绝密★启用前
200672-2024年湖南省长沙市中考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
|
|
|
|
注意事项:
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是
℃
、最高温度是 ℃
，则它能够耐受的温差是（ ）
A．
℃
B．
℃
C．
℃
D．
℃
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ）
A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6
6．在平面直角坐标系中，将点
向上平移2个单位长度后得到点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．对于一次函数
，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点
B．
随x的增大而减小
C．当
时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
8．如图，在
中，
，
，
．则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在
中，弦
的长为8，圆心
到
的距离
，则
的半径长为（ ）
（第4题图）
A.
4B.
C. 5D.
10．如图，在菱形
中，
，
，点E是
边上的动点，连接
，
，过点A作
于点F．设
，
，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．
12．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．
13．要使分式
有意义，则
需满足的条件是 .
14．半径为4，圆心角为
的扇形的面积为 （结果保留
π
）．
15．如图，在
中，点D，E分别是
，
的中点，连接
．若
，则
的长为 ．
16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ．
三、解答题
17．计算：
π
．
18．先化简，再求值：
，其中
．
19．如图，在
中，
，
，
，分别以点A，B为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线
分别交 ，
于点D，E，连接
，．
(1)求
的长；
(2)求
的周长．
20．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.
类型 |
人数 |
百分比 |
纯电 |
m |
|
混动 |
n |
|
氢燃料 |
3 |
|
油车 |
5 |
|
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了 人；表中
，
；
(2)请补全条形统计图；
(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
21．如图，点C在线段
上，
，
，
．
(1)求证：
≌
；
(2)若
，求
的度数．
22．刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．
(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？
(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？
23．如图，在
▱
中，对角线
，
相交于点 ，
．
(1)求证：
；
(2)点E在
边上，满足
．若
，
，求
的长及
的值．
24．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于
的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有
．（ ）
(2)如图1，已知四边形
内接于
，四条边长满足：
．
①该四边形
是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若
的平分线
交
于点 ，
的平分线
交
于点F，连接
．求证：
是
的直径．
(3)已知四边形
是“完美型双圆”四边形，它的内切圆
与 ，，，
分别相切于点E，F，G，H．
①如图2．连接
，
交于点P．求证：
．
②如图3，连接
，，，
，若
，
，
，求内切圆
的半径r及
的长．
25．已知四个不同的点
，
，
，
都在关于x的函数
（a，b，c是常数，
）的图象上．
(1)当A，B两点的坐标分别为
，
时，求代数式
的值；
(2)当A，B两点的坐标满足
时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
(3)当
时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：
，
．请问是否存在实数
，使得
，
，
这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为
？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：
表示一条长度等于
的m倍的线段）．
参考答案
一、单选题
1. B
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，
故此题答案为B．
2. C
解：用科学记数法将数据1290000000表示为
，
故此题答案为C．
3. D
解：能够耐受的温差是
℃
，
故此题答案为D．
4. A
解：A、
，计算正确；
B、
、
不能合并，原计算错误；
C、
，原计算错误；
D、
，原计算错误；
故此题答案为A．
5. B
解：甲班演唱后七位评委给出的分数为8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，
中位数为9.4，故此题答案为B．
6. D
解：在平面直角坐标系中，将点
向上平移2个单位长度后得到点
的坐标为
，即
，
故此题答案为D．
7. A
解：A.当
时，
，即一次函数
的图象与y轴交于点
，说法正确；
B.一次函数
的图象y随x的增大而增大，原说法错误；
C.当
时，
，原说法错误；
D.一次函数
的图象经过第一、三、四象限，原说法错误.
故此题答案为A．
8. C
解：∵在
中，
，
，
∴
,
∵
，∴
．故此题答案为C．
9. B
，
，
.故选B.
10. C
解：如图，过D作
，交
延长线于H，则
，
∵在菱形
中，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
，
在
中，
，
∵
，∴
，又
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，故此题答案为C．
二、填空题
11. 甲
解：∵
，
∴甲种秧苗长势更整齐．
12.
解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为
．
13.
由题可知，当
时，分式有意义，解得
.故答案为
.
14.
π
解：由题意，半径为4，圆心角为
的扇形的面积为
ππ
．
15. 24
解：∵D，E分别是
，
的中点，
∴
是
的中位线，∴
．
16. 2009
解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，
根据题意得
，
整理得
，
∴
，
∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，
∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，
∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，
∴x只能是2009．
三、解答题
17.
解：原式
．
18.
；
解：
．
当
时，原式
．
19.
(1)
；(2)
（1）解：由作图可知，
是线段
的垂直平分线，
∴在
中，点D是斜边
的中点．∴
．
（2）解：在
中，
．
∵
是线段
的垂直平分线，∴
．
∴
的周长
．
20.
(1)50；30，6；
(2)见解析；
(3)
；
(4)
人
（1）解：本次调查活动随机抽取人数为
（人），
，则
，
，则
；
（2）解：∵
，
∴补全条形统计图如图所示.
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为
；
（4）解：
（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
21.
(1)见解析(2)
（1）证明：在
与
中，
，
所以
≌
；
（2）解：因为
≌
，
，
所以
，
，
所以
是等边三角形．
所以
．
22. (1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元(2)最多能购买100件A种湘绣作品
（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．
根据题意，得
，
解得
．
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．
（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品
件．
根据题意，得
，
解得
．
答：最多能购买100件A种湘绣作品．
23.
(1)见解析；(2)
，
（1）证明：因为四边形
是平行四边形，且
，
所以四边形
是矩形．所以
；
（2）解：在
中，
，
，
所以
，
因为四边形
是矩形，所以
，
，
因为
，所以
，
过点O作
于点F，则
，
所以
，
在
中，
，所以
．
24.
(1)①×；②√；③√
(2)①外接型单圆；②见解析
(3)
，
，
（1）解：由题干条件可得,有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以
①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，
∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；
②∵内角不等于
的菱形的对角不互补，
∴该菱形无外接圆，
∵菱形的四条边都相等，
∴该菱形的对边之和相等，
∴该菱形有内切圆，
∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；
③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，
则
，
，
，
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，即
；
故③正确；
（2）①该四边形
是“外接型单圆”四边形；
理由：
，
四边形
无内切圆．
四边形
是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图
，
平分
，
平分
，
，
，
，即
，
与
均为半圆，
是
的直径．
证法2：如图1，连接
．
四边形
内接于
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
由同弧所对的圆周角相等可得
，
，即
．
是
的直径;
证法3：如图2，连接
，
．
四边形
内接于
，
，
由题意，得
，
，
由同弧所对的圆周角相等可得
，
，
，
,
是
的直径．
（3）①证明：如图，连接
，
，
，
，
，
∵
是四边形
的内切圆，
∴
，
，
，
，
∴
，
在四边形
中，
，
同理可证，
，
∵四边形
是“完美型双圆”四边形，
∴该四边形有外接圆，则
，
∴
，则
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
；
②如图，连接
,
,
,
，
∵四边形
是“完美型双圆”四边形，它的内切圆
与
，，，
分别相切于点E，F，G，H，
∴∴
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，又
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，则
，
在
中，由
得
，解得
；
在
中，
，
∴
，
同理可证
，
∴
，
∴
，
∴
．
25.
(1)
(2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析
(3)存在两个m的值符合题意；当
时，此时该函数的最小值为
；当
时，此时该函数的最小值为
（1）将
，
代入
得
①②
，②-①得
，即
．
所以
．
（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．
方法1：由
，得
．可得
或
．
当
时，
，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当
时，
，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．
方法2：由
，得
．
可得
或
．
所以抛物线上存在纵坐标为
的点，即一元二次方程
有解．
所以该方程根的判别式
，即
．
因为
，所以
．
所以原函数图象与x轴必有两个公共点．
方法3：由
，可得
或
．
当
时，有
，即
，
所以
．
此时该函数图象与x轴有两个公共点．
当
时，同理可得
，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．
综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．
（3）因为
，所以该函数图象开口向上．
由
，得
，可得
．
由
，得
，可得
．
所以直线
，
均与x轴平行．
由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设
，
．
由图象可知
，即
．
所以
的两根为
，
，可得
．
同理
的两根为
，
，可得
．
同理
的两根为
，
，可得
．
由于
，结合图象与计算可得
，
．
若存在实数
，使得
，
，
这三条线段组成一个三角形，
且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段
不可能是该直角三角形的斜边．
①当以线段
为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为
，
所以必须同时满足：
，
．
将上述各式代入化简可得
，且
，
联立解之得
，
，解得
符合要求．
所以
，此时该函数的最小值为
．
②当以线段
为斜边时，必有
，同理代入化简可得
，解得
．
因为以线段
为斜边，且有一个内角为60°，而
，
所以
，即
，
化简得
符合要求．
所以
，此时该函数的最小值为
．
综上所述，存在两个m的值符合题意,
当
时，此时该函数的最小值为
；
当
时，此时该函数的最小值为
．