
得
，解得
，
，
将
，
和
，
分别代入
得
解得
故
,
，
．（2）
Ⅰ．
，
，
，
一次函数表达式为
，二次函数表达式为
.由题图（2）可知，当
时，
，
抛物线的对称轴为直线
，且开口向上，
当
时，
随
的增大而增大；当
时，
，
，
时，
随
的增大而增大.综上，
随
的增大而增大时，
的取值范围为
或
.Ⅱ．
在
时无解，
在
时无解，即抛物线
与直线
在
时无交点.由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为
，如图.
当
时，抛物线
与直线
在
时恰好有一个交点，
当
时，抛物线
与直线
在
时无交点.当
时，
，
当
时，抛物线
与直线
在
时无交点.综上，当
或
时，抛物线
与直线
在
时无交点，即当
或
时，关于
的方程
为实数
，在
时无解.