【327925】2024年湖南省长沙市中考数学试题

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200672-2024年湖南省长沙市中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（      ）

A． B． C． D．

3．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是 ℃ 、最高温度是 ℃ ，则它能够耐受的温差是（      ）

A． ℃ B． ℃ C． ℃ D． ℃

4．下列计算正确的是（      ）

A． B． C． D．

5．为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（      ）

A．9.2　　　　B．9.4　　　　C．9.5　　　　D．9.6

6．在平面直角坐标系中，将点 向上平移2个单位长度后得到点 的坐标为（      ）

A． B． C． D．

7．对于一次函数 ，下列结论正确的是（      ）

A．它的图象与y轴交于点 　　　　B． 随x的增大而减小

C．当 时， 　　　　D．它的图象经过第一、二、三象限

8．如图，在 中， ， ， ．则 的度数为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

9．如图，在 中，弦 的长为8，圆心 到 的距离 ，则 的半径长为（      ）

（第4题图）

A. 4B. C. 5D.

10．如图，在菱形 中， ， ，点E是 边上的动点，连接 ， ，过点A作 于点F．设 ， ，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

二、填空题

11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知     种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．

12．某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为      ．

13．要使分式 有意义，则 需满足的条件是          .

14．半径为4，圆心角为 的扇形的面积为      （结果保留 π ）．

15．如图，在 中，点D，E分别是 ， 的中点，连接 ．若 ，则 的长为      ．

16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是      ．

三、解答题

17．计算： π ．

18．先化简，再求值： ，其中 ．

19．如图，在 中， ， ， ，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线 分别交 ， 于点D，E，连接 ，．

(1)求 的长；

(2)求 的周长．

20．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.

类型	人数	百分比
纯电	m
混动	n
氢燃料	3
油车	5

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次调查活动随机抽取了     人；表中       ，       ；

(2)请补全条形统计图；

(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；

(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？

21．如图，点C在线段 上， ， ， ．

(1)求证： ≌ ；

(2)若 ，求 的度数．

22．刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．

(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？

(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？

23．如图，在 ▱ 中，对角线 ， 相交于点 ， ．

(1)求证： ；

(2)点E在 边上，满足 ．若 ， ，求 的长及 的值．

24．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），

可分为四种类型，我们不妨约定：

既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；

只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；

只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；

既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．

请你根据该约定，解答下列问题：

(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，

①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （      ）

②内角不等于 的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （      ）

③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有 ．（      ）

(2)如图1，已知四边形 内接于 ，四条边长满足： ．

①该四边形 是“      ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；

②若 的平分线 交 于点 ， 的平分线 交 于点F，连接 ．求证： 是 的直径．

(3)已知四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 ，，， 分别相切于点E，F，G，H．

①如图2．连接 ， 交于点P．求证： ．

②如图3，连接 ，，， ，若 ， ， ，求内切圆 的半径r及 的长．

25．已知四个不同的点 ， ， ， 都在关于x的函数 （a，b，c是常数， ）的图象上．

(1)当A，B两点的坐标分别为 ， 时，求代数式 的值；

(2)当A，B两点的坐标满足 时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；

(3)当 时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： ， ．请问是否存在实数 ，使得 ， ， 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为 ？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注： 表示一条长度等于 的m倍的线段）．

参考答案

一、单选题

1. B

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形；

B.既是轴对称图形又是中心对称图形；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，

故此题答案为B．

2. C

解：用科学记数法将数据1290000000表示为 ，

故此题答案为C．

3. D

解：能够耐受的温差是 ℃ ，

故此题答案为D．

4. A

解：A、 ，计算正确；

B、 、 不能合并，原计算错误；

C、 ，原计算错误；

D、 ，原计算错误；

故此题答案为A．

5. B

解：甲班演唱后七位评委给出的分数为8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，

中位数为9.4，故此题答案为B．

6. D

解：在平面直角坐标系中，将点 向上平移2个单位长度后得到点 的坐标为 ，即 ，

故此题答案为D．

7. A

解：A.当 时， ，即一次函数 的图象与y轴交于点 ，说法正确；

B.一次函数 的图象y随x的增大而增大，原说法错误；

C.当 时， ，原说法错误；

D.一次函数 的图象经过第一、三、四象限，原说法错误.

故此题答案为A．

8. C

解：∵在 中， ， ，

∴ ,

∵ ，∴ ．故此题答案为C．

9. B

， ， .故选B.

10. C

解：如图，过D作 ，交 延长线于H，则 ，

∵在菱形 中， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ， ，

在 中， ，

∵ ，∴ ，又 ，

∴ ，∴ ，

∵ ， ，∴ ，∴ ，故此题答案为C．

二、填空题

11. 甲

解：∵ ，

∴甲种秧苗长势更整齐．

12.

解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 ．

13.

由题可知，当 时，分式有意义，解得 .故答案为 .

14. π

解：由题意，半径为4，圆心角为 的扇形的面积为 ππ ．

15. 24

解：∵D，E分别是 ， 的中点，

∴ 是 的中位线，∴ ．

16. 2009

解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，

根据题意得 ，

整理得 ，

∴ ，

∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，

∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，

∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，

∴x只能是2009．

三、解答题

17.

解：原式 ．

18. ；

解： ．

当 时，原式 ．

19. (1) ；(2)

（1）解：由作图可知， 是线段 的垂直平分线，

∴在 中，点D是斜边 的中点．∴ ．

（2）解：在 中， ．

∵ 是线段 的垂直平分线，∴ ．

∴ 的周长 ．

20. (1)50；30，6； (2)见解析； (3) ； (4) 人

（1）解：本次调查活动随机抽取人数为 （人），

，则 ，

，则 ；

（2）解：∵ ，

∴补全条形统计图如图所示.

（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为 ；

（4）解： （人）．

答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．

21. (1)见解析(2)  

（1）证明：在 与 中，

，

所以 ≌ ；

（2）解：因为 ≌ ， ，

所以 ， ，

所以 是等边三角形．

所以 ．

22. (1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元(2)最多能购买100件A种湘绣作品

（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．

根据题意，得

，

解得 ．

答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．

（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品 件．

根据题意，得 ，

解得 ．

答：最多能购买100件A种湘绣作品．

23. (1)见解析；(2) ，

（1）证明：因为四边形 是平行四边形，且 ，

所以四边形 是矩形．所以 ；

（2）解：在 中， ， ，

所以 ，

因为四边形 是矩形，所以 ， ，

因为 ，所以 ，

过点O作 于点F，则 ，

所以 ，

在 中， ，所以 ．

24. (1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆；②见解析 (3) ， ，

（1）解：由题干条件可得,有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以

①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，

∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误；

②∵内角不等于 的菱形的对角不互补，

∴该菱形无外接圆，

∵菱形的四条边都相等，

∴该菱形的对边之和相等，

∴该菱形有内切圆，

∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；

③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，

则 ， ， ， ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ，即 ；

故③正确；

（2）①该四边形 是“外接型单圆”四边形；

理由： ，

四边形 无内切圆．

四边形 是“外接型单圆”四边形；

②证法1：如图 ， 平分 ， 平分 ，

， ，

，即 ，

与 均为半圆，

是 的直径．

证法2：如图1，连接 ．

四边形 内接于 ，

，

平分 ， 平分 ，

， ，

，

由同弧所对的圆周角相等可得 ，

，即 ．

是 的直径;

证法3：如图2，连接 ， ．

四边形 内接于 ，

，

由题意，得 ， ，

由同弧所对的圆周角相等可得 ， ，

，

,

是 的直径．

（3）①证明：如图，连接 ， ， ， ， ，

∵ 是四边形 的内切圆，

∴ ， ， ， ，

∴ ，

在四边形 中， ，

同理可证， ，

∵四边形 是“完美型双圆”四边形，

∴该四边形有外接圆，则 ，

∴ ，则 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

②如图，连接 , , , ，

∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆 与 ，，， 分别相切于点E，F，G，H，

∴∴ ， ， ， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，又 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，则 ，

在 中，由 得 ，解得 ；

在 中， ，

∴ ，

同理可证 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

25. (1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意；当 时，此时该函数的最小值为 ；当 时，此时该函数的最小值为

（1）将 ， 代入 得

①② ，②-①得 ，即 ．

所以 ．

（2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个．

方法1：由 ，得 ．可得 或 ．

当 时， ，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；

当 时， ，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．

综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点．

方法2：由 ，得 ．

可得 或 ．

所以抛物线上存在纵坐标为 的点，即一元二次方程 有解．

所以该方程根的判别式 ，即 ．

因为 ，所以 ．

所以原函数图象与x轴必有两个公共点．

方法3：由 ，可得 或 ．

当 时，有 ，即 ，

所以 ．

此时该函数图象与x轴有两个公共点．

当 时，同理可得 ，此时该函数图象与x轴也有两个公共点．

综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点．

（3）因为 ，所以该函数图象开口向上．

由 ，得 ，可得 ．

由 ，得 ，可得 ．

所以直线 ， 均与x轴平行．

由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设 ， ．

由图象可知 ，即 ．

所以 的两根为 ， ，可得 ．

同理 的两根为 ， ，可得 ．

同理 的两根为 ， ，可得 ．

由于 ，结合图象与计算可得 ， ．

若存在实数 ，使得 ， ， 这三条线段组成一个三角形，

且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段 不可能是该直角三角形的斜边．

①当以线段 为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为 ，

所以必须同时满足： ， ．

将上述各式代入化简可得 ，且 ，

联立解之得 ， ，解得 符合要求．

所以 ，此时该函数的最小值为 ．

②当以线段 为斜边时，必有 ，同理代入化简可得

，解得 ．

因为以线段 为斜边，且有一个内角为60°，而 ，

所以 ，即 ，

化简得 符合要求．

所以 ，此时该函数的最小值为 ．

综上所述，存在两个m的值符合题意,

当 时，此时该函数的最小值为 ；

当 时，此时该函数的最小值为 ．