【327926】2024年湖南省中考数学试题

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200742-2024年湖南省中考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

题号	一	二	三	总分
得分

注意事项:

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．在日常生活中，若收入300元记作 元，则支出180元应记作（      ）

A． 元　　　　B． 元　　　　C． 元　　　　D． 元

2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将 用科学记数法表示应为（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

3．如图，该纸杯的主视图是（      ）

（第2题图）

A. B. C. D.

4．下列计算正确的是（      ）

A． B． C． D．

5．计算 的结果是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C．14　　　　D．

6．下列命题中，正确的是（      ）

A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等

C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形

7．如图， ， 为 的两条弦，连结 ， ，若 ，则 的度数为（      ）

（第1题图）

A. B. C. D.

8．某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（      ）

A．130　　　　B．158　　　　C．160　　　　D．192

9．如图，在 中，点 ， 分别为边 ， 的中点．下列结论中，错误的是（      ）

A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．

10．在平面直角坐标系 中，对于点 ，若 ， 均为整数，则称点 为“整点”.特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点” 为“超整点”，已知点 在第二象限，下列说法正确的是（      ）

A.

B. 若点 为“整点”，则点 的个数为3个

C. 若点 为“超整点”，则点 的个数为1个

D. 若点 为“超整点”，则点 到两坐标轴的距离之和大于10

二、填空题

11．计算：         ．

12．有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是        .

13．分式方程 的解是       ．

14．一个等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是        度．

15．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为        ．

16．在一定条件下，乐器中弦振动的频率 与弦长 成反比例关系，即 为常数, ，若某乐器的弦长 为0.9米，振动频率 为200赫兹，则 的值为    .

17．如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取线段 ， ，使 ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于点 ，作射线 ，交 于点 ，过点 作 于点 ．若 ， ，则         ．

18．如图，左图为《天工开物》记载的用于舂 ō 捣谷物的工具——“碓 ì ”的结构简图，右图为其平面示意图，已知 于点 ， 与水平线 相交于点 ， .若 分米， 分米, ，则点 到水平线 的距离 为            分米（结果用含根号的式子表示）.

三、解答题

19．计算： .

20．先化简，再求值： ，其中 ．

21．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次被抽取的学生人数为    人；

(2)补全条形统计图：

(3)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是     ；

(4)若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．

22．如图，在四边形 中， ，点 在边 上，　　　　．请从“① ；② ， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：

(1)求证：四边形 为平行四边形；

(2)若 ， ， ，求线段 的长．

23．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．

(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；

(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？

24．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．

活动主题		测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具		皮尺、测角仪、计算器等
活动过程	模型抽象	某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ，其示意图如下：
	测绘过程与数据信息	①在水池外取一点 ，使得点 ，， 在同一条直线上； ②过点 作 ，并沿 方向前进到点 ，用皮尺测得 的长为4米； ③在点 处用测角仪测得 ， ， ； ④用计算器计算得： ， ， ． ， ， ．

请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：

(1)求线段 和 的长度：

(2)求底座的底面 的面积．

25．已知二次函数 的图像经过点 ，点 ， 是此二次函数的图像上的两个动点．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1，此二次函数的图像与 轴的正半轴交于点 ，点 在直线 的上方，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，求证 的值为定值；

(3)如图2，点 在第二象限， ，若点 在直线 上，且横坐标为 ，过点 作 轴于点 ，求线段 长度的最大值．

26．【问题背景】

已知点 是半径为 的 上的定点，连接 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，过点 作 的切线 ，在直线 上取点 ，使得 为锐角．

【初步感知】

（1）如图1，当 时，      ；

【问题探究】

（2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点 ，连接 ，对角线 ， 相交于点 ．

①如图2，当 时，求证：无论 在给定的范围内如何变化， 总成立：

②如图3，当 ， 时，请补全图形，并求 及 的值．

参考答案

一、单选题

1. C

解：收入为“ ”，则支出为“ ”，那么支出180元记作 元．

故此题答案为C．

2. B

解： 用科学记数法表示为 ．

故此题答案为B．

3. A

该纸杯的主视图是选项A，故选A.

4. B

解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；     

B、 ，故该选项正确，符合题意；

C、 ，故该选项不正确，不符合题意；    

D、 ，故该选项不正确，不符合题意；

故此题答案为B．

5. D

解： ，故此题答案为D.

6. A

A选项,两点之间，线段最短，原命题正确，符合题意；B选项,菱形的对角线互相垂直，不一定相等，原命题错误，不符合题意；C选项,正五边形的外角和为 ，原命题错误，不符合题意；D选项,直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形才是轴对称图形，原命题错误，不符合题意.故选A.

7. C

根据题意，得 和 分别是 所对的圆周角和圆心角， ， .故选C.

8. B

解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故此题答案为B．

9. D

解：∵点 ， 分别为边 ， 的中点，

∴ ， ，故 ， 正确；

∵ ，

∴ ，故 正确；

∵ ，

∴ ，

∴ ，故 错误.

故此题答案为 ．

10. C

点 在第二象限， ，故选项A错误 点 为“整点”， ， 整数 为 ， ，， ， “整点” 为 ， ， ， ， 点 的个数为4个，故选项B错误 ， ， ， , 若 为“超整点”，则点 的个数为1个,故选项C正确 “超整点” 的坐标为 ， 点 到两坐标轴的距离之和为 ， ,故选项D错误.故选C.

二、填空题

11. 2024

解： ．

12.

共有4枚棋子， 从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是 .故答案为 .

13.

解：方程的两边同乘 ，得 ，解得 ．检验：当 时， ．

所以原方程的解为 ．

14.

解：因为其底角为40°，所以其顶角 ．

15. 2

解：由题意得 ，

解得 .

16. 180

把 ， 代入 为常数, ，得 ，解得 ，故答案为180.

17. 6

解：作图可知 平分 ，

∵ 是边 上的高， ， ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ．

18.

如图,延长 交 于点 ，连接 .

在 中， ， , ， . , ,即 ，解得 .故答案为 .

三、解答题

19. 【解】原式 .

20. ，

解： ，

当 时，原式 ．

21. (1)100；(2)见解析；(3)36；(4)300人

（1）解：根据题意得 （人）.

（） ，

补全统计图如下.

（） .

（） （人）．

22. (1)①或②，证明见解析；(2)6

（1）解：选择①，

证明：∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 为平行四边形；

选择②，

证明：∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形 为平行四边形；

（2）解：由（1）得 ，

∵ ， ，

∴ ．

23. (1)50元、30元；(2)400棵

（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为 元/棵， 元/棵，

根据题意，得 ，

解得 ，

答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；

（2）解：设购买脐橙树苗 棵，则购买黄金贡柚树苗 棵，

根据题意，得 ，

解得 ，

答：最多可以购买脐橙树苗400棵．

24. (1)7,3；(2)18

（1）解：∵ ， 的长为4米， ，

∴ ，∴ 米；

∵ ，∴ 米，∴ 米.

（2）过点 作 于点 ，如图所示,

∵ ，∴ ，

∵ 米，∴ 米，∴ 米，

∴底座的底面 的面积为 (平方米)．

25. (1) ；(2)为定值3，证明见解析；(3)

（1）∵二次函数 的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）当 时， ，

∴ ，

∴ ，

设直线 的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ， ．

∴ ，

∴ 的值为定值；

（3）设 ，则 ，

设直线 的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当 时， ，

∴当 时，线段 长度的最大值 ．

26. （） ；①证明见解析；② ，

解：（1）由题意得 ，

∵ ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

∵直线 是 的切线，

∴ ，

∴ ；

（2）①如图,

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵四边形 是矩形，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ≌ ，

∴ ，

∵四边形 是矩形，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

②补全图形如图,

过点 作 于点 ， 于点 ，

在 中， ，

∴由勾股定理得 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴点 在线段 上，

∴在 ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

在 中， ，

∴设 ，

∴由勾股定理得 ，

∴ ，

∴在 中，

∵四边形 是矩形，

∴ ，

∴ ，而 ，

∴ ，

∴在 中， ．