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200742-2024年湖南省中考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.在日常生活中,若收入300元记作 元,则支出180元应记作( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.据《光明日报》2024年3月14日报道:截至2023年末,我国境内有效发明专利量达到401.5万件,高价值发明专利占比超过四成,成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家,将 用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3.如图,该纸杯的主视图是( )
(第2题图)
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.计算 的结果是( )
A. B. C.14 D.
6.下列命题中,正确的是( )
A. 两点之间,线段最短B. 菱形的对角线相等
C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形
7.如图, , 为 的两条弦,连结 , ,若 ,则 的度数为( )
(第1题图)
A. B. C. D.
8.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位:次)分别为179,130,192,158,141.这组数据的中位数是( )
A.130 B.158 C.160 D.192
9.如图,在 中,点 , 分别为边 , 的中点.下列结论中,错误的是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系 中,对于点 ,若 , 均为整数,则称点 为“整点”.特别地,当 (其中 )的值为整数时,称“整点” 为“超整点”,已知点 在第二象限,下列说法正确的是( )
A.
B. 若点 为“整点”,则点 的个数为3个
C. 若点 为“超整点”,则点 的个数为1个
D. 若点 为“超整点”,则点 到两坐标轴的距离之和大于10
二、填空题
11.计算: .
12.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”,将它们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“ ”的概率是 .
13.分式方程 的解是 .
14.一个等腰三角形的一个底角为 ,则它的顶角的度数是 度.
15.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则 的值为 .
16.在一定条件下,乐器中弦振动的频率 与弦长 成反比例关系,即 为常数, ,若某乐器的弦长 为0.9米,振动频率 为200赫兹,则 的值为 .
17.如图,在锐角三角形 中, 是边 上的高,在 , 上分别截取线段 , ,使 ;分别以点 , 为圆心,大于 的长为半径画弧,在 内,两弧交于点 ,作射线 ,交 于点 ,过点 作 于点 .若 , ,则 .
18.如图,左图为《天工开物》记载的用于舂 ō 捣谷物的工具——“碓 ì ”的结构简图,右图为其平面示意图,已知 于点 , 与水平线 相交于点 , .若 分米, 分米, ,则点 到水平线 的距离 为 分米(结果用含根号的式子表示).
三、解答题
19.计算: .
20.先化简,再求值: ,其中 .
21.某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况,随机抽取了部分学生进行调查,家务劳动的项目主要包括:扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图:
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次被抽取的学生人数为 人;
(2)补全条形统计图:
(3)在扇形统计图中,“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ;
(4)若该校有学生1200人,请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.
22.如图,在四边形 中, ,点 在边 上, .请从“① ;② , ”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形 为平行四边形;
(2)若 , , ,求线段 的长.
23.某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富,已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价;
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵,总费用不超过38000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵?
24.某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.
活动主题 |
测算某水池中雕塑底座的底面积 |
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测量工具 |
皮尺、测角仪、计算器等 |
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活动过程 |
模型抽象 |
某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形 ,其示意图如下:
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测绘过程与数据信息 |
①在水池外取一点 ,使得点 ,, 在同一条直线上; ②过点 作 ,并沿 方向前进到点 ,用皮尺测得 的长为4米; ③在点 处用测角仪测得 , , ; ④用计算器计算得: , , . , , . |
请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):
(1)求线段 和 的长度:
(2)求底座的底面 的面积.
25.已知二次函数 的图像经过点 ,点 , 是此二次函数的图像上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图1,此二次函数的图像与 轴的正半轴交于点 ,点 在直线 的上方,过点 作 轴于点 ,交 于点 ,连接 .若 ,求证 的值为定值;
(3)如图2,点 在第二象限, ,若点 在直线 上,且横坐标为 ,过点 作 轴于点 ,求线段 长度的最大值.
26.【问题背景】
已知点 是半径为 的 上的定点,连接 ,将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ,连接 ,过点 作 的切线 ,在直线 上取点 ,使得 为锐角.
【初步感知】
(1)如图1,当 时, ;
【问题探究】
(2)以线段 为对角线作矩形 ,使得边 过点 ,连接 ,对角线 , 相交于点 .
①如图2,当 时,求证:无论 在给定的范围内如何变化, 总成立:
②如图3,当 , 时,请补全图形,并求 及 的值.
参考答案
一、单选题
1. C
解:收入为“ ”,则支出为“ ”,那么支出180元记作 元.
故此题答案为C.
2. B
解: 用科学记数法表示为 .
故此题答案为B.
3. A
该纸杯的主视图是选项A,故选A.
4. B
解:A、 ,故该选项不正确,不符合题意;
B、 ,故该选项正确,符合题意;
C、 ,故该选项不正确,不符合题意;
D、 ,故该选项不正确,不符合题意;
故此题答案为B.
5. D
解: ,故此题答案为D.
6. A
A选项,两点之间,线段最短,原命题正确,符合题意;B选项,菱形的对角线互相垂直,不一定相等,原命题错误,不符合题意;C选项,正五边形的外角和为 ,原命题错误,不符合题意;D选项,直角三角形不一定是轴对称图形,只有等腰直角三角形才是轴对称图形,原命题错误,不符合题意.故选A.
7. C
根据题意,得 和 分别是 所对的圆周角和圆心角, , .故选C.
8. B
解:从小到大排序为130,141,158,179,192,最中间的数是158,∴中位数是158,故此题答案为B.
9. D
解:∵点 , 分别为边 , 的中点,
∴ , ,故 , 正确;
∵ ,
∴ ,故 正确;
∵ ,
∴ ,
∴ ,故 错误.
故此题答案为 .
10. C
点 在第二象限, ,故选项A错误 点 为“整点”, , 整数 为 , ,, , “整点” 为 , , , , 点 的个数为4个,故选项B错误 , , , , 若 为“超整点”,则点 的个数为1个,故选项C正确 “超整点” 的坐标为 , 点 到两坐标轴的距离之和为 , ,故选项D错误.故选C.
二、填空题
11. 2024
解: .
12.
共有4枚棋子, 从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“ ”的概率是 .故答案为 .
13.
解:方程的两边同乘 ,得 ,解得 .检验:当 时, .
所以原方程的解为 .
14.
解:因为其底角为40°,所以其顶角 .
15. 2
解:由题意得 ,
解得 .
16. 180
把 , 代入 为常数, ,得 ,解得 ,故答案为180.
17. 6
解:作图可知 平分 ,
∵ 是边 上的高, , ,∴ ,
∵ ,∴ ,∴ .
18.
如图,延长 交 于点 ,连接 .
在 中, , , , . , ,即 ,解得 .故答案为 .
三、解答题
19. 【解】原式 .
20. ,
解: ,
当 时,原式 .
21. (1)100;(2)见解析;(3)36;(4)300人
(1)解:根据题意得 (人).
() ,
补全统计图如下.
() .
() (人).
22. (1)①或②,证明见解析;(2)6
(1)解:选择①,
证明:∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴四边形 为平行四边形;
选择②,
证明:∵ , ,
∴ ,
∵ ,
∴四边形 为平行四边形;
(2)解:由(1)得 ,
∵ , ,
∴ .
23. (1)50元、30元;(2)400棵
(1)解:设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为 元/棵, 元/棵,
根据题意,得 ,
解得 ,
答:脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵,30元/棵;
(2)解:设购买脐橙树苗 棵,则购买黄金贡柚树苗 棵,
根据题意,得 ,
解得 ,
答:最多可以购买脐橙树苗400棵.
24. (1)7,3;(2)18
(1)解:∵ , 的长为4米, ,
∴ ,∴ 米;
∵ ,∴ 米,∴ 米.
(2)过点 作 于点 ,如图所示,
∵ ,∴ ,
∵ 米,∴ 米,∴ 米,
∴底座的底面 的面积为 (平方米).
25. (1) ;(2)为定值3,证明见解析;(3)
(1)∵二次函数 的图象经过点 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
(2)当 时, ,
∴ ,
∴ ,
设直线 的解析式为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
设 ,则 , ,
∴ , .
∴ ,
∴ 的值为定值;
(3)设 ,则 ,
设直线 的解析式为 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
当 时, ,
∴当 时,线段 长度的最大值 .
26. () ;①证明见解析;② ,
解:(1)由题意得 ,
∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ,
∵直线 是 的切线,
∴ ,
∴ ;
(2)①如图,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵四边形 是矩形,
∴ , ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ≌ ,
∴ ,
∵四边形 是矩形,
∴ ,
∵ ,
∴ ;
②补全图形如图,
过点 作 于点 , 于点 ,
在 中, ,
∴由勾股定理得 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴点 在线段 上,
∴在 , ,
∵ , ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
在 中, ,
∴设 ,
∴由勾股定理得 ,
∴ ,
∴在 中,
∵四边形 是矩形,
∴ ,
∴ ,而 ,
∴ ,
∴在 中, .