【327928】2024年吉林省中考数学试题

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200698-2024年吉林省中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．若 的运算结果为正数，则 内的数字可以为（      ）

A．2B．1C．0D．

2．长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达 ，数据 用科学记数法表示为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（      ）

A. 主视图与左视图相同

B. 主视图与俯视图相同

C. 左视图与俯视图相同

D. 主视图、左视图与俯视图都相同

4．下列方程中，有两个相等实数根的是（      ）

A． 　　　　B．

C． 　　　　D．

5．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 ， 为边作矩形 ，若将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

6．如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 ．若 ，则 的度数是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

7．当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的 的值为                ．

8．因式分解： ﹣        ．

9．不等式组 的解集为      ．

10．如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是                      ．

11．正六边形的每个内角等于              °．

12．如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是 的中点，点 是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为      ．

13．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点 ， 尺， 尺．设 的长度为 尺，可列方程为             ．

14．某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由 和扇形 组成， 分别与 交于点 ，， ， ， ，则阴影部分的面积为       （结果保留 π ）．

三、解答题

15．先化简，再求值： ，其中 ．

16．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．

17．如图，在 ▱ 中，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，求证： ．

18．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．

19．图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点 ，，，，， 均在格点上．图①中已画出四边形 ，图②中已画出以 为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中，面出四边形 的一条对称轴．

(2)在图②中，画出经过点 的 的切线．

20．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量 的取值范围）．

(2)当电阻 为 时，求此时的电流 ．

21．中华人民共和国 年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．

根据以上信息回答下列问题：

(1) 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？

(2)直接写出 年全国居民人均可支配收入的中位数．

(3)下列判断合理的是      （填序号）．

① 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．

② 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．

22．图（1）中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中 处探测到吉塔，此时飞行高度 ，如图（2）．从直升飞机上看塔尖 的俯角 ，看塔底 的俯角 ，求吉塔的高度 （结果精确到 ）.（参考数据： ， ， ）

    

图（1）     图（2）

23．综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．

【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，记录如下：

以对称轴为基准向两边各取相同的长度	16.5	19.8	23.1	26.4	29.7
凳面的宽度	115.5	132	148.5	165	181.5

【分析数据】

如图③，小组根据表中 ， 的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．

(2)当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？

24．小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

  

【探究论证】

（1）如图①，在 中， ， ，垂足为点 ．若 ， ，则       ．

（2）如图②，在菱形 中， ， ，则 _菱形       ．

（3）如图③，在四边形 中， ，垂足为点 ．若 ， ，则 _四边形       ；若 ， ，猜想 _四边形 与 ， 的关系，并证明你的猜想．

【理解运用】

（4）如图④，在 中， ， ， ，点 为边 上一点．

小明利用直尺和圆规分四步作图：

（ⅰ）以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 ， 于点 ， ；

（ⅱ）以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ；

（ⅲ）以点 为圆心， 长为半径画弧，交前一条弧于点 ，点 ， 在 同侧；

（ⅳ）过点 画射线 ，在射线 上截取 ，连接 ， ， ．

请你直接写出 _四边形 的值．

25．如图，在 中， ， ， ， 是 的角平分线．动点 从点 出发，以 的速度沿折线 向终点 运动．过点 作 ，交 于点 ，以 为边作等边三角形 ，且点 ， 在 同侧，设点 的运动时间为 ， 与 重合部分图形的面积为 ．

  

(1)当点 在线段 上运动时，判断 的形状（不必证明），并直接写出 的长（用含 的代数式表示）．

(2)当点 与点 重合时，求 的值．

(3)求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围．

26．小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入 的值为 时，输出 的值为1；输入 的值为2时，输出 的值为3；输入 的值为3时，输出 的值为6．

    

图（1）     图（2）

（1） 直接写出 ， ， 的值．

（2） 小明在平面直角坐标系中画出了关于 的函数图像，如图（2）．

Ⅰ．．当 随 的增大而增大时，求 的取值范围．

Ⅱ．．若关于 的方程 为实数 ，在 时无解，求 的取值范围．

参考答案

一、单选题

1. D

解： ， ， ， ，

四个算式的运算结果中，只有3是正数，

故此题答案为D．

2. B

解： ，

故此题答案为B．

3. A

这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同.故选A．

4. B

解：A、 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；

B、 ，解得 ，故本选项符合题意；

C、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意；

D、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意，

故此题答案为B．

5. C

解：∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，

∴ ， ，

∵四边形 是矩形，

∴ ， ，

∵将矩形 绕点 顺时针旋转 ，得到矩形 ，

∴ ， ， ，

∴ 轴，

∴点 的坐标为 ，

故此题答案为C．

6. C

解：∵ ， ，∴ ，

∵四边形 内接于 ，∴ ，∴ ,

故此题答案为C．

二、填空题

7. 0（答案不唯一）

的值为正数， ， ， ，则满足条件的 的值可以为0．故答案为0（答案不唯一）．

8. a（a﹣3）

解： ﹣3a=a（a﹣3）．

9.

解： ①② ，

解不等式①得 ，解不等式②得 ，

∴原不等式组的解集为 ．

10. 两点之间，线段最短

由题意可知，其蕴含的数学道理是两点之间，线段最短.故答案为两点之间，线段最短．

11. 120

解：六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，

∴正六边形的每个内角为 .

12.

解：∵正方形 的对角线 ， 相交于点 ，

∴ ， ，

∵点 是 的中点，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ．

13.

解：设 的长度为 尺，则 ，

∵ ，由勾股定理得 ，∴ ．

14. π

解：由题意得 _阴影ππ ．

三、解答题

15. ，

解：原式 ，

当 时，原式 ．

16.

解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件 ，， ，可画树状图如下.

由树状图可知共有9种等可能的结果数，

小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，

∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率 ．

17. 见详解

证明：∵四边形 是平行四边形，

∴ ，

∴ ， ，

∵点 是 的中点，

∴ ，

∴ ≌ ，

∴ ．

18. 白色琴键52个，黑色琴键36个

解：设黑色琴键 个，则白色琴键 个，

由题意得 ，

解得 ，

∴白色琴键有 （个），

答：白色琴键52个，黑色琴键36个．

19. 见详解

（1）解：如图所示，取格点 ， ，作直线 ，则直线 即为所求；

易证明四边形 是矩形，且 ， 分别为 ， 的中点.

（2）解：如图所示，取格点 ， ，作直线 ，则直线 即为所求；

易证明四边形 是正方形，点 为正方形 的中心，则 ．

20. (1)

（1）解：设这个反比例函数的解析式为 ，

把 ， 代入 中得 ，解得 ，

∴这个反比例函数的解析式为 ；

（2）解：在 中，当 时， ，∴此时的电流 为 ．

21. (1) 元；(2) 元；(3)①

（1）解： 元，

答： 年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多 元．

（2）解： 年这五年的全国居民人均可支配收入分别为 元， 元， 元， 元， 元，

∴ 年全国居民人均可支配收入的中位数为 元；

（3）解：由统计图可知 年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；

由统计图可知 年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误．

22. 过点 作 ，垂足为 ． ， ， ， ， , 四边形 是矩形， ， ．由题意得 , , , , . , . ， , ．在 中， ， , ．答：吉塔的高度 约为 ．【思路分析】过点 作 ，先说明四边形 是矩形，再在 、 中，利用直角三角形的边角间关系求出 的长，最后利用线段的和差关系得结论．

23. (1)在同一条直线上，函数解析式为 ；(2)

（1）解：设函数解析式为， ，

∵当 ， ，

∴ ，解得 ，

∴函数解析式为 ，经检验其余点均在直线 上，

∴函数解析式为 ，这些点在同一条直线上；

（2）解：把 代入 得 ，解得 ，

∴当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ．

24. （1）2；（2）4； （） ； _四边形 ，证明见详解；（4）10

（1）∵在 中， ， ， ，

∴ ，∴ ，∴ ；

（2）∵在菱形 中， ， ，∴ _菱形 ；

（3）∵ ，∴ ， ，

∵ _四边形 ，

∴ _四边形 ，

∴ _四边形 ，

∵ ， ，∴ _四边形 ；

猜想： _四边形 ，

证明：∵ ，∴ ， ，

∵ _四边形 ，

∴ _四边形 ，

∴ _四边形 ，

∵ ， ，∴ _四边形 ；

（4）根据尺规作图可知： ，

∵在 中， ， ， ，∴ ，

∴ 是直角三角形，且 ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∵ ， ，

∴根据（3）的结论得出 _四边形 ．

25. (1)等腰三角形， ；(2) ；(3)

（1）解：过点 作 于点 ，由题意得 ，

  

∵ ， ，∴ ，

∵ 平分 ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ 为等腰三角形，

∵ ，∴ ，∴在 中， ；

（2）解：如图，

  

∵ 为等边三角形，∴ ，

由（1）得 ，∴ ，即 ，∴ ；

（3）解：当点 在 上，点 在 上，重合部分为 ，过点 作 于点 ，

  

∵ ，

∴ ，

∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，

由（2）知当点 与点 重合时， ，∴ ；

当点 在 上，点 在 延长线上时，记 与 交于点 ，此时重合部分为四边形 ，如图，

  

∵ 是等边三角形，∴ ，

而 ，∴ ，

∴ ，

∴ ，

当点 与点 重合时，在 中， ，∴ ，

∴ ；

当点 在 上，重合部分为 ，如图，

  

∵ ，由上知 ，∴ ，∴此时 ，

∴ ，

∵ 是等边三角形，∴ ，

∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，

∴当点 与点 重合时， ，解得 ，

∴ ，

综上所述 ．

26. （1） 【解】 , , 的值分别为1,1, ， 将 ， 代入 得 ，解得 ， ， 将 ， 和 ， 分别代入 得 解得 故 , ， ．（2） Ⅰ． ， ， ， 一次函数表达式为 ，二次函数表达式为 .由题图（2）可知，当 时， ， 抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， 当 时， 随 的增大而增大；当 时， ， ， 时， 随 的增大而增大.综上， 随 的增大而增大时， 的取值范围为 或 .Ⅱ． 在 时无解， 在 时无解，即抛物线 与直线 在 时无交点.由Ⅰ可知抛物线的顶点坐标为 ，如图.

当 时，抛物线 与直线 在 时恰好有一个交点， 当 时，抛物线 与直线 在 时无交点.当 时， ， 当 时，抛物线 与直线 在 时无交点.综上，当 或 时，抛物线 与直线 在 时无交点，即当 或 时，关于 的方程 为实数 ，在 时无解.